函数教学中的成功之处

函数教学中的成功之处

扶余县三井子镇职业中学 刘树臣

函数教学是初中数学教学的一个重点和难点，精心挑选和设计学生较易接受的题目背景，这样在教学中学生容易产生亲切感，有利于教学活动的开展。但是对于比较难的题型或知识，应该事先布置给学生作预习，这样将有助于课堂教学和学生更深层次的理解。

函数可以用来解决很多生活的实际问题；函数教学的目标是探索具体问题中的数量关系和变化规律，运用函数的知识进行描述和解决；能力目标是能选择、处理数学信息，并做出合理的推断或大胆的猜测; 能结合具体情境发现并提出数学问题；尝试从不同角度寻求解决问题的方法，并能有效解决问题；能初步具有数形结合、分段函数的数学思想；学会与人合作，并能与他人交流思维的过程和结果。情感目标是乐于接受生活中的数学信息，积极参与对数学问题的讨论，敢于发表自己的观点，能从交流中获益。本节的教学重点是通过创设探索情境，体现数学与现实生活的联系，进一步培养学生从函数的角度思考和解决问题。教学难点是数学建模思想的培养，从实际问题中抽象出数学模型，进而用数学知识来解决问题。

考虑到函数教学较难进行之处在于学生第一次接触函数相关内容，其抽象性不易理解与掌握，所以采取的教学策

略是从学生感兴趣的实际题目入手，容易引起学生兴趣，从而进入探索过程。课堂组织形式采用引导探究模式，充分调动学生积极性，以课堂讨论为主. 在函数教学中有以下令自己较满意的地方：

一. 结合生活实例，充分调动学生学习的激情．

在学习常量和变量时，举出生活中的很多实例 ，使学生感受身边的数学。如匀速推开窗，在这个过程中，那些量发生了变化？那些量没有发生变化？让学生认真观察，真正理解常量和变量。再如，学习一次函数与二元一次方程组的关系时，用多媒体播放一段发生在电信公司里的情景：一顾客准备办理上网业务，发现有两种收费方式：方式A 以每分钟0.1元的价格按上网时间计费；方式B 除收月租费20元外再以每分钟0.05元的价格按上网时间计费。顾客说他每月上网的费用按这两种收费方式计算都是一样多。求这位顾客打算每月上网多长时间？多少费用？

学生已经学习过列方程（组）解应用题, 因此可能列出一元一次方程或二元一次方程组，用方程模型解决问题。结合前面对一次函数与一元一次方程、一元一次不等式之间关系的探究，我自然地提出问题：“一次函数与二元一次方程组之间是否也有联系呢？”，从而揭示课题。

二．重视对函数图像的理解与应用．

从图像获取信息也是学习函数之后学生应该具有的能力与技巧。选取了学生很感兴趣的寓言故事，如“乌鸦喝水”“龟兔赛跑”以及改编后的“龟兔赛跑”让学生从图象获取信息，编成新的故事，讲给学生听，或提出问题。再让学生画出有创意的图象，富于新的意义。学生的学习兴趣非常高。学生从图象获取直观认识，由折线特征结合生活实际构造应用背景；了解了起点、终点的含义，转折点对应用背景的影响；学生根据以往学习经验进行创造性学习，学生学会了如何识图，用图，将图象反应于文字。

三、大胆对教材作大幅度调整、修改

①对知识内容的完整性作了补充。

教材对“一次函数图象的画法”阐释得不太完整、详尽。学习函数的图象需要培养学生数形结合的思想，一次函数图象又是所有函数图象中最简单的一种，是以后学习其他复杂函数的基础，所以整体全面地学习一次函数的图象能为学生以后学习其他复杂函数提供思路样本、节省学习时间。虽然在课后的习题与作业本中都有涉及到：当一次函数的自变量限制在某一范围时如何画此一次函数的图象，但在教材中说得很少，教师对此类问题做相关示范。当一次函数的自变量限制在某一范围时一次函数的图象是一条射线或线段，至于如何快速地画出射线或线段呢，让学生讨论后给出总结：对

于射线，取起点与另一个异于起点的任一点画出射线；对于线段，取线段的两个端点然后连接即可。

②对例题的处理

在课题学习，选择方案把问题3换成学生熟悉的“购物问题”去“万利”超市购物，商品可以优惠，而且还有两种优惠方法（不可同时使用）：（1）买一送一（即买一份“大礼包”送一瓶饮料）（2）打九折（即按购买总价的90%付款）。而且优惠的前提是购买大礼包4份或以上（大礼包20元/份，饮料5元/瓶）。我想过节期间买“大礼包”4份，饮料若干瓶，哪种更便宜？若买“大礼包”4份，饮料30瓶，那么哪种又更便宜呢？同学们能应用所学的函数知识， 帮我解决这个问题吗？

每个学生都跃跃欲试，给老师选择方案。使学生认识到利用一次函数可以指导购物，一次函数很有用啊，在学习它的时候可真得好好研究呢！既锻炼了数学头脑、发散了思维，又节省了钱财、杜绝了浪费，真是一举两得啊！

四、函数教学要激发全体学生参与

首先，新教材通过一系列具体实例引导学生观察、猜想、探究、发现，从而得出函数关系，引出常量和变量的概念，分析出函数的概念。我在教学中要求学生结合实际情况，每人再举一例说明“一个量随另一个量的变化而变化”。学生稍加思考后积极回答，如“水费随水量的变化而变化”、

“生活费随餐数的变化而变化”、“衣服随时间的变化而变化”等等。这样不但使学生深刻理解了函数的概念，而且促使全体学生参与，活跃了其思维，增强了学习信心。

其次，为学生提供参与的机会。在教学过程中教师要根据教材的特点和学生的实际情况，想方设法创造条件，为学生提供参与和学习的机会，从而提高他们探求知识和自学的能力。学生在掌握函数概念后，我设计了这样几个问题：

（1）y=2x+3；（2）y=x；（3）直角三角形的两个锐角的度数分别为x 、y ，用x 表示y 的关系式；（4）从边长为20的正方形的四角剪去四个边长为x 的小正方形，做成一个无盖的小方盒子，设此盒的容量为v ，写出v 关于x 的函数解析式，所有这些问题中自变量的取值范围是什么？学生通过思考、比较、互相讨论可得出函数定义包含的三层意思这使学生有了发现规律的时间和空间，能更好地开发其智力。

反比例函数

教材分析：

函数是在探索具体问题中数量关系和变化规律的基础上抽象出的数学概念，是研究现实世界变化规律的重要数学模型。本节课通过对具体情景的分析，概括出反比例函数的概念。通过例题和举例可以丰富对函数的认识，理解反比例函

数的意义。

学情分析:

学生在前面已学习过“变化之间的关系”和“一次函数”等内容，对函数已经有了初步的认识，在此基础上再一次进入函数范畴，通过讨论反比例函数可以进一步领悟函数的概念，为后续学习产生积极的影响。本节课从学生熟悉的实际问题出发，使学生逐步从对具体函数的感性认识上升到对抽象的反比例函数概念的理性认识。

教学目标：

1．从现实情境和已有知识经验出发，讨论两个变量之间的相依关系，加深对函数概念的理解。

2．经历抽象反比例函数概念的过程，领会反比例函数的意义，理解反比例函数的概念。

教学重点：. 经历抽象反比例函数概念的过程，领会反比例函数的意义，理解反比例函数概念。

教学难点：领会反比例函数的意义，理解反比例函数概念。

教学方法：教师引导学生进行归纳。

教学过程:

一．创设问题情境，引入新课

师：我们在前面学过一次函数和正比例函数，知道一次函数的表达式为 （其中 为常数且 ）正比例函数的表达式

为 （k 为常数且k ,），在现实生活中，并不是只有这两种类型的表达式，如从A 地到B 地的路程为1200km, 某人开车从A 地到B 地，汽车的速度v(km/h)和时间t （h ）之间的关系式为vt=1200,则 中，t 和v 之间肯定不是正比例函数和一次函数关系，那么它们之间的关系究竟是什么关系呢? 这就是本节课我们要揭开的奥秘。

二．新课讲解

师：大家还记得函数定义吗？（复习函数定义）

生：记得在某个变化过程中有两个变量x 与y ，如果对于x 的每一个值，y 都有唯一确定的值与它对应，那么就说x 是自变量，y 是x 的函数。

大家能举出实例吗？

生1：可以

例如，圆的面积S(cm )与它的半径R(cm)之间的关系是S= , 这个式子中有两个变量S 与R ，对于半径R 的每一个值，面积S 都有唯一的值与它对应，因此说S 是R 的函数

生2：购买单价是0.4元的铅笔。总金额y （元）与铅笔数n （个）的关系是 这是一个正比例函数

生3：等腰三角形的顶角的度数y 与底角的度数x 的关系为 ，y 是x 的一次函数

师 再来看下面实际问题的变量之间是否存在函数关系，那么是否为正比例或一次函数关系式

（经历抽象反比例函数概念的过程，并能类推归纳反比例函数的表达式）

师：请看下面的问题

实例1. 电流I ，电阻R ，电压U 之间满足关系,U=IR.U=220V时

（１）你能用含有R 的代数式表示I 吗?

（２）利用写出的关系式完成下表:

当R 越来越大时，I 怎样变化？当R 越来越小呢？

（３）变量I 是R 的函数吗？为什么？

请大家交流后回答。

生1：（1）能用含有R 的代数式表示I ，由IR=220,得I= 生2：(2)利用上面的关系式可知，从左到又依次填11，

3.67，2.75，2.2

从表格中的数据可知，当R 越来越大时，I 越来越小；当R 越来越小时，I 越来越大.

生3：(3)变量I 是R 的函数. 由IR=220,得I= . 当给定一个 R的值时，相应地就确定了一个I 值, 因此I 是R 的函数

师：回答的很好，下面再思考一个问题。

舞台灯光为什么在很短的时间内把阳光灿烂的晴天变成乌云密布的阴天。或由黑夜变成白昼的？请大家交流后回答。

生1：由I=，当R 变大时,I 变小, 灯光较暗; 当R 变小时，I 变大，灯光较亮。所以通过改变电阻R 的大小来控制电流I 的变化，就可以很短的时间内把阳光灿烂的晴天变成乌云密布的阴天, 或由黑夜变成白昼。

例2．京沪高速公路全长约为1262km, 汽车沿京沪高速公路从上海驶往北京，汽车行完全程所需的时间t(h)与行驶的平均速度v(km/h)之间有怎样的关系？变量t 是v 的函数吗？为什么？(学生独立完成)

生1：由1262= vt, 则有 。当给定一个v 值时，相应地就确定了一个t 值根据函数的定义可知t 是v 的函数。

师：从上面的两个例题得出的关系式I=， 它们是函数吗？它们是正比例函数吗？是一次函数吗/

生2因为给定一个R 的值，相应地就确定了一个I 的值，所以I 是R 的函数; 同理由定义可知t 是v 的函数。但是从表达形式上看，它们既不是正比例函数也不是一次函数。

师：大家能否根据两个例题归纳出这一类函数的表达式呢?

生：可以由I=，与 可知关系式为 （k 为常数且k ）

师：很好(先让学生用语言叙述, 教师补充)

（板书）一般地，如果两个变量x,y 之间可以表示成 （k 为常数且k ）的形式，那么称y 是x 的反比例函数。

从 中可知x 作为分母，所以x 0

做一做

①一个矩形的面积为20，相邻的两条边长分别为 xcm和ycm ，那么变量y 是 变量x 的函数吗？是反比例函数? 吗为什么？

②.某村有耕地346.2公倾，人口数量n 逐年发生变化，那么该村人均占有耕地面积m(公倾/人) 是全村人口数n 函数吗？是反比例函数? 吗为什么？

③.y是x 反比例函数, 下表给出了x 与y 的一些值：

写出这个反比例函数的表达式

根据函数的表达式完成上表。

师：先回忆一下求正比例函数和一次函数的表达式，在 中，要确定关系式的关键是求非零常数k 的值，因此需要一个条件即可；在一次函数 中，要确定关系式实际上是求得b 和k 的值，有两个待定系数因此需要两个条件即可；同理，在求反比例函数的表达式时实际上是求得k 的值，因此需要

一个条件即可；也就是要有一组x 与y 的值确定k 的值，所以要从表格中观察。由 确定k 的值，然后再根据表达式分别计算x 或y 的值。

(三）课堂巩固练习

1．已知反比例函数 ，分别根据下列条件求出字母k 的取值范围

（1）函数图象位于第一、三象限

（2）在第二象限内，y 随x 的增大而增大

2．在平面直角坐标系内，过反比例函数 （k ＞0）的图象上的一点分别作x 轴、y 轴的垂线段，与x 轴、y 轴所围成

的矩形面积是6，则函数解析式为

3．若函数 与 的图象交于第一、三象限，则m 的取值范围是

4．反比例函数y= ，当x ＝－2时，y ＝ ；当x ＜－2时；y 的取值范围是 ；

当x ＞－2时；y 的取值范围是

（四）课时小结(先让学生自己小结, 教师板书)

1、本节课我们学习了反比例函数定义，并归纳总结出反比例函数的表达式为 （k 为常数且k ）。还能根据定义和表达式判断某两个变量之间的关系是否是函数，是什么函数。

２、我们能将前面学习的正比例函数和反比例函数的图

象和性质进行比较？寻找他们的区别和联系？

师：（出示课前准备的小黑板）正比例函数与反比例函数的图象和性质的比较表：

（五）课后作业

１、习题18.4，４、５

２、（补充）、已知 与成x+2正比例，且当时,y=4,求 与

x 的函数表达式，并判断是哪类函数？

课后反思：

教学设计方面，首先我在学案的设计把出现的问题的答案留给学生自己去总结，我认为这样可以激发学生学习中的热情。其次就是在新知识的展现形式方面新知识的学习定位为自主学习，让学生自己找出的答案，使学生经历概念的生成过程，培养学生阅读课本和总结问题的能力。

课堂教学方面，本堂课比较成功的做法是，首先，教师角色转变的重心在于使传统意义上的教师教和学生学，不断让位于师生互教互学，彼此形成一个真正的“学习共同体”。其次，对学生提出的问题有灵活的解决办法并且在小组合作学习产生争议的时候，教师能放能收，处理的到位，符合新的课堂教学理念。在学习的过程中让学生觉得数学的简单，不仅是一种技巧，更是一种智慧，是还原数学最朴素的状态。只有这样，才能极大地释放孩子的潜能。

不足之处在上课过程中，对学生的情感关注太少。新课堂改革，不应该是对原有课堂的全盘否定，原有课堂教学中对学生的表扬和鼓励应该在新课堂教学中得到更好的体现，因为学生的学习是认知和情感的结合，只有给了他们情感上的极大满足，学生才会获得渴望成功的动力，我们的自主学习活动才能收到应有的效果。

今后我还应注意做到不断学习新的教育理论，充实自己

头脑，指导新课程教学实践。注意评价的多元化，全面了解学生的数学学习历程，对数学学习的评价不仅要关注学生学习的结果，更要关注他们学习的过程，帮助学生认识自我，建立信心。