转动惯量D
第
一.基本概念 刚体
1.刚体的概念:当物体的形变
动状态的影响可以忽略不计
物体看作一个不发生任何形变的数学集合体,称此几何体为刚体。 对其运时。将
★采用刚体模型处理实际问题时,记入了物体大小与几何形状对物体运动状态的影响,忽略的仅仅是物体的几何形状对物体运动状态的影响。 研究刚体动力学的基本方法:
① 将刚体看作刚性连接的特殊质点,质点系。
② 将一般刚体运动看做平动和转动的叠加。又将一般转动看作绕固定轴转动的叠加,因此,研究刚体的转动的核心是研究绕固定轴的转动。
2. ⑴刚变刚体运动状态的参量----力矩。
MrFsin(标量式)
错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。(满足右手螺旋定则)
(2)刚体定轴转动的运动学公式:
dd2d2 (t) dtdtdt
v2
vr ar anr2 r
匀速定轴转动: 0t
122(0) 匀变速定轴转动:0t 0tt2 202
3.转动惯量
●代表了刚体保持其原有转动状态的能力,与惯性质量类似。
离散体的转动惯量:I=miri2
i
连续体的转动惯量:I=r2dm V
需要记住的常用转动惯量:
注意:转动惯量的三要素:a.质量 b.质量分布 c.转动惯量 ●刚体的转动定理:M=Iβ
●平行轴定理:I=Icml2(IC转轴过质心的转动惯量。l是与过质心转轴相距
为l且与之平行的另一转轴。)
●垂直轴定理:I=IxIy (一个平面薄板刚体对垂直于平面的任一转轴的转
动惯量等于刚体对平面内并于该垂直轴相交的任二正交转轴I之和。)
注:求转动惯量的(对定轴)的规律可等效为求绕其中心轴的转动惯量与将物体视作质心的质点对转轴的转动惯量之和。
1.一根质量为m,长为l的匀质铁丝,在其中O弯成60°角,如图放在xoy平面内,则该匀质铁丝对x轴,对y轴,z轴的转动惯量分别为?
分析:求I,利用I=r2dm,在距O点为l处线元dl V
线元质量,dm
与转轴的夹角)
解: Ix=212
0dhm则相应的rhsin (θ为铁丝 lmml2(hsin)dh l162
注:在计算转动惯量时,所取质元上各点到转轴距离须相等,计算时结合一定几何条件。
2.在质量为M,半径为R的匀质圆盘上挖
出半径为r的两个圆孔,圆孔中心在半径R
中点,求剩余部分对过大圆盘中心且与盘面
垂直的轴线的转动惯量。
分析:补偿法求解。完整圆盘的转动惯量是待求转动惯量与两个挖去的圆盘的转动惯量之和。求解小圆盘转动惯量,应用平行轴定理。 1MMR解:I1I2(2r2)r2(2r2)()2 2RR2
I1MR2 2
12r4
22 IzII1I2I2I1M(Rr2) 2R
注:这里求转动惯量的方法(补偿法)属于特殊方法,仅适用于一些特殊的物体。
3.一根质量为m,长为l的均匀细杆,可在水平桌面上绕过其一段的垂直固定轴转动,已知杆与桌面滑动摩擦因数为μ,求转动时细杆所受摩擦力矩的大小。 解:在杆上取质元,距离转轴为r,长度为dr,则dm
且摩擦力方向与r垂直,则 Mr(g0lmdr lm1)drmgl l2
注:绕中心轴转动的圆盘受到的摩擦力距 Mr(g0RM22r)drmgR R23
参考题目:习题十二第6.7题
4.质量错误!未找到引用源。=24kg的匀质圆盘可绕水平光滑轴转动,一轻绳缠绕于盘上,另一端通过质量为错误!未找到引用源。=5kg的具有水平光滑轴的圆盘经定滑轮后挂有m=10kg的物体,如图所示,求当物体m由静止开始下落了h=0.5m时,物体m的速度及绳中的张力。
解:对错误!未找到引用源。
对错误!未找到引用源。
对m错误!未找到引用源。
轻绳与滑轮之间不滑动,则:
a=R错误!未找到引用源。
注:⑴求解力矩与求解力紧密联系,因而,用转动定律求解问题时,往往需要
求解力,反之,亦然。
⑵如果系统中既有物体平动又有物体转动,那么,对转动物体,存在着
线量与角量的自然连接条件。
★注:由于转动定律是由牛顿定理推出,故转动定律适用的条件就是牛顿定律
使用的条件。
5.一根质量为m,长为l的均匀细棒AB,可绕一水平光滑轴O在竖直平面内转动,O轴离A端的距离为l/3,令棒以静止开始由水平位置绕O轴转动。 求:棒转过θ时的角加速度和角速度。
分析:求棒的角加速度,由转动定理M=Iβ,我们需要求解棒受到的外力矩,
ll1而棒只受到重力作用,这样可以得到θ角,外力矩:Mmg()cosmglcos236
1l1还需求解转动惯量I,由平行轴定理可得Iml2m()2ml2,如此可求解1269
出角加速度.对于角速度,我们可以从角加速度是角速度对时间的微分入
dddd手,(利用变量代换,向已知量转化) dtddtd
1解:Mmglcos 6
1Iml2 9
M3gcos I2l
d3gcos d2l
分离变量可得d3gcosd
2l
两边积分可得(注:另外一种做是,棒在转动过程中只有重力做功,机械能守恒,列守恒方程
可解求角速度W,再对W求导可得到角加速度)