中考数学规律性问题归纳

初中数学规律性问题归纳

●【教学目标】理解并掌握规律探究性问题的方法 ●【重点难点】理解并掌握规律探究性问题的方法

●【基础知识】

专题诠释

规律探索型题是根据已知条件或题干所提供的若干特例，通过观察、类比、归纳，发现题目所蕴含的数字或图形的本质规律与特征的一类探索性问题。这类问题在素材的选取、文字的表述、题型的设计等方面都比较新颖新。其目的是考查学生收集、分析数据，处理信息的能力。所以规律探索型问题备受命题专家的青睐，逐渐成为中考数学的热门考题。

解题策略和解法精讲

规律探索型问题是指在一定条件下，探索发现有关数学对象所具有的规律性或不变性的问题，它往往给出了一组变化了的数、式子、图形或条件，要求学生通过阅读、观察、分析、猜想来探索规律．它体现了“特殊到一般”的数学思想方法，考察了学生的分析、解决问题能力，观察、联想、归纳能力，以及探究能力和创新能力．题型可涉及填空、选择或解答．。

●【例题讲解】

(一) 与数与式有关的规律探究性问题

b 2b 5b 8b 11

例1 一组按规律排列的式子：－(ab ≠0) ，其中第7个式子是

a a a a ________，第n 个式子是

______________(n 为正整数) ．

3n 1

b 20b [解析] 第7个式子是－，第n 个式子是(－1) 观察给出的一列数，发现这一列数的分母a 的指a a

－

数分别是1、2、3、4、„，与这列数的项数相同，故第7个式子的分母是a 7，第n 个式子的分母是a n ；这一列数的分子b 的指数分别是2、5、8、11、„，这一组数首项为2，从第二项起，每一项与它的前一项的差等于3，第n 项应为2＋3(n －1) ＝3n －1. 故第7个式子的分子是b 3

×7－1

＝b 20，第n 个式子的分子是b 3n 1；

－

特别要注意的是这列数字每一项的符号，它们的规律是奇数项为负，偶数项为正，故第7个式子的符号为

n

负，第n 个式子的符号为(－1) .

例2 小东玩一种“挪珠子”游戏，根据挪动珠子的难度不同而得分不同，规定每次挪

动珠子的颗数与所得分数的对应关系如下表所示：

按表中规律，当所得分数为71分时，则挪动的珠子数为________颗； 当挪动n 颗珠子时(n 为大于1的整数), 所得分数为___________(用含n 的代数式表示) ．

[解析] 从表格中能看出所得分数为5、11、19、29、41„

.

从上图中，我们能看出这一组数的增幅不相等，但是增幅以2的幅度在增加，∴所得分数是挪动珠子数的二次函数．

设挪动n 颗珠子时(n 为大于1的整数), 所得分数为y n ＝an 2＋bn ＋c ， 4a ＋2b ＋c ＝5，⎧⎪

由题意得⎨9a ＋3b ＋c ＝11，

⎪⎩16a ＋4b ＋c ＝19，a ＝1，⎧⎪

解得⎨b ＝1，

⎪⎩c ＝－1，∴y n ＝n 2＋n －1. 令y n ＝71，解得n ＝8.

例3 如图Z2－1为手的示意图，在各个手指间标记字母A ，B ，C ，D . 请你按图中箭

头所指方向(即A →B →C →D →C →B →A →B →C →„的方式) ，从A 开始数连续的正整数1，2，3，4，„，当

数到12时，对应的字母是_____； 当字母C 第201次出现时，恰好 数到的数是______；当字母C 第 2n ＋1次出现时(n 为正整数) ， 恰好数到的数是________(用含n 的代数式表示) ．

[解析] 通过对字母观察可知：前六个字母为一组，后边就是这组字母反复出现.12除以6刚好余数为零，则表示这组字母刚好出现两次，∴最后一个字母应该是B . 当字母C 第201

次出现时，由于每组字母中C 出现两次，则这组字母应该出现100次后还要加一次C 字母出现，而第一个C 字母在第三个出现，∴100×6＋3＝603. 当字母C 第2n ＋1次出现时，则这组字母应该出现2n 次后还要加一次C 字母出现，∴应该是n ×6＋3＝6n ＋3.

例4 如图Z2－2所示，已知Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝6，BC ＝8，过直角顶点C 作CA 1⊥AB ，垂足为A 1，再过A 1作A 1C 1⊥BC ，垂足为C 1，过C 1作C 1A 2⊥AB ，垂足为A 2，再过A 2作A 2C 2⊥BC ，垂足为C 2，„，这样一直作下去，得到了一组线段CA 1，A 1C 1，C 1A 2，A 2C 2，„，A n C n ，则A 1C 1＝_

42n _____，A n C n ＝5______．

[解析] 在Rt △ABC 中，AC ＝6，BC ＝8，利用勾股定理得AB ＝10，可由△A 1CA ∽△CBA 计

42n 24ab 96⎛算得CA 1＝(也可由Rt △ABC 斜边上的高h ＝求得) ，同理可求A 1C 1＝A C ＝⎝5. 5c 25n n

例5

例5 在平面直角坐标系xOy 中，我们把横

A (0，4) ，点B 是x 轴正半轴上的整点，记△AOB 内部(时，点B 的横坐标的所有可能值是__________；当点B ________(用含n 的代数式表示) ．

[解析] 根据题意画出图形，再找出点B 之间的关系．

当点B 在(3，0) 点或(4，0) 点时，△AOB 内部(共三个点，

∴当m ＝3时，点B 的横坐标的所有可能值是3或

学生通过在试卷上精确作图，能够发现当n ＝1时，点B 的横坐标为4，此时m ＝3；当n ＝2时，点B 的横坐标为8，此时m ＝9；当n ＝3时，点B 的横坐标为12，此时m ＝15. 我们能够发现3、9、15为首项为3，公差为6的等差数列，很容易能够得到6n －3.

此类题解答的关键是先练后想，通过精确作图，列出关于两个变量变化情况的表格，再通过寻找数式规律得到解答．

例6 在平面直角坐标系中，正方形ABCD 的位置如图Z2－4所示，点A 的坐标为(1，0) ，点D 的坐标为(0，2) ．延长CB 交x 轴于点A 1，作正方形A 1B 1C 1C ；延长C 1B 1交x 轴于点A 2，作正方形A 2B 2C 2C 1„按这样的规律进行下去，第3个正方形的面积为________；第n 个正方形的面积为________(用含n 的代数式表示).

[解析] 观察图形可知，正方形都相似，△A 1B 1A 2∽△A 2B 2A 3， 这些三角形的三边比等于1∶2∶，可求出A 1B 1∶AB ＝2∶3. 同理可知每一个正方形与后一个正方形的相似比等于3∶2，∵第1 3

个正方形的面积为5，∴2个正方形的面积为5() 2，第3个正方

23⎫2n －234⎛形的面积为，第n 个正方形的面积为5⎝2⎭

2

以平面直角坐标系为载体的规律探究性问题，体现了“数”与“形”的完美结合．在坐标系中研究几何图形，实现线段长度和点的坐标的正确转换是关键，要注重横、纵坐标两者各自变化的规律以及两者之间的关系．解决问题的方法与前两种类型一致．

例7 在下表中，我们把第i 行第j 列的数记为a i ，j (其中i ，j 都是不大于5的正整数) ，对于表中的每个数a i ，j 规定如下：当i ≥j 时，a i ，j ＝1；当i

[解析] 因为1

定义新运算是指用一种新的运算符号或表达式表示一种新的运算规则，解决此类题的关键是要正确理解新定义的算式含义，严格按照新定义的计算顺序，将数值代入算式中，再把它转化为一般的四则运算，然后进行计

[达标检测]

A 组

1.. 对于任意两个实数对（a ，b ）和（c ，d ），规定：当且仅当a ＝c 且b ＝d 时， （a ，b ）=（c ，d ）．定义运算“⊗”：（a ，b ）⊗（c ，d ）=（ac －bd ，ad ＋bc ）．若（1，2）⊗（p ，q ）

=（5，0），则p ＝q ＝

2. 在平面直角坐标系xOy 中, 正方形A 1B 1C 1O 、A 2B 2C 2B 1、A 3B 3C 3B 2, „, 按如图所示的方式放置. 点A 1、A 2、A 3, „和 B1、B 2、B 3, „ 分别在直线y=kx+b和x 轴上. 已知C 1(1, -1), C 73

, -), 则点A 3的坐标是 . 2(

22

第3题

第2题

3、将边长分别为1、2、3、4……19、20的正方形置于直角坐标系第一象限，如 图中方式叠放，则按图示规律排列的所有阴影部分的面积之和为 ▲ .

11称为x 的差倒数，如2的差倒数是=-1，-1的1-x 1-2

111

=，现已知x 1=-，x 2是x 1的差倒数，x 3是x 2的差倒数，x 4是x 3的差倒数为

1-(-1) 23

4、若x 是不等于1的实数，我们把

差倒数，……，依次类推，则x 2012．

5、观察图给出的四个点阵，s 表示每个点阵中的点的个数，按照图形中的点的个数变化规

律，猜想第n 个点阵中的点的个数s 为（ ）

A.3n ﹣2

B.3n ﹣1 C.4n +1

D.4n ﹣3

B 组

6、如图所示，直线y ＝x ＋1与y 轴相交于点A 1，以OA 1为边作正方形OA 1B 1C 1，记作第一

个正方形；然后延长C 1B 1与直线y ＝x ＋1相交于点A 2，再以C 1A 2为边作正方形C 1A 2B 2C 2，记作第二个正方形；同样延长C 2B 2与直线y ＝x ＋1相交于点A 3，再以C 2A 3为边作正方形C 2A 3B 3C 3，记作第三个正方形；…，依此类推，则第n 个正方形的边长为_________．

6题

7、设S 1=1+

11111111

, , , „, ，

+S =1++S =1++S =1++23n 22222222

122334n (n +1)

设S …S=_______________ (用含n 的代数式表示，其中n 为正整数) 。

8、如图，已知A l （1，0），A 2（1，1），A 3（－1，1），A 4（－1，－1），A 5（2，－1），„．则

点A 2012的坐标为______．

第8题

第10题

第7题

9. 如图，等腰Rt △ABC 的直角边长为4，以A 为圆心，直角边AB 为半径作弧BC 1，交斜边AC 于点C 1，C 1B 1⊥AB 于点B 1，设弧BC 1，C 1B 1，B 1B 围成的阴影部分的面积为S 1，然后以A 为圆心，AB 1为半径作弧B 1C 2，交斜边AC 于点C 2，C 2B 2⊥AB 于点B 2，设弧B 1C 2，C 2B 2，B 2B 1围成的阴影部分的面积为S 2，按此规律继续作下去，得到的阴影部分的面积S 3=

．

10、（如图，已知△ABC 的周长为m ，分别连接AB ，BC ，CA 的中点A 1，B 1，C 1得△A 1B 1C 1，

再连接A 1B 1，B 1C 1，C 1A 1的中点A 2，B 2，C 2得△A 2B 2C 2，再连接A 2B 2，B 2C 2，C 2A 2的中点A 3，B 3，C 3得△A 3B 3C 3，…，这样延续下去，最后得△A n B n C n ．设△A 1B 1C 1的周长为l 1，△A 2B 2C 2的周长为l 2，△A 3B 3C 3的周长为l 3，…，△A n B n C n 的周长为l n ，则l n =．

C 组

11、如图，n 个边长为1的相邻正方形的一边均在同一直线上，点M 1,M 2,M 3,……Mn 分别为边B 1B 2,B 2B 3,B 3B 4,……，B n B n+1的中点，△B 1C 1M 1的面积为S 1，△B 2C 2M 2的面积为S 2，… △B n C n M n 的面积为S n ，则S n (用含n 的式子表示)

12、如图，四边形ABCD 中，AC ＝a ，BD ＝b ，且AC 丄BD ，顺次连接四边形ABCD 各边中点，得到四边形A 1B 1C 1D 1，再顺次连接四边形A 1B 1C 1D 1各边中点，得到四边形A 2B 2C 2D 2…，如此进行下去，得到四边形A n B n C n D n ．下列结论正确的有（ ）

①四边形A 2B 2C 2D 2是矩形；②四边形A 4B 4C 4D 4是菱形； ③四边形A 5B 5C 5D 5的周长是④四边形A n B n C n D n 的面积是

a +b

4

ab

． n +1

2

A 、①②

B 、②③ C、②③④ D 、①②③④

13．已知n 是正整数，P 1(x 1, y 1), P 2(x 2, y 2), , P n (x n , y n ), 是反比例函数y =上的一列点，其中x 1=1, x 2=2, , x n =n , ．记A 1=xy 12

k

图象x

，A 2=x 2y 3， ，A n =x n y n +1，

若A 1=a （a 是非零常数），则A 1 A 2 A n 的值是________________________（用含a 和n

(2a ) n

的代数式表示）．

n +1

14．如图，如果以正方形ABCD 的对角线AC 为边作第二个正方形 ACEF ，再以对角线AE 为边作第三个正方形AEGH ， 如此下去，…，已知正方形ABCD 的

面积S 1为1，按上述方法所作的正方形的面积依次为S 2，S 3，…， J ，那么第8个正方形的面积S 8 ＝_______。 S n （n 为正整数）

H G

A C B

I

15．如下数表是由从1开始的连续自然数组成，观察规律并完成各题的解答．

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36

„„„„„„„„„„

（1）表中第8行的最后一个数是______________，它是自然数_____________的平方，第8行共有____________个数；

（2）用含n 的代数式表示：第n 行的第一个数是___________________，最后一个数是

________________，第n 行共有_______________个数；

（3）求第n 行各数之和．