6 sigma-假设检验方法
常用的参数假设检验方法
由于正态分布是母体中最常见的分布，所抽取的子样也服从正态分布，由此类子样构成的统计量是进行假设检验时最常用的统计量，以下的几种参数假设检验方法均是此类统计量。
一、u检验法
1．u检验法的概念
22N(μ，σ)，设母体服从正态分布母体方差σ为已知。从母体中随机抽取容量为n的
子样，可求得子样均值，利用子样均值对母体均值μ进行假设检验，则可用统计量
u=
-μ
σ
n，其分布为标准正态分布。即
u=
-μ
～N(0,1)σn （7-2-1）
将这种服从标准正态分布的统计量称为u变量，利用u统计量所进行的检验方法称为
u检验法。
2．u检验法的类型
根据检验问题的不同，利用u检验法对母体均值μ进行检验时，可选用双尾检验法、单尾检验法（左尾检验法或右尾检验法）。
（1）双尾检验法。
假设：
H0:μ=μ0；
H１:μ≠μ0；
⎧⎫⎧⎫⎧⎫-μ0P⎨-zα
σn22⎭2⎭2⎭⎩2⎩即 ⎩ ⎧⎛σ⎫⎛σ⎫⎫
P⎨-zα ⎪
n⎭n⎭⎭2⎝2⎝或 ⎩
或写成
P{-μ0
⎛σ⎫
k=zα ⎪ ⎪zα
2⎝n⎭，2为标准正态分布的双侧100α百分位点。 式中 u
当
2
0或
（2）左尾检验法
-μ
时，接受
H0，拒绝H１；反之，拒绝H0，接受H１；
假设：
H0:μ=μ0；
H１:μ
⎧-μ0⎫P⎨
或写成
P-μ0
⎛σ⎫
k=-zα ⎪ ⎪z
n⎝⎭，α为标准正态分布的上100α百分位点。 式中
当
u
，
H0:μ=μ0；
H１:μ
（3）右尾检验法 假设：
⎧-μ0⎫P⎨>+zα⎬=P{u>+zα}=ασn⎭即 ⎩
或写成
P-μ0>k}=α
⎛σ⎫
k=+zα ⎪ ⎪
n⎝⎭
式中
当
u>+zα或(-μ0)>k时 拒绝H0，接受H１；反之，接受H0， 拒绝H１；
，
例[7-1] 已知基线长
L0=5080.219m，认为无误差。为了鉴定光电测距仪，用该仪器
σ=0.08m，问该仪器测量
对该基线施测了34个测回，得平均值=5080.253m，已知0
的长度是否有显著的系统误差（取
解：（1）
α0=0.05）
。
H0:μ=L0=5080.219m H0成立时，计算统计量值
x-L0
（2）当
μ=
n
=
5080.253-5080.219
=2.48
0.08
（3）查得因为
μα2=μ0.025=1.96
μ=2.48>μα2=1.96
，故拒绝
H0，即认为在α0=0.05的显著水平下，该仪
2
2
器测量的长度存在系统误差。
u检验法不仅可以检验单个正态母体参数，还可以在两个正态母体方差σ1、σ2已知
的条件下，对两个母体均值是否存在显著性差异进行检验。
设两个正态随机变量组子样为
X~N(μ1、σ12)y1,y2, ,yn2
和Y~N(μ2、σ2)，从两母体中独立抽取的两
2
x1,x2, ,xn1
和
。子样均值分别为和，则两个均值之差构成的
统计量也是正态随即变量，即
(-)~N(μ1-μ2,
标准化得
σ2
1
n1
+
σ2
2
n2 （7-2-2）
)
(-)-(μ1-μ2)
σ
2
1
n1
+
σ
2
2
~N(0,1)
（7-2-3）
n2
2
σ12=σ2
如果两母体方差相等，设为则上式为
(-)-(μ1-μ2)
σ
11+n1n2
~N(0,1)
（7-2-4）
例[7-2] 根据两个测量技术员用某种经纬仪观测水平角的长期观测资料统计，观测服从正态分布，一个测回中误差均为
σ0=±0.62''。现两人对同一角度进行观测，甲观测了14
'''个测回，得平均值=34︒20'3.50''，乙观测了10个测回，得平均值=34︒203.24。问
二人观测结果的差异是否显著（取
解：（1）
α0=0.05）？
H0:μ1=μ2；H1:μ1≠μ2 H0成立时，统计量值计算
（2）当
μ=
(-)-(μ1-μ2)
σ
2
1
n1
（3）查得因为
+
σ
2
2
=
(-)
σ
2
1
n2
n1
+
σ
2
2
=
34︒20'3.50''-34︒20'3.24''
0.11
+1410
=1.01
n2
μα2=μ0.025=1.96
μ=1.01
，故接受
H0，即认为在α0=0.05的显著水平下，二人
观测的结果无显著差异。
在实际测量工作中，真正的σ经常是未知的，一般是利用实测结果计算的估值代替，数理统计中已说明，这种代替，当子样容量n>200，则可认为是严密的，当一般n>30，用σ(m)代σ进行u检验则认为是近似可用的。当母体方差未知，检验问题又是小子样时，
ˆ
u检验法便不能应用。须用以下的t检验法对母体均值μ进行检验。
二、t检验法
1．t检验法的概念
2
设母体服从正态分布N(μ，σ)，母体方差σ未知。从母体中随机抽取容量为
2
n的
子样，可求得子样均值和子样中误差σ(m)，利用子样均值和子样中误差σ(m)对母体
ˆˆ
均值μ进行假设检验，则可利用统计量 服从自由度为n-1的t分布。即
t=
-μ
ˆn，但统计量t已不服从正态分布，而是σ
t=
-μ
～t(n-1)ˆnσ
（7-2-5）
用统计量t检验正态母体数学期望的方法，称为t检验法。
2．t检验法的类型
根据检验问题的不同，利用t检验法对母体均值μ进行检验时，可选用双尾检验法、单尾检验法（左尾检验法或右尾检验法）。
（1）双尾检验法
假设：
H0:μ=μ0；
H１:μ≠μ0；
⎧⎫⎧⎫-μ0P⎨-tα(n-1)
ˆnσ22⎩2⎭⎭即 ⎩2 ⎧ˆ⎫ˆ⎫⎫⎛σ⎛σ
P⎨-tα(n-1)
⎝n⎭⎝n⎭⎭2
或 ⎩2
或写成
P-μ0
ˆ⎫⎛σ
k=tα(n-1) ⎪ ⎪tα(n-1)
⎝n⎭，22式中 为t分布的双侧100α百分位点。
t
当
2
或
-μ0
时，接受
H0，拒绝H１；反之，拒绝H0，接受H１；
（2）左尾检验法 假设：
H0:μ=μ0；
H１:μ
⎧-μ0⎫P⎨
ˆσn⎭即 ⎩
或写成
P{(-μ0)
ˆ⎫⎛σ
k=-tα(n-1) ⎪ ⎪t(n-1)
n⎝⎭，α式中 为t分布的上100α百分位点。
当
u
，
（3）右尾检验法
假设：
H0:μ=μ0；
H１:μ>μ0
⎧-μ0⎫P⎨>+tα(n-1)⎬=P{t>+tα(n-1)}=αˆnσ⎭即 ⎩
或写成
P{(-μ0)>k}=α
ˆ⎫⎛σk=tα(n-1) ⎪ ⎪
n⎝⎭
式中
当
t>+tα(n-1)或(-μ0)>k时 拒绝H0，接受H１；反之，接受H0， 拒绝H１；
，
例[7-3] 为了测定经纬仪视距常数是否正确，设置了一条基线，其长为100m，与视距精度相比可视为无误差，用该仪器进行视距测量，量得长度为：
100.3，99.5，99.7，100.2，100.4，100.0 99.8，99.4，99.9， 99.7，100.3，100.2
试检验该仪器视距常数是否正确。
解： n=12
1=
n
∑
i=1
ni=1
12
xi=
1
(100.3+99.5+99.7+100.2+100.4+100.0+12
=99.8+99.4+99.9+99.7+100.3+100.2)=99.95
ˆ=±σ
∑(x
i
-)2
=±0.37
n-1
t=
-μ99.96-100
==-0.46ˆnσ0.
H１:μ≠100。
假设
H0:μ=100；
选定a=0.05
以自由度n-1=11，α=0.05，查t分布表得认为在100m左右范围内，视距常数正确。
tα=2.2
2
t
，现
2
，接受
H0，可
同样，t检验法不仅可以检验单个正态母体参数，还可以对两个母体均值是否存在显著性差异进行检验。
设两个正态随机变量
X~N(μ1、σ12)
222
Y~N(μ、σ)σ、σ2212和，未知，但已知
2222
σ12=σ2σ=σ=σ12,设为。
从两母体中独立抽取的两组子样为
x1,x2, ,xn1
和
y1,y2, ,yn2
。子样均值分别为22
ˆˆσ、σ2，则两个均值之差构成如下服从t分布的统计量，即 和，子样方差分别为1
t=
(-)-(μ1-μ2)
11+n1n2ˆ+(n2-1)σˆ(n1-1)σ
n1+n2-2
21
22
～t(n1+n2-2)
（7-2-6）
例[7-4] 为了了解白天和夜晚对观测角度的影响，用同一架光学经纬仪在白天观测了9个测回，夜晚观测了8个测回，其结果如下
22
'''ˆ=46︒2830.2,σ=0.49秒1白天观测成果：
'''夜晚观测成果： =46︒2828.7,
问日夜观测结果有无显著的差异（取
解：（1）（2）当
ˆ12=0.53秒2 σ
α0=0.05）？
H0:μ1=μ2；H1:μ1≠μ2
H0成立时，统计量值计算 (-)-(μ1-μ2)
(46︒28'30.2''-46︒28'28.7'')=
11
+98
=4.3283
(9-1)⨯0.49+(8-1)⨯0.53
9+8-2
11+n1n2
ˆ+(n2-1)σˆ(n1-1)σ
n1+n2-2
21
22
t=
（3）查表得因为
tα2=t0.025=2.1315
t=4.3283>tα=2.1315
，故拒绝
H0，即认为在α0=0.05的显著水平下，
日夜观测结果有显著的差异。
顺便指出，当t的自由度n-1>30时，t检验法与u检验法的检验结果实际相同。
t检验法也可用来检验两个正态母体的数学期望是否相等。
2χ三、检验法 2χ1．检验法的概念
2
N(μ，σ)，母体方差σ2未知。从母体中随机抽取容量为n的设母体服从正态分布
2222ˆˆσ(m)σ(m)对母体方差σ2进行假设检验，可子样，可求得子样方差，利用子样方差
χ=
利用统计量
2
ˆ2(n-1)σ
σ2
，此统计量服从自由度为n-1的χ分布，即
2
χ
2
ˆ2[vv](n-1)σ==～χ2(n-1)
σ2σ2
(7-2-7)
22χχ这种用统计量对母体方差进行假设检验的方法，称检验法。
2．χ检验法的类型
2
χ根据检验问题的不同，利用检验法对母体方差进行检验时，可选用双尾检验法、单
2
尾检验法（左尾检验法或右尾检验法）。
（1）双尾检验法
22
H:σ=σ0；假设：0
2
H１:σ2≠σ0
；
⎧2α(n-1)σˆ22α⎫P⎨χ1-
2⎧2ασ0σ02⎫22α
ˆ
⎭或 ⎩ 2
ˆPk
{}
k1=χ
式中
2
1-
α
2
2
σ0
(n-1)，
k2=χ
2α2
2σ0
(n-1)
HHˆ2
当k1
（2）左尾检验法
22
H:σ=σ；00假设：
2
H１:σ2
2222
HHσ=σσ≤σH0001这里虽记为，实际上相对来说是,当0成立时，有
⎧⎫⎧⎫ˆ2ˆ2⎪(n-1)σ⎪(n-1)σ2⎪2⎪P⎨>χa⎬=aP⎨
σ⎪⎪⎪σ0⎪0
⎭⎭即 ⎩ 或 ⎩
如果统计量χ的计算值则拒绝原假设
2
ˆ2(n-1)σ
σ2
小于以显著水平
a和自由度n-1查得的χ
2
a 值，
H0，接受H1．否则接受H0。
2
H１:σ2>σ0
（3）右尾检验法
22
H:σ=σ；00假设：
2222Hσ=σσ≥σH0，实际上相对0,当H0成立时，有 1来说是这里0虽记为
⎧⎫ˆ2⎧(n-1)σ⎫ˆ2⎪(n-1)σ2⎪2
P⎨χa⎬=1-a22
σσ0⎪⎪0⎭⎭即 ⎩ 或 ⎩
如果统计量χ的计算值则拒绝原假设
2
ˆ2(n-1)σ
σ2
大于以显著水平
a和自由度n-1查得的χa 值，
2
H0，接受H1。否则接受H0。
例[7-5] 用某种类型的光学经纬仪观测水平角，由长期观测资料统计该类仪器一个测回的测角中误差为
σ0=±1.80''。今用试制的同类仪器对某一角观测了10个测回，求得一个
ˆ0=±1.70''σα=0.05）
。问新旧两种仪器的测角精度是否相同（取0？
测回的测角中误差为
222222
H:σ=σ=1.80H:σ≠σ≠1.800000解：（1）；
（2）当
H0成立时，计算统计量值
χ=
2
ˆ2(n-1)σ
2
σ0
9⨯1.702==8.0281.802
22χ(9)=2.700,χ0.9750.025(9)=19.023 （3）查得
因为χ落在了（2.700，19.023）区间，故接受下，新旧两种仪器的测角精度相同。
四、F检验法
2
H0，即认为在α0=0.05的显著水平
1．F检验法的概念
2222
N(μ，σ)N(μ，σ)σσ221112设有两个正态母体和，母体方差和未知。从两个母
ˆ2ˆ2
体中随机抽取容量为n1和n2的两组子样，求得两组子样的子样方差σ1和σ2，则
ˆ12(n1-1)σ
～χ2(n1-1)
σ12
2ˆ2(n2-1)σ2
σ2
～χ2(n2-1)
2222ˆˆσσσσ利用子样方差1和2的上述信息对母体方差1和2是否相等进行假设检验，则可
利用统计量
ˆ12(n1-1)σF=
σ12
2
ˆ2(n2-1)σ
n1-1)n2-1)
22
ˆσ2σ=212
ˆ2σ1σ
σ
此统计量服从F分布，即
2
2
2
ˆ12σ2σ
F=22~F(n1-1，n2-1)
ˆ2σ1σ (7-2-8)
2．F检验法的类型
根据检验问题的不同，利用F检验法对母体方差进行检验时，可选用双尾检验法、单尾检验法（右尾检验法）。
（1）双尾检验法
假设：
2
H0:σ12=σ2；
2
H１:σ12≠σ2
；
⎧⎫ˆ12σ
P⎨Fa(n1-1,n2-1)
1-ˆ2σ22⎩⎭即
ˆ12ˆ12σσFa(n1-1,n2-1)221-ˆˆσσH22故当2或2时拒绝0，接受H1；否则，接受
H0。
在实际检验时，我们总是可以将其中较大的一个子样方差作为
ˆ2σ
1
，另一个作为
ˆ2σ
2
，
ˆ12σ
2ˆσ2这样就可以使永远大于1。因为
F
1-
，n2-1)=a(n1-1
2
1
Fa(n2-1，n1-1)
2
而在F分布表中的所有表列值都大于1，即上式右端中的分母
Fa(n2-1，n1-1)
2
大于1，
F
故
1-
，n2-1)=a(n1-1
2
1
Fa(n2-1，n1-1)
2
ˆ12σ
>12ˆσ必小于1，而我们又使2，所以不可能有
ˆ12σˆ12σ
以了，不必再去考虑左尾的拒绝域。在这种情况下，可写成
⎧σ⎫ˆ12
P⎨2
ˆ2
2⎩σ⎭
（2）用右尾检验法 假设：因
H0:σ12=σ22；H１:σ12>σ22
;
⎧σ⎫ˆ12
P⎨2>Fa(n1-1，n2-1)⎬=aˆ2⎩σ⎭
ˆ12σ
>Fa(n1-1，n2-1)2
HHˆσ故当2时，则拒绝0，接受H1；否则，接受0。
ˆ12σ
>12ˆ 由于前面讲过的理由，我们总是可以使σ2，所以进行单尾检验时，就没有必要再
考虑备选假设为
22
σ1
的情况了。
例[7-6] 用两台经纬仪对同一角度进行观测，用第一台观测了9个测回，得一测回测角
''用第二台也观测了9个测回，''ˆˆ中误差估值σ1=±1.5，得一测回测角中误差估值σ2=±2.4，
问两台仪器的测角精度差异是否显著（取
解：（1）
α0=0.05）？
H0:σ1=σ2；H0:σ1≠σ2 H0成立时，统计量值计算
（2）当
2ˆ12σ2σ(2.4)2
F=22==2.562ˆ2σ1σ(1.5)
（3）查得
因为Fα=4.4 F=2.56
例[7-7] 给出两台测距仪测定某一距离的测回数和计算的测距方差为
22ˆσcm1=0.10n=8 测距仪甲：1，
22ˆσcm2=0.07n=12 测距仪乙；2，
试在显著水平a=0.05下，检验两台仪器测距精度有否显著差别。
解：22H0:σ1=σ2；22H１:σ1≠σ2
以分子自由度7，分母自由度11，查得F0.025=3.76；计算统计量
ˆ120.10σF=2==1.43ˆ20.07σ
F
现2，故接受H0。
如果上例问测距仪乙测距精度是否比甲低，此时的
假设和备选假设为
22H0:σ1=σ2；ˆ2=0.10cm2ˆ2=0.07cm2σσ1,2，原22H１:σ1>σ2
统计量为
ˆ120.07σF=2==0.7ˆ20.10σ
在F分布表查得F0.05(11，7)=3.7，F
H0必成立。 在F分布表中的值均大于1，发现F值小于1，