两角和与差的三角函数的应用
陕西省基础教育教学成果评选参评作品
《两角和与差的三角函数的应用》
——教学案例
《两角和与差的三角函数的应用》教学案例
内容摘要:
《两角和与差的三角函数》在《三角恒等变形》这章有着重要的作用,体现在三角函数的化简、求值和证明中,高考中占有一定的分值。本节课是继《两角和与差的正弦和余弦函数》之后的一堂习题课,主要对公式的应用作以练习,其中主要渗透“凑角”这种思想方法的理解和应用,让学生在理解方法的基础上自主探究,寻找已知和未知之间的联系,培养学生的观察问题和分析问题的能力。
关键词:两角和与差的三角函数、凑角
一.教材剖析
1、本节在教材的地位和作用
本节课是普通高中课程标准实验教科书(北师大版)必修4第三章《三角恒等变形》中第二节《两角和与差的三角函数》第二课时,在第一课时中,用解析几何的方法给学生证明了两角和的余弦函数公式,引导学生由此推得了其余三个公式. 两角和与差正弦、余弦公式是本章重点内容,是诱导公式的延伸,是二倍角公式的知识基础,对于三角变换、三角恒等式的证明和三角函数式的化简求值等问题的解决有重要的支撑作用。高考试题中以考查学生利用这些公式进行恒等变形的技能和一定的逻辑推理能力及运算能力为主,题型有选择题、填空题,以容易题和中档题为主。
这节课主要是对公式的进一步认识和应用,培养学生的逻辑推理能力.
2. 教学分析
由于新接触两角和与差公式,学生对公式的认识还只是停留在记忆公式及简单的应用,比如计算cos 75 , sin 105 等,对公式的作用认识得还不够到位,解题思路和方法还比较受限制. 因此,本节课在课本应用的基础上,以典型例题配套练习,教师引导,学生自主探究的方法帮助学生体会“凑角”这种解题方法在求解问题时的简便. 另外,通过这种思想方法的介绍,帮助学生认识事物之间存在
的普遍联系,勇于探索已知和未知之间的关系,从而找到解决问题的方法.
3. 课标要求
新课标对《两角和与差的三角函数》这部分内容的要求:了解用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程。能从两角差的余弦公式推导出两角和的余弦、两角和与差的正弦、两角和与差的正切公式,体会化归思想的应用;掌握上述两角和与差的三角函数公式,能运用它们进行简单的三角函数式的化简、求值及恒等式证明。 4. 教学三维目标
知识与技能:
能熟练应用两角和与差公式进行三角函数求值,特别是“凑角”这种思想方法在解题中的应用,从而培养学生的逻辑推理能力.
过程与方法:
以学生为中心,让学生积极参与、自主探究、合作交流、亲身经历知识的形成和发展过程,进一步发展学生分析问题、解决问题及数字计算的能力,培养学生应用意识,提高数学思维能力,使学生进一步体会“凑角”这种思想方法,培养学生善于观察的意识以及用于探索事物之间联系的能力。
情感态度与价值观:
体验探索和创造过程,从中获得成功的快乐,体会学习数学知识的重要性,激发对数学的兴趣和树立自信心,从和与差三角函数式的表达方式和变形应用中可以看到总体与个体之间的和谐关系及对称的结构形式,使学生再次感到数学表达式的匀称美感。
5.教学重点难点
培养学生的理解和应用的意识,帮助学生形成用于探索和钻研的精神。
二、教学案例解析
(一)复习回顾,承上启下
让学生回忆上节课所学习的两角和与差的正弦和余弦函数公式:
cos(α+β) =cos αcos β-sin αsin βcos(α-β) =cos αcos β+sin αsin β
sin(α+β) =sin αcos β+cos αsin βsin(α-β) =sin αcos β-cos αsin β
简要回忆公式的证明过程. 师:这节课我们通过几道典型的例题看看这些公式在三角函数的求值方面怎样应用.
(二)典例剖析,强化基础 例1:已知sin α=
45, α∈(
π
2
, π), cos β=-
513
, β∈(π,
3π2
), 求cos(α-β), sin(α+β).
分析:本题的目的在于对两角和与差公式的直接应用,关键在于对函数值符号的判断.
师:能否利用我们所学的和差角公式直接求解?有哪些量已知,哪些未知? 生:可以求解. cos(α-β) =cos αcos β+sin αsin β,已知sin α, cos β,可以利用平方关系sin 2α+cos 2α=1,求出cos α, sin β. 师:需要注意的地方是什么? 生:判断符号.
师:对,利用题目所提供的已知条件,α, β所在象限求出cos α, sin β.
(板演)解: sin α=
45且α∈(
π
2
, π), ∴cos α=-
35
,
121335.
513) +
45⨯(-
1213) =-
3365,
又 cos β=-
513
且β∈(π,
3π2
), ∴sin β=-
∴cos(α-β) =cos αcos β+sin αsin β=-sin(α+β) =sin αcos β+cos αsin β=
45
⨯(-5
⨯(-
31216) +(-) ⨯(-=. 1351365
总结:求值时关注角的范围,处理好单角三角函数的符号.
(学生活动)举一反三:已知sin α=
π
4
34, α∈(
π
2
, π), 求sin(α+
π
4
) 和cos(α-
π
3
).
学生甲和乙分别上黑板作答,其余学生练习,教师指导. (甲)解:sin(α+
) =sin αcos
π
4
+
cos αsin
π
4
,
sin α=
34
且
α∈(
π2
34
, π), ∴cos α==
=4
∴sin(α+
π
4
) =
2
⨯+
2
⨯
4
=
8
(乙)解: sin α=
34
且
α∈(
π
2
, π), ∴cos α==-
434
∴cos(α-
π
3
) =cos αcos
π
3
+sin αsin
π
3
=-
4
12
+⨯
2
=
8
师:同学们看黑板上两个同学的解题过程,有问题吗?
生:有问题,甲算错了,α在第二象限,cos α应该是负的.
师:对,应用平方关系求三角函数值,在开放的时候要特别注意判断符号,所谓“在哪儿开方在哪儿讨论”,大家一定要记得。
(带领学生回忆正弦、余弦和正切在四个象限的符号).
例2:已知cos(α-
π
3) =
1213且
π
3
π
2
, 求cos α.
分析:本题的目的在于引出“凑角”方法在这部分的应用.
师:刚才我们直接利用公式求解两角和与差的三角函数,那么,已知和差能否求出单角的三角函数呢?请同学们看这道题. (学生思考)
生丙:可以,先把cos(α-
π
3
) 用两角差公式打开变成cos αcos
π
3
+sin αsin
π
3
=
1213
,
再利用sin 2α+cos 2α=1列方程求解. 师:嗯,大家的意见呢?这样可以做吗? 生:可以.
师:那好,我们试一下. (板演)解: cos(α-
π
3
) =cos αcos
π
3
+sin αsin
π
3
=
1213
且sin α+cos α=1,
2
2
ππ12⎧1⎧12
cos αcos +sin αsin =α=⎪⎪cos α+
3313即⎨2联立方程组:⎨213,
⎪sin 2α+cos 2α=1⎪sin 2α+cos 2α=1⎩⎩
师:两个方程,两个未知数,一定一颗求解,那么同学们自己做一下吧!
生:好麻烦„„
师:可以想象,解二元二次方程的步骤很繁琐,加上题目给出的数字也很难算,所以理论上行得通,但大家很难有耐心计算. 有没有其他的办法? (学生思考、沉默)
师(引导):我们上一例题中,观察已知角α与未知角α-的基础上又添入了一个已知角角又是谁呢? 生:已知角α-
π
3
π
3
的关系。在已知角α
π
3
,从而完成了题目. 那么本题中的已知角和未知
,未知角α.
师:探究已知角与未知角,你能找到联系吗?
生:„„
师:用已知表示未知. α=(α-生:
π
3
π
3
) +?
!
π
3) +
师:对了!α=(α-
π
3
,于是我们用两个已知角表示出了未知角α,那么如
π
3
何计算cos α,大家有想法了吗? (板演)解:cos α=cos[(α-
) +
π
3
]=cos(α-
π
3
) cos
π
3
-sin(α-
π
3
) sin
π
3
π
3
π
2
∴0
π
3
π
6
,
又 cos(α-∴cos α=
1213
π
3⨯
) =12-
1213513
, ∴sin(α-⨯
2=
π
3
) =
513
26
总结:本题我们主要建立了已知角和未知角之间关系的桥梁,用已知角表示未知角,从而比较容易地解决了问题,这样的方法通常称为“凑角”.
(三)自主探究,巩固升华 1. 已知cos α=
23
, cos(α+β) =-
817
, α, β∈(0,
π
2
), 求cos β.
分析:β = (α+β
) - α
未知角
已知角
已知角
解:cos β=cos[(α+β) -α]=cos(α+β) cos α+sin(α+β) sin α
0
π223
, 0
π2
, ∴0
, ∴sin α=
8171517
,
又 cos(α+β) =-∴cos β=-
817⨯23
4
, ∴sin(α+β) =⨯
3=
+
-16
51
3π
2. 已知cos(α-β) =-, sin(α+β) =-,
5
52
3π2
分析:2β = (α+β) - (α-β)
未知角
已知角
已知角
解:cos 2β=cos[(α+β) -(α-β)]=cos(α+β) cos(α-β) +sin(α+β) sin(α-β)
cos(α-β) =-
45
且α-β∈(35
π2
, π), ∴sin(α-β) =3π2
35
,
45,
又 sin(α+β) =-∴cos 2β=
45⨯(-
45
且α+β∈(35⨯(-
35
, 2π), ∴cos(α+β) =
) +) =-1.
3.
已知cos(2α-β) =-
1114
, sin(α-2β) =
πππ
分析:
α+β = (2α-β) - (α-2β)
未知角 解:
π4
已知角 已知角
cos(α+β) =cos[(2α-β) -(α-2β)]=cos(2α-β) cos(α-2β) +sin(2α-β) sin(α-2β),
π2
, 0
π41114
, ∴
π4
7
π4
π2
, (这里要讲下不等式的加减)
又 cos(2α-β) =-∴sin(2α-β) =
141114
, sin(α-2β) =
17,
cos(α-2β) =17+14
⨯7
∴cos(α+β) =-⨯=
12
.
总结:以上“举一反三”中三道题均是对“凑角”方法的应用,学生在理解的基础上可以通过观察用已知角表示未知角即所求角,那么问题也就得以解决了. 三道题目的选取由简单到复杂,最后一道题上升为还需要进一步判断已知角范围从而确定对应三角函数的符号,用到了不等式的加减. 跟例1中需要注意的地方结合起来了,难度也就提升了,学生的认识也就更全面了.
(四)师生小结,提炼精华
本节课着重练习了“凑角”这种思想方法在三角函数求值中的应用,同学们要善于观察题目中已知和未知的联系,只要找到了这种关系,问题也就迎刃而解了.
(五)分层作业,学以致用
基本作业:课本P121 A组2、3、4(正弦和余弦相关)
提高作业:1. 已知cos(α-2. 已知
π
2
3π4
π
6
) =
1213
, 求sin α. 1213
, sin(α+β) =-
35
, 求sin 2α
, cos(α-β) =
的值.
三、教学反思
本节课在设计中突出两个中心:一是“以问题为中心”,突破了教材设计的知识呈现顺序,将知识点精心设计为探究性问题,让学生在类比、猜想、实际操作中主动建构新知,通过分析、解决问题来发展能力。二是“以学生为中心”,在教中不仅关注学生的主体地位,强调师生、生生互动,同时,还关注学生对数学思想方法的理解.
这节课经过了本人的精心准备,根据学生情况选择了例题和练习,整个过程还算顺利。但是,在学生上黑板练习的时候,由于学生计算能力还有待提高,稍微有一些浪费时间。学生活动的最后一道题稍难了些,因为还没有学习不等式的计算,所以在判断2α-β和α-2β的范围是出现了一些问题,不能理解同向不等式不能相减。这里可以举例:1
上完这节课我最大的体会就是,教师对课堂的掌控很大程度上取决于学生,把一个知识点讲到位,让学生练到位,充分理解吸收知识才是一堂高效的数学课。本节课备课的时候还备选了几道例题,但是根据上课的情况有所删节,因为我的课堂不求量,只求质。相信这样典型的几道“凑角”的问题可以帮助学生掌握这节课的重点,那么原本预想的教学目标也就达成了。
参考文献 (1)《5年高考3年模拟》 教育科学出版社 (2)《中学教材全解》 北京师范大学出版社
(3)全日制普通高级中学教科书----《数学》 人民教育出版社