极坐标---摆线
設滾動圓的半徑為 a ,固定圓的半徑為 ka ,其中 k 是比 1 大的一個固定數。又設固定圓的圓心是原點 O ,而滾動圓上的定點在出發時的位置是 A (ka ,0) 。設滾動圓到達某個位置時,其圓心為 J 、與固定圓的切點為 I ,而滾動圓上的定點移動到 P (x , y ) 。設以
參數(見圖九)。
為始邊、 為終邊的有向角為 t 弧度,我們以 t 為
圖九
因為弧 IP 與弧 IA 的長度相等,所以,有向角
是 kt 弧度。過 P 與 J 分別作水平直線與鉛垂直線,則可就 t 的值所屬的各種範圍分別討論(例如:圖九是
的情形),而得
這就是內擺線的參數方程式。
若將上述情形中的定點換成與滾動圓的圓心相距為 d ,且在出發時的坐標為 ((k -1) a +d ,0) ,則此定點在
滾動過程中,所描繪曲線的參數方程式為
其次,若將圖九中的滾動圓改成與固定圓外切,則仿照上面的處理方法,即可得外擺線的參數方程式為
其中 k 表示固定圓與滾動圓的半徑之比,。同理,將定點改成與滾動圓圓心的距離為 d ,且在出發時的坐標為 [(k +1)a -d ,0],則可得外次擺線的參數方程式為
上述四組參數方程式可合併成下述形式:
其中
或 -1,而
、 且
。當
,上述參數方程式,
時,上述參數方程式,依 d =a 或
依 d =a 或
分別表示內擺線或內次擺線;當
分別表示外擺線或外次擺線。
在圖二中,設 A 點是滾動圓上的定點在出發時的位置。我們選取一個坐標系,使得 A 點為原點而且滾動圓在 x 軸上向右滾動。假設動圓滾動到某位置時,圓心為 O ,O 點至 x 軸的垂足為 I ,圓上的定點的位置為 P (x , y ) ,以
為始邊,
為終邊的有向角為 t 弧度,P 點至直線 OI 的垂足為 M 。又設滾動圓的半徑為 a 。
因為滾動圓上的定點已由A 點移動到P 點,而滾動圓與x 軸的切點已由 A 點轉移到 I 點,所以,滾動圓上的弧 PI 滾過線段
at 。於是,可得
,亦即: = 弧 PI 的長 =
上面的表示法就是擺線的參數方程式。請注意:當
;當
時,
。不過,時,
與
兩式卻對所有 t 值都成立。我們甚至可讓參數 t 代表任意實數,
如此,擺線成為可向兩邊無限延伸的週期曲線。x 坐標每經歷一段長度為
的區間,圖形就恢復原狀。擺線與底線相交的點都是尖點 (cusp)。
當參數 t 由 0 增至
時,擺線就是圖二中由 A 至 C 至 B 的部分,其中
,這一部分圖形稱為擺線的一拱 (arch)。同理,t 由 2π 至 4π、
由 4π 至 6π、……等所對應的圖形也都是一拱。
仿照前面的方法,我們也可求次擺線的參數方程式。假設一定點與滾動圓的圓心的距離為 d ,底線是 x 軸,出發時定點的坐標為 (0,a -d ) ,其中 d 是滾動圓的半徑。當動圓滾到圖二所示的位置時,定點的位置在
d 。由此可知其參數方程式為
上且與 O 點的距離為
習題:試根據上面參數方程式,說明長擺線 (d >a ) 為什麼會與本身相交而形成迴圈(見圖一的下圖)。
在圖二中,當圓向前滾動時,P 點描繪出擺線,那麼 P 點在直線 OI 上的垂足 M 點會描繪出什麼圖形呢?1634年,Gilles Persone de Roberval (1602~1675年,法國人)考慮這條曲線,而利用它求出擺線的一拱與其底線間的面積。所以,後世將這條曲線稱為 Roberval 曲線。圖二中的虛線,就是 Roberval 曲線在擺線一拱內的部分,根據前一小節所討論的結果,不難發現 Roberval 曲線的方程式為
。
在圖二中,
點
的中點是
對
,而當
的對稱點是
時,Roberval 曲線上的。因為此對稱點也在 Roberval 曲線上,所以,Robertval 曲線在 A 與 C 間的部分對於點
成對稱。(圖二中的 M 與 N 就是一對對稱點。)由此可知:在以
與
為鄰邊的矩形中,Roberval 曲線將此矩形分成面積相等的兩個區域。更
與
為鄰進一步可得:Roberval 曲線與 AB 所圍區域的面積,等於以
邊的矩形面積的一半,此值等於
。
其次,我們討論擺線與 Roberval 曲線間的區域面積。此區域在 C 點的左、右兩側的面積顯然相等,所以,我們只須討論此區域左側部分的面積。圖二中以
為直徑的半圓,乃是滾動圓在出發時的左半部分,直線 PM 被此半圓截出一線段 。因為兩圓大小相等,而直線 PM 與兩圓圓心等距離,所以,
=
。因為每一條水平直線在兩區域上所截出的線段都等長,所以,依據
Bonaventura Cavalieri(1598~1647年,義大利人)在1629年所提出的 Cavalieri 原理,這兩個區域的面積相等。因此,擺線與 Roberbval 曲線所圍的區域(左、右兩部分)與滾動圓面積相等,此值等於
。
綜合前兩段的結果,可知擺線的一拱與其底線間的面積,等於滾動圓面積的三倍,亦即:。
圖二
附帶一提:Cavalieri 所提的原理,中國數學家祖沖之在西元五世紀就已用來計算球體的體積。
習題:試仿照本小節的方法,證明次擺線
拱與直線 y =a -d 所圍區域的面積為:
習題:試使用定積分計算上述所提的面積。 。 , 的一
若曲線 C 的所有法線都是某一曲線 E 的切線,則曲線 E 稱為曲線 C 的「漸屈線」(evolute)。要討論曲線 C 的漸屈線,自然需要先討論曲線 C 的法線,但因法線是切線的垂直線,所以,我們需要先討論曲線 C 的切線。
擺線的切線如何求呢?我們知道當一動點 P 繞一固定點 I 旋轉時,P 點的軌跡是一圓弧,此圓弧在 P 點的切線就是過 P 點而與
垂直的直線。當一滾動圓在一直線上作不滑的滾動時,我們沒有一個可做為旋轉中心的固定點,但是,在滾動過程中,滾動圓與底線在每個時刻都有一個切點,這個切點就是該時刻的瞬間旋轉中心。若在某個時刻的瞬間旋轉中心是 I ,而圓上某定點在此時刻已移動到 P 點,則此定點所描繪的擺線在 P 點的切線,就是過 P 點而與
垂直的直線 PJ ,其中 J 是滾動圓過 I 的直徑的另一端點,直線 PI 則是此擺線過 P 點的法線。在直線
標是 (
坐標是 ( 上選取一點 P ' ,使 I 點成為
的中點。若 P 點的坐) ,則因為 I 點的坐標是 (as ,0) ,所以,P ' 點的) 。當 P 點描繪出擺線時,所有對應的 P ' 點描繪出什麼圖形呢?觀察 A 與 P ' 的相關位置,不難發現它們的位置關係,與擺線上的 C 點與參數是
(的 Q 點位置關係相同,因為 C 的坐標是 ) 。換言之,當 P 點) ,而 Q 點的坐標是 (
描繪圖三中的擺線弧 APC 時,對應的 P ' 點就會描繪出與擺線 CQB 全等的弧 AP ' A 。事實上,弧 AP ' A ' 乃是將弧 CQB 平移而得的(左移 單位、下移 2a 單位)。同理,當 P 點描繪出擺線弧 CQB 時,對應的 P ' 點就會描繪出弧 A ' Q ' B ,此弧乃是將擺線的下一拱的左半部分作同樣平移而得的。因此,對整個擺線而言,當 P 點描繪出整個擺線時,對應的 P ' 點會描繪出一個全等的擺線。若前者的
參數方程式是
, , ,則後者的參數方程式為
,後者乃是將前者先向左平移 單位,再向
下平移 2a 單位而得的。我們將說明後者是前者的漸屈線。
因為 P ' 點的軌跡是一個全等的擺線,所以它必是當一個半徑為 a 的圓在直線 y =-2a 上滾動時,由圓周上某定點描繪而成的。因為 P 點與 P ' 點對 I 點對稱,所以當兩個滾動圓在 I 點相切時,上滾動圓通過 P 點而下滾動圓通過 P ' 點。此時,P ' 點的瞬間旋轉中心是直線 P ' I ' 與直線 y =-2a 的交點 I ' 。於是,直線 P ' I ' 是第二個擺線在 P ' 點的法線,直線 P ' IP 是第二擺線在 P ' 點的切線。由此可知:原擺線的每條法線 PI 都與第二擺線相切。換言之,第二擺線是原擺線的漸屈線。
曲線的漸屈線在弧長方面有一個重要性質,這個性質對擺線的討論特別有用,我們先介紹這項性質。此性質的證明只需使用微積分的方法即可。
設曲線 E 是曲線 C 的漸屈線,P 與 Q 是曲線 C 上兩點,曲線 C 過 P 、Q 的法線分別與漸屈線 E 相切於 P ' 、Q ' ,則在漸屈線 E 上,弧 P ' Q ' 的長等於
與
兩線段長的差。
在圖四中,
比
小,所以,P ' Q ' 弧的長等於
。這個性質可以作下面的幾何解說:假設有一條線纏繞在漸屈線 E 上,現在將一端點拉緊在 P 點,此時,在 P ' 往 Q ' 的部分,線仍然纏在漸屈線上,但在 P ' 往 P 的部分,則已經拉直成線段。接著,將線繼續拉緊解開,纏在 P ' Q ' 弧上的線逐漸被拉成線段,此時,因為有前面所提的性質,所以,在將線拉緊解開的過程中,線的端點必定沿著曲線 C 由 P 點移向 Q ' 點。
以擺線為例,在圖三中的漸屈線弧 AP ' A ' 中,不論 P ' 點的位置在弧上何處,AP ' A ' 弧的長度都是等於 P ' A ' 弧的長加上線段
趨近 C 。因此,擺線弧 AP ' A ' 的長等於線段
的長。將 P ' 趨近 A ' ,則 P 的長,此值為 4a 。因為擺線弧 AP ' A ' 與擺線弧 CQB 全等,其長是擺線一拱 ACB 的一半,所以,可知:若滾動圓的半徑為 a ,則擺線一拱的長度為 8a 。
圖三
同理,在圖三中,PC 弧的長等於 Q ' B 弧的長,此值等於線段
於前的兩倍。因此,若 P 點的坐標是 (
坐標是 (as ,2a ) ,所以,PC 弧的長等於
AP 弧的長為
。 的長,也等) ,則因為 J 的。於是,
習題:試使用微積分方法證明上述有關擺線的弧長公式。
在力學上,擺線具有很重要的性質,我們首先介紹它的等時性質 (tautochrone property) 。
將擺線的一拱倒轉,亦即:對其底線作鏡射,則此段擺線的最高點 C 變成最低點,見圖三與五。此時,若一質點從此段擺線上任意點出發,在重力作用下沿擺線向下滑,則此質點到達最低點C 所需的時間與出發點的位置無關,亦即:從任意兩相異點出發,它們到達C 點的時間相同。這就是擺線的等時性質。 圖五是由擺線的一拱及其漸屈線等倒置而成,若我們以一條長為擺線一拱長之半的線繫住一個擺錘,另一端固定在漸屈線弧 AA ' B 的中點 A ' 。當擺錘擺動時,線的上端纏在漸屈線上,而下端有一段拉直。由於線長等於擺線一拱長的一半,根據前小節的說明,擺錘擺動的路線就是圖五中的擺線孤。前段所提的等時性,則是表示:不論振幅為何,其週期是個定值,此定值等於
是擺線的滾動圓的半徑,g 是重力加速度。 ,其中 a
前段所提的設置,稱為擺線鐘 (cycloidal pendulum) ,這是 Christiaan Huygens (1629~1695年,荷蘭人)在1673年所發明的,它是其有真正等時性的鐘擺。 要證明前面所提的等時性質,必須使用一些物理與微積分知識,讓我們略作說明如下:設倒置的擺線的參數方程式為
滑的出發點 P 所對應的參數為
,質點下。(我們將參數 t 換成 θ,以免誤以為它就是時間。)當質點下滑到參數為 θ 的點時,根據能量守恆定律,質點喪失的位能轉變成動能,所以質點在該處的瞬時速度為
。
圖四
另一方面,弧長 s 的微分為
於是,質點滑落到最低點 C (見圖五)所需的時間為
此值等於
,與
無關,而擺線鐘的週期則是此值的四倍。前段證明的細節留給有興趣的讀者自行補足。
圖五
擺線在力學上的另一項重要性質,乃是最速降性質 (brachistochrone property) ,我們說明如下。
若一質點在重力作用下,由 P 點沿著某曲線滑落到較低的 Q 點,設 P 與 Q 不在同一鉛垂直線上,則當滑行的曲線是以 P 為尖點的一段倒轉的擺線弧時,質點由 P 點滑落到 Q 點所需的時間為最短。這就是擺線的最速降性質。 設 P 與 Q 的坐標分別是 P (x 1, y 1) 與 Q (x 2, y 2) ,x 1 y 2,而 y =f (x ) 是滿足 f (x 1)=y 1 與 f (x 2)=y 2 的一個函數,仿照前小節的方法,可知一質點沿著曲線 y =f (x ) 由 P 點落到 Q 點所需的時間為
在所有此種函數 y =f (x ) 中,那一個函數能使上述定積分的值最小,這個問題乃是「一個以函數(或曲線)為變數的極值問題」。研究這類問題的方法稱為「變分法」(calculus of variation)。它與微積分中討論極值的方法不相同,而且
也困難得多。探討最速降曲線的問題,乃是變分學的先驅問題之一,一般的變分學書籍都會談到這個例子。
在最速降曲線問題中,有一個問題必須交待,那就是:對任意二點 P (x 1, y 1) 與 Q (x 2, y 2) ,x 1y 2,有多少擺線以 P 為一尖點而又通過 Q 呢?答案是:恰有一條。這條擺線是這樣來的。首先,利用微積分或其他方法可以證明:恰有一個
滿足下式:
然後,令
,則擺線
過 P 與 Q ,而且 P 是一個尖點。 , 通
給了 P 、Q 兩點,我們怎麼作出這樣的擺線呢?任取一圓,使它與過 P 的水平直線切於 P 點且圓在水平直線下方。讓圓在水平直線下滾動,設定點 P 的軌跡與直線 PQ 交於 Q ' 點。另取一圓,其半徑與前一圓的半徑之比為
,則將後一圓在過 P 的水平直線下滾動時,定點 P 所描繪的軌跡,就是以 P 為一尖點且通過 Q 的擺線。
前段所提的作法,事實上與擺線的一項性質有關。若兩擺線的底線重合,且有一尖點重合,則其中任一擺線都可由另一擺線以重合尖點為中心,放大或縮小而得。換言之,任意二擺線部是相似的曲線。