北师大版相似三角形的整理与测试

相似三角形的复习

评讲人:嘉升教育胡老师([1**********]) 时间:2012/5/12 上午 学生:__________

知识要点梳理:小小罗盘, 指引学习方向!

一、判定思路：

1）定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。 2）判定定理1：两角对应相等;

3）判定定理2：两边对应成比例且夹角相等; 4）判定定理3：三边对应成比例;

5）直角三角形相似的判定定理：斜边和一条直角边对应成比例;

二、性质：

相似三角形除具有对应角相等、对应边成比例的性质外，还具有如下性质： （1） 相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比。 （2）相似三角形周长的比、位似图形的位似比也等于相似比。 （3）相似三角形面积的比等于相似比的平方。 三、常见图形:

1）A 型图或X 型图：如果一条直线平行于三角形的一条边，且这条直线与原三角形的两条边（或其延长线）分别相交，那么所构成的三角形与原三角形相似。

2）“子母”型图：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形，与原直角三角形相似。 一、基础训练: 1、判断题

.

1）. 所有的等边三角形都相似 ( ) 2）. 所有的等腰直角三角形都相似 ( ) 3）. 所有的直角三角形都相似 ( ) 4）. 所有等腰三角形都相似 ( ) 5）. 有一个角是100°的两个等腰三角形相似 ( ) 6）. 有一个角是70°的两个等腰三角形相似 ( )

7）. 如果两个三角形周长之比是1∶2，那么它的面积之比为1∶4( ) 8）. 若两等腰三角形面积之比为9∶25，则它的底边之比为3∶5( ) 2：填空

1）. 已知两个相似三角形的对应角平分线的比是1∶4，则对应高的比为_____，面积的比为_____。

2）. 已知两个相似三角形的面积比是1∶4，对应中线的比为_____，周长的比为______。 3）. 一个三角形的面积扩大为原来的100倍，而它的形状不变，则边长应扩大为原来的______倍。

4）. 两个相似三角形对应周长的比为2∶3，面积的比为1∶a, 则a 等于_____. 3、考查重点与常见题型

⑴相似三角形性质的应用能力，常以选择题或填空形式出现，如： 若两个相似三角形的对应角的平分线之比是1∶2，则这两个三角形的对应高线之比是---------，对应中线之比是------------，周长之比是---------，面积之比是-------------，若两个相似三角形的面积之比是1∶2，则这两个三角形的对应的角平分线之比是----------，对应边上的高线之比是-------- 对应边上的中线之比是----------，周长之比是--------------，

⑵ 考查直角三角形的性质, 常以选择题或填空题形式出现，如： 如图，在Rt ΔABC 中，∠ACB=90°,

CD ⊥AB 与D ，AC=6，BC=8， 则AB=--------，CD=---------，

AD=---------- ，BD=-----------。4、热身练习

⑴. 已知两个相似三角形的周长分别为8和6，则他们面积的比是（ ）

2

⑵. 有一张比例尺为1 4000的地图上，一块多边形地区的周长是60cm ，面积是250cm ，则

2

这个地区的实际周长-------- m，面积是----------m

⑶ . 有一个三角形的边长为3，4，5，另一个和它相似的三角形的最小边长为7，则另一个

三角形的周长为----------，面积是-------------

⑷ . 两个相似三角形的对应角平分线的长分别为10cm 和20cm ，若它们的周长的差是60cm ，

2

则较大的三角形的周长是----------，若它们的面积之和为260cm ，则较小的三角形的面积

2

为---------- cm

⑸ . 如图，矩形ABCD 中，AE ⊥BD 于E ，若BE=4，DE=9,则矩形的面积是----------- (6).已知直角三角形的两直角边之比为12，则这两直角边在 斜边上的射影之比------------- 常考热题

1．两个三角形周长之比为95，则面积比为（ ）

（A ）9∶5 （B ）81∶25 （C ）3∶5 （D ）不能确定

2．Rt ΔABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB 于D ，DE ⊥AC 于E ，那么和ΔABC 相似但不全等的三角形共有（ ）

(A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个

3．在Rt ΔABC 中，∠C=90°，CD ⊥AB 于D ，下列等式中错误的是（ ）

22222

（A ）AD • BD=CD （B ）AC •BD=CB•AD （C ）AC =AD•AB （D ）AB =AC+BC

AF 1CG

4．在平行四边形ABCD 中，E 为AB 中点，EF 交AC 于G ，交AD 于F ，则 的比值是

FD 3GA （ ）（A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）5 5．在Rt ΔABC 中，AD 是斜边上的高，BC=3AC则ΔABD 与ΔACD 的面积的比值是（ ） （A ）2 （B ）3 （C ）4 （ D）8

6．在Rt ΔABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB 于D ，则BD ∶AD 等于（ ）

（A ）a ∶b （B ）a ∶b （C a b （D ）不能确定

2

7．若梯形上底为4CM ，下底为6CM ，面积为5CM ，则两腰延长线与上底围成的三角形的面积是----------

8. 已知直角三角形的斜边的长为13CM ，两条直角边的和为17CM ，则斜边上的高的长度为

-------------

2

2

9. ．Rt ΔABC 中，CD 是斜边上的高线，，AB=29。AD=25，则DC=--------- 10．平行四边形ABCD 中，E 为BA 延长线上的一点，CE 交AD 于F 点，若AE ∶AB=1∶3则S ABCF ∶S CDF =--------- 二、例题解析.

例1：如图△ABC 中，边BC=8cm，高AD=12cm，EF ∥BC 。 （1）若EF=4,求S ∆AEF

（2）若将EF 向上平移，使S ∆AEF =4，求∆AEF 的高。

变式训练： 如图△ABC 是一块锐角三角形余料，边BC=8cm，高AD=12cm，要把它加工成矩形零件，使矩方形的一边在BC 上，其余两个顶点E 、F 分别在AB 、AC 上（不与点B 、点C 重合）。

求：（1）AK 为何值时，矩形EFGH 是正方形？ （2）AK 为何值时，此矩形的邻边之比是1:2？

解题指导

E

K D

B C

E

K

B H D G C

1． 如图，在Rt ΔABC 中，∠ADB=90°,CD ⊥AB 于C ，AC=20CM,BC=9CM,求AB 及BD 的长

D

A B C

2． 如图，已知ΔABC 中，AD 为BC 边中线，E 为AD 上一点，并且CE=CD,

2

∠EAC=∠B, 求证：ΔAEC ∽ΔBDA,DC =AD•AE

A

E

B C D

F 3． 如图，已知正方形ABCD ，E 是AB 的中点，F 是AD 上的一点，EG ⊥CF D 112

且，于，（1）求证：CE 平分∠BCF,(2) AB=CG•FG

44

A

E

B C

独立训练

1. 用一个2倍的放大镜照一个ΔABC ，下列命题中正确的是（ ）

（A ）ΔABC 放大后是原来的2倍（B ）ΔABC 放大后周长是原来的2倍； （C ）ΔABC 放大后面积是原来的2倍 （D ）以上的命题都不对

2．边长为a 的等边三角形被平行于一边的直线分成等积的两部分，则截得的梯形一底的长为（ ）

12 2（A ） a （B 2 a （C ）（D 2233如图，PLMN 为矩形，AD ⊥BC 于D ，PL ∶LM=5∶9，

且BC=36CM，AD=12CM，则矩形PLMN 的周长为（ ）

A B

N M

C

L D

4在Rt ΔABC 中，CD 是斜边上的高线，AC ∶BC=3∶1则S ΔABC ∶S ΔACD 为（ ） （A ）4∶3 （B ） 9∶1 （C ）10∶1 （D ）10∶9 A

E 5如图，Rt ΔBAC 中，∠BAC=90°，AD ⊥BC 于D ，

F DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，下列中正确的个数是（ ） AB BD

AB =BD•BC ，DE =AE•BD ，AC =DC•BC ，3 =AC CF

2

2

2

2

2

3

B D

D C

C

AD =BD•DC ，BD =BE•AB （A ）6 （B ）5 （C ）4 （D ）3 6如图，若DC ∥EF ∥AB ，且DE ∶EA=m∶n,BC=a,

E F 则CF=---------,FB=--------------

7.CD 是Rt ΔABC 斜边上的高线，BC=10，BD=6， A B 则AD=---------AC=--------

8如图，M 为AB 中点，AB ∥CD ，延长MC 交BD 延长线于E ，延长MD 交AC 延长线于F ，求证：

E F EF ∥AB

C D A B M

提高拓展题:

09.(1)如图1, 已知四边形ABCD 中，求证：∠BDC=∠B+∠A+∠C;

(2)如图2，四边形ABCD,BE 平分∠ABC ，CE 平分∠ACD ，交BE 于点E, ∠A=70°，

∠BDC=120°，求∠BEC 的度数；（利用上面的结论解答） (3)如图3，∠ABA 10、∠ACA 10的10等分线相交于点A 1A 2A 3„„A 10, 若∠BA 10C=140°∠BA 1C=77

º, ∠A=＿＿＿＿。（直接写出答案）

10. ∠XOY=90°，点A 、B 分别在射线OX 、OY 上移动，BE 是∠ABY 的平分线，BE 的反向延长线与∠OAB 的平分线相交于点C, 试问∠ACB 的大小是否变化。如果保持不变，请给出证明；如果随点A 、B 的移动而变化，请给出变化范围。

y C O

A x

11. 如图,AO ⊥OD ，点B 、C 在OD 上，且OA=OB=BC=CD,求证：△ABC ∽△DBA.

A

O

B C

D

12. 如图, 在△ABC 中，D 是BC 上一点，E 是线段AD 上一点，且CE=CD,∠DAC=∠B. 求证：△AEC △BDA

E

B

D C