估算与二次根式
估算
知识点一：方根的估算
估算是现实生活在中一种常用的解决问题的方法，很多情况下需要估算无理数的近似值，估算的一般步骤 （1）估算被开方数在哪两个平方数（立方数）之间 （2）确定无理数的整数
（3）按要求估算，一般地，开平方估算到一位小数，开立方估算到整数 例1：估算下列数的大小
32（7精确到0. ）1
3
1） 334（精确到5
知识点二：比较无理数的大小
1. 估算法：用估算法比较两个数的大小，一般至少有一个是无理数，在比较大小时，一般先采用分析的方法，估算出无理数的大致范围，再作具体比较 例2：比较
2. 求差法a -b >0, a >b ；a -b ≥0，若a >b , 则3a >3
-31
与的大小 44
题型一：估算是现实生活中一种常用 的解决问题的方法，如有一片长方形小树林，长是宽的3倍，而对角线的长为210米，若每棵树的占地面为1平方米，则这片小树林共有多少棵树？这片长方形小树林的长大约是多少米？（精确到1米）
知识清单全练
知识点一：方根的估算
对方根进行估算，平方根一般精确到____________，立方根一般精确到______________
基础闯关全练
知识点一：方根的估算
1. 0.00057的算术平方根在 （ ）
A.0.05与0.06之间 B.0.02与0.03之间 C.0.03与0.04之间 D.0.2与0.3之间 2. 估算结果的误差最小的是 （ ）
1
A. ≈3. 5 B. ≈10 C.
3
≈10 D. 0. 6≈0. 01
3. 一个正方体的体积为28360立方厘米，则这个正方体的棱长估计为 （ ）
A.22厘米 B.27厘米 C.30.5厘米 D.40厘米 4. 大于-3
且小于3的整数有____________个
知识点二：比较无理数的大小 5. 将
55三数按从小到大的顺序排列为_____________________ 777
6. 比较大小
（19+1
与 （2）24与5.1
105
三年模拟全练 一：选择题
1. 将2，，这三个数用“>”连接正确的是（ ） A. 2>
5
2
5555>5 B. >2>5 C. >5>2 D. >>2 2222
2. 一个正方形的面积是12，估计它的边长大小在（ ）
A.2与3之间 B.3与4之间 C.4与5之间 D,5与6之间 3. 估计6+1的值在（ ）
A.2与3之间 B.3与4之间 C.4与5之间 D,5与6之间 二：填空题
4. 若m 是的整数部分，其小数部分为n ,则n 的值为＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 5. 比较大小：４＿＿＿＿32 五年中考全练
１. ａ，ｂ是两个连续整数，若a
２. 下列无理数中，在-2与-1之间是（ ）
A. - B. - C. 3 D, 3. 大于25的整数是___________
4. 把7的平方根和立方根按从小到大的顺序排列为_______________
二次根式
知识点一：二次根式，最简二次根式的概念
2
1. 二次根式的定义：一般地，形如a (a ≥0) 的式子叫做二次根式，a 叫做被开方数
2. 最简二次根式：同时满足下列两个条件的二次根式叫做最简二次根式（1）被开方数中不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式
例1. 在2_____个
知识点二：二次根式的性质 1. 性质：（1）a =a =
2
1
2
{
a a ≥0-a a ≤0
（2）ab =a ∙(a ≥0, b ≥0) 积的算术平方根等于各因数算术平方根的积
（3）
a a =(a ≥0, b >0) 商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根 b 2. 化二次根式为最简二次根式的一般步骤：（1）把被开方数中的带分数或绝对值大于1的小数化为假分数，把绝对
值小于1的小数化为分数（2）被开方数是整数或是整式，先将它分解因式或因式，然后把开得尽方的因数或因式化到根号外面（3）化去分母中的根号或根号内的分母（4）约分 例2：化简
32
3 8
知识点三：二次根式的运算
1. 在实数范围内，可以进行加，减，乘，除，乘方和开方的运算，并且有理数的运算法则和运算律在实数范围内仍然成立
2. 二次根式的乘除运算公式
ab =a ∙(a ≥0, b ≥0)
a a =(a ≥0, b >0) b 3. 二次根式加减运算步骤：
（1）把二次根式化成最简二次根式
（2）找出同类二次根式（被开方数相同），并合并 例3：计算下列各式
3
⨯ 1
2+1）- 2-1
3
练习：2
12
2+3）（26-5）-）
220+2
-⨯6 35
题型二：利用二次根式计算几何问题
例2：如图，每个小正方形的边长为1，求∆ABC 的面积和周长
实数
知识清单全练：
知识点一：二次根式，最简二次根式的概念
1. 一般地，形如________（a 》0）的式子叫做二次根式，a 叫做_________ 2. 最简二次根式必须同时满足两个条件：
（1）被开方数不能含__________的因数或因式
（2）被开方数的因数是___________，因式是_____________ 知识点二：二次根式的性质 3. 二次根式的性质
2
（1）⎛ a ⎫⎪=_________(a ≥0)
⎝⎭
（2）a =a =________(a >0)或_________(a =0)或________(a
2
（3）ab =______(a ≥0, b ≥0)
（4）
a
(a ≥0, b >0) =_________
b
知识点三：二次根式的运算
4. 二次根式的加减运算：先化成_____________二次根式，再合并___________二次根式 5. 二次根式的乘法运算：a ∙=__________(a ≥0, b ≥0) ；基础闯关全练
知识点一：二次根式，最简二次根式的概念 1. 下列式子中二次根式的个数有（ ） （1）
a
=________(a ≥0, b >0) 112（33）-x 2+1(4) (5) (-) 2(6) -x (x >1) 33
2. 下列二次根式中，最简二次根式是（ ） A. a 2 B.
1
C. D. 3
3. 使式子m -2的意义的m 的最小整数值是______________ 知识点二：二次根式的性质
4
4. 若20n 是整数，则正整数n 的最小值是______ 5. 化简：
3
5
0. 2
1
2-112 2
知识点三：二次根式的运算
6. 如果ab >0, a +b
7. 下列二次根式中，不能与2合并的是（）
a b a a a
（2）∙=1(3) ab ÷=-b 其中正确的是=
b a b b A.
1
B. C. D. 2
8. 按如图所示的程序计算，若开始输入的n 值为2，则最后输出的结果是
________________
9. 化简-=__________ 22+2）
⎛2⎫
⎪10. 计算
40-5⎪⨯ ⎝⎭
⎛1⎫ 24-⎪÷3
6⎪⎝⎭
27+-2 3
+4
1
- 2
7+7-- 2--1+5
)()(
2-2
)
5