正切和余切(一)

正切和余切（一）

一、素质教育目标

(一) 知识教学点

使学生了解正切、余切的概念，能够正确地用tanA 、cotA 表示直角三角形(其中一个锐角为∠A) 中两边的比，了解tanA 与cotA 成倒数关系，熟记30°、45°、60°角的各个三角函数值，会计算含有这三个特殊锐角的三角函数值的式子，会由一个特殊锐角的三角函数值说出这个角的度数，了解一个锐角的正切(余切) 值与它的余角的余切(正切) 值之间的关系．

(二) 能力训练点

逐步培养学生观察、比较、分析、综合、概括等逻辑思维能力．

(三) 德育渗透点

培养学生独立思考、勇于创新的精神．

二、教学重点、难点

1．重点：了解正切、余切的概念，熟记特殊角的正切值和余切值．

2．难点：了解正切和余切的概念．

三、教学步骤

(一) 明确目标

1．什么是锐角∠A 的正弦、余弦？(结合图6-8回答) ．

2．填表

3．互为余角的正弦值、余弦值有何关系？

4．当角度在0°～90°变化时，锐角的正弦值、余弦值有何变化规律？

5．我们已经掌握一个锐角的正弦(余弦) 是指直角三角形中该锐角的对边(邻边) 与斜边的比值．那么直角三角形中，两直角边的比值与锐角的关系如何呢？在锐角三角函数中，除正、余弦外，还有其它一些三角函数，本节课我们学习正切和余切．

(二) 整体感知．

正切、余切的概念，也是本章的重点和关键，是全章知识的基础，对学生今后的学习或工作都十分重要．教材在继第一节正弦和余弦后，又以同样的顺序安排第二节正切余切．像这样，把概念、计算和应用分成两块，每块自成一个整体小循环，第二循环又包含了第一循环的内容，可以有效地克服难点，同时也使学生通过对比，便于掌握锐角三角函数的有关知识．

(三) 重点、难点的学习与目标完成

1．引入正切、余切概念

① ①本节课我们研究两直角边的比值与锐角的关系，因此同学们首先应思考：当锐角固定时，两直角边的比值是否也固定？

因为学生在研究过正弦、余弦概念之后，已经接触过这类问题，所以大部分学生能口述证明，并进一步猜测" 两直角边的比值一定是正切和余切．"

②给出正切、余切概念如图6-10，在Rt △ABC 中，把∠A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切，记作tanA ．

即tanA=

并把∠A 的邻边与对边的比叫做∠A 的余切，记作cotA ，

即cotA=

2．tanA 与cotA 的关系

请学生观察tanA 与cotA 的表达式，得结论（或）

这个关系式既重要又易于掌握，必须让学生深刻理解，并与tanA ＝cot(90°-A) 区别开．

3．锐角三角函数

由上图，把锐角A 的正

弦、余弦、正切、余切都叫做∠A 的锐角三角函数．

锐角三角函数概念的给出，使学生茅塞顿开，初步理解本节题目．

问：锐角三角函数能否为负数？

学生回答这个问题很容易．

4．特殊角的三角函数．

①教师出示幻灯片

三角函数/0°/30°/45°/60°/90°

三角函数 0 1 1 0tanA cotA

请同学推算30°、45°、60°角的正切、余切值．(如图6-11)

通过学生计算完成表格的过程，不仅复习巩固了正切、余切概念，而且使

学生熟记特殊角的正切值与余切值，同时渗透了数形结合的数学思想．

0°，90°正切值与余切值可引导学生查" 正切和余切表" ，学生完全能独立

查出．

5．根据互为余角的正弦值与余弦值的关系，结合图形，引导学生发现互

为余角的正切值与余切值的关系．

结论：任意锐角的正切值等于它的余角的余切值，任意锐角的余切值等于它的余角的正切值．

即 tanA=cot(90°-A) ，cotA=tan(90°-A) ．

练习：1) 请学生回答tan45°与cot45°的值各是多少？tan60°与cot30°？tan30°与cot60°呢？学生口答之后，还可以为程度较高的学生设置问题：tan60°与cot60°有何关系？为什么？tan30°与cot30°呢？

2) 把下列正切或余切改写成余角的余切或正切：

(1)tan52°； (2)tan36°20′； (3)tan75°17′；

(4)cot19°； (5)cot24°48′； (6)cot15°23′．

6．例题

例1 求下列各式的值：

(1)2sin30°+3tan30°+cot45°；

(2)cos245°+tan60°·cos30°．

解：(1)2sin30°+3tan30°+cot45°

(2)cos245°+tan60°·cos30°

=2．

练习：求下列各式的值：

(1)sin30°-3tan30°+2cos30°+cot90°；

(2)2cos30°+tan60°-6cot60°；

(3)5cot30°-2cos60°+2sin60°+tan0°；

(4)

(5)

学生的计算能力可能不很强，尤其是分式，二次根式的运算，因此这里应查缺补漏，以培养学生运算能力．

(四) 总结扩展

请学生小结：本节课了解了正切、余切的概念及tanA 与cotA 关系．知道特殊角的正切余切值及互为余角的正切值与余切值的关系．本课用到了数形结合的数学思想．

结合

四、布置作业

1．看教材，培养学生看书习惯．

2．教材P ．102中习题14.2A 组2、3、5、6．

五、板书设计

14.2正切和余切（一）

一、概念 三、锐角三角函数 五、互为余角的正切与余 _____________ _________________ 切值关系

_____________ _________________ _____________________

二、tanA 与cotA 关系 四、特殊角的正切与余 六、例题

________________ 切值（幻灯片） ___________________ ________________ ___________________ ___________________