不等式易错题分析
不等式易错题分析
一、解一元二次不等式的易错题
（一）、随意消项致误
例题1：解不等式; (x 2-4x +4)(x 2-4x +3) ≥0
错解：原不等式可化为：(x -2) 2(x -1)(x -3) ≥0
解得 (x -2) 2≥0, ∴(x -1)(x -3) ≥0
所以x ≥3或x ≤1
原不等式的解集为：{x |x ≥3或x ≤1}
剖析：错误是由于随意消项造成的，事实上，当(x -2) 2=0时，原不等式亦成立 正解：原不等式可化为：x -2≠0且(x -1)(x -3) ≥0或(x -2) =0
解得x ≥3或x ≤1或x=2
所以原不等式的解集为：{x|x ≥3或x ≤1或x=2}
（二）、函数不清致误
例题2：已知函数y =(m 2+4m -5) x 2+4(1-m ) x +3的图像都在x 轴的下方，求实数m 的取值范围。
错解：，依题意，对x ∈R , y >0恒成立，于是函数的图像开口方向向上，且图像
2⎧m ⎪+4m -5>0与x 轴无交点。故⎨ 223(m +4m -5)
解得1
即所求m 的取值范围为1
剖析：题设中的函数未必时二次函数，也就是说缺少对m 2+4m -5是否为0的讨论。
正解：当m 2+4m -5≠0时，同上述解答有1
若m 2+4m -5=0时，则m=1或m=5
若m=1，, 则已知函数化为y =3，则对x ∈R , y >0恒成立；
若m=5，则已知函数化为y =24x +3，对x ∈R , y >0不恒成立，故此情形舍去。 所以m 的取值范围为1≤m
（三）、漏端点致误
例题3：已知集合A ={x |x 2-x -2≤0}, B ={x |a
错解：A ={x |x 2-x -2≤0}={x |-1≤x ≤2}
若使A B =φ，需满足a >2或a +32或a 2或a
剖析：上面的解法错误原因在于忽视了集合A ={x |-1≤x ≤2}的两个端点值-1和2，其实当a =2时B ={x |2
正解：A ={x |x 2-x -2≤0}={x |-1≤x ≤2}若使A B =φ，需满足a ≥2或a +3≤-1，解得a ≥2或a ≤-4，所以实数a 的取值范围是a ≥2或a ≤-4。
(四) 、条件非充要致误
例题4：若方程x 2+(m -2) +5-m =0的两根均大于2，求实数m 的取值范围。
⎧(m -2) 2-(5-m ) ≥0⎧∆≥0⎪⎪错解：设两根为x 1, x 2，则有题意可得：⎨x 1+x 2>4⇒⎨2-m >4
⎪x x >4⎪5-m >4⎩12⎩
解得m ≤-4
剖析：错在x 1+x 2>4且x 1 x 2>4与x 1>2且x 2>2不等价，事实上，由后者可以推出前者，但是由前者却推不出后者。
正解：设两根为x 1, x 2，则有题意可得：
⎧(m -2) 2-(5-m ) ≥0⎧∆≥0⎪⎪ ⎨(x 1-2) +(x 2-2) >0⇒⎨2-m >4
⎪(x -2) (x -2) >0⎪5+m >4⎩12⎩
解得-5
二基本不等式的易错题
（一）、忽视条件——正数
例题5：已知x , y ∈R ，且x +y =1，求证xy ≤
错解：由基本不等式得x +y ≥1
4
∴xy ≤(x +y 21) =
24
剖析：公式x +y ≥x,y 均为正数，错解忽视了这个前提条件
正解：1=(x +y ) 2=x 2+y 2+2xy ≥2xy +2xy
当且仅当x =y 时取“=”
1 4
（二）忽视条件二——定值 ⇒xy ≤
a 2b 2⎛π⎫+2的最小值。
例题:6：若θ∈ 0, ⎪, a >b >0，求f (θ) =2cos θsin θ2⎝⎭a 2b 22ab 错解：f (θ) = +≥=22cos θsin θsin θcos θ
b a 2b 2
tan θ==当且仅当，即 22a cos θsin θ
此时2ab 4ab 4ab ===2(a 2+b 2) 2tan sin θcos θsin 2θ
1+tan 2θ
a 2b 2
22∴+≥2(a +b ) 22cos θsin θ
即[f (θ) ]min =2(a +b ) 22
剖析：使用基本不等式求函数的最值时，需验证“一正二定三相等”的条件，上述解法违背了第二条“二定值”要求θ∈ 0, ⎛
⎝π⎫⎪内的任意一个值时不等式的右边均为定值。 2⎭
a 2b 2
+2 正解：f (θ) =2cos θsin θ
1) 2tan θ
b 2
2222=a +b +(a tan θ+) tan 2θ
≥a 2+b 2+2ab =(a +b ) 2=a 2(1+tan 2θ) +b 2(1+
b 2当且仅当a tan θ=
，即当时， tan θ=tan 2θ22
所以f (θ) 的最小值为(a +b ) 2
（三）、忽视条件三——相等
1、忽视等号是否成立
例题7
：求函数y =2=
错解：函数y =22=≥2
所以函数的最小值为2。
剖析：使用基本不等式求函数的最值时，一定验证等号成立的条件
即
上述解法在等号成立时，在实数范围内是不成立的。
a +b ≥a =b 才能取等号。
正解：y =2=2=
≥2,
1y =t +在t ≥2时是单调递增的， t
115∴y =t +≥2+= t 22
5故函数的最小值是 2
2、多次使用，忽视等号是否同时成立
例题8：已知两个正实数x , y ，满足x +y =4，求14+的最小值
x y
错解：由已知得4=x +y ≥xy ≤
4
14+≥=≥2 x y 所以14+最小值是2 x y
剖析：上述解法中两次使用基本不等式，其中xy ≤4等号成立必须满足x =y ，而14+≥4x =y ，因为均为正数，所以两个等号不会同时成x y
立，所以上述解法是错误的。
正解： 4(1+4
y ) =(x +y ) (144x y x x +y ) =5+y +x ≥9 当且仅当1
x =4
y 且x +y =4， 即x =4
3, y =8
3时取等号，
∴1
x +4
y ≥9
4 即1
x +4
y 最小值为9
4