补充知识:关于凸性和久期

关于凸性与久期

1．久期

久期又是衡量债券价格对收益率变动敏感程度的指标。 推导：

P =c c c c M +++.... ++(1+y ) (1+y ) 2(1+y ) 3(1+y ) n (1+y ) n

（1）

为确定收益率的变动对价格的影响，公式两边对y 求导：

dP (-1) c (-2) c (-n ) c (-n ) M =++ ++dy (1+y ) 2(1+y ) 3(1+y ) n +1(1+y ) n +1

（2）

整理该式，得到：

dP 1⎡1c 2c nc nM ⎤=-++ ++⎢⎥dy 1+y ⎣1+y (1+y ) 2(1+y ) n (1+y ) n ⎦

（3） 该式表示收益率的微小变动所引起的价格的变化值。 等式两边除以P ，则给出价格变化的百分比近似值： dP 11⎡1c 2c nc nM ⎤1=-++ ++⎢⎥dy P 1+y ⎣1+y (1+y ) 2(1+y ) n (1+y ) n ⎦P

（4）

公式中括号内的部分除以P ，被称为麦考雷持续期（用MD 表示），即

dP 11=-MD dy P 1+y

（5）

MD 为修正持续期，即

MD *=MD

1+y *

（6）

dP 1=-MD *dy P

（7）

修正持续期的意义：收益率的变动所引起的债券价格变动百分比的近似值。

由式（7）得到

dP =-MD *⨯dy P

（8） 含义：给定收益率变动条件下价格变化百分比的近似值。 例3：假设息票率6%的25年期债券的交易价格是70.3570（见表1），按照有关公式计算出其修正持续期是10.62。如果收益率上升10个基点（由9%上升到9.10%，一个基点是0.0001或0.1%），价格变动近似百分比是：

-10.62×0.0010= -0.0106= -1.06%

查看前面的表2，发现价格的实际变动比例是-1.05%；同理，如果收益率下降10个基点（由9%下降到8.90%），算出的价格变动近似百分比是+1.06%，而表2列明的价格百分比的实际值是1.07%。该例说明，在收益率发生微小变动时，用修正持续期可以较好地算出债券价格变动百分比的近似值（存在误差的原因在后面谈到凸性时解释）。

dP =-MD *⨯0. 01=-MD *%P

假设债券收益率变动为1%，

解释：修正持续期是当收益率变动1%时债券价格变动的百分比。比如，一只债券的修正持续期是10.62，就意味着当收益率变动1%时，债券价格将反向变动10.62%。

2．凸性

久期用来计算收益率微小变动时债券价格变动幅度，而当收益率有较大变动时，久期在计算价格波动幅度时误差就会变大。比如收益率由9%上升到11%时（上升200个基点），按照持续期公式计算的价格波动是-10.62×0.02= -0.02124= -21.24%，由表2知，实际的价格变动仅为-18.03%。如果收益率降低200个基点，从9%下降到7%，由持续期计算的价格百分比变动是+21.24%，而实际价格变动百分比是+25.46%。可见，收益率变动幅度越大，持续期计算的价格波动幅度的误差越大。

价格-收益率曲线图中曲线与一条直线相切于一点，这条切线表明了相对于某一初始收益率变动的价格变动率，切线越陡峭，持续期越长，反之，切线越平缓，持续期越短。

收益率变化越大，凸性就越重要。考虑凸性将提高收益率变动时对价格变化的预测精确度。

3．凸性的测量

dP dP 11d 2P 1误差2=dy +(dy ) +P dy P 2dy 2P P

上式中第一项就是按照修正持续期得出的价格变动百分比；第二项是由凸性得出的价格变动百分比。所以，由收益率变化引起的价格变动是持续期、凸性和误差的函数。公式第二项中（d P/dy）×(1/P)被称为凸性值。

凸性的近似计算公式：

近似凸性值=P -+P +-2P 0

2P （0∆y ）22

例5： 25年期息票率为6%、收益率9%的债券初始价格为70.3570，收益率由9%上升10个基点的债券价格是69.6164，收益率下降10个基点的价格是71.1105。于是，

近似凸性值=P -+P +-2P 071. 1105+69. 6164-2⨯70. 3570==183. 322P （∆y ）70. 3570⨯0. 0010

当收益率上升200个基点时，前面已经算出按照持续期计算的价格变动是-21.24%，由凸性引起的变动值是（1/2）×182.92×0.02=0.0366=3.66%，所以，由持续期和凸性算出的价格变化是-21.24%+3.66%=-17.58%；同价格的实际变动-18.03%相比，已经相当接近；当收益率下降200基点时，持续期算出的价格变动是21.24%，加上凸性算出的价格百分比变动3.66%，两者合计算2

出的价格百分比变动是21.24%+3.66%=24.90%，而实际的价格变动是25.46%。可见，凸性的测量提高了持续期对价格变化的预测精确度。

4．凸性的价值

投资者在其他方面相同的情况下要选择凸性大的债券。

价格

收益率

这意味着不论市场收益率升高还是降低，债券B 将有更高的价格。也就是说，如果市场收益率上升，债券B 的资本损失小于债券A ，如果市场收益率下降，债券B 产生比债券A 更大的价格升幅。由于凸性的存在，当利率下降时，债券价格以加速度上升；当利率上升时，债券价格以减速度下降。