[简明线性代数] 答案

习 题 4.1

1．求下列矩阵的特征值和特征向量.

⎛56-3⎫

（1） -101⎪; ⎪121⎝⎭

解: 方阵A 的特征多项式为

λ-5-63λ-2-63

|λI -A |=1λ-1=0λ-1

-1-2λ-1λ-2-2λ-1

λ-2-6

=0λ

043-1=(λ-2) 3, λ-4

方阵A 的特征值为λ1=λ2=λ3=2.

解方程组(2I -A ) x =0. 由

⎛-3-63⎫⎛12-1⎫

r 2I -A = 12-1⎪−−→ 000⎪, ⎪ ⎪-1-21000⎝⎭⎝⎭

得基础解系

⎛-2⎫⎛1⎫

p 1= 1⎪，p 2= 0⎪. ⎪ ⎪0⎝⎭⎝1⎭

因此, 方阵A 对应于λ1=λ2=λ3=2的全部特征向量为

k 1p 1+k 2p 2(k 1, k 2不同时为零).

⎛123⎫

（2） 213⎪. ⎪336⎝⎭

解: 方阵A 的特征多项式为

λ-1-2-3λ-3-2-3

|λI -A |=-2λ-1-3=λ-3λ-1-3

-3-3λ-6-6-3λ-6

λ-2-3λ-2-3

=λλ-1-3=0λ+10=λ(λ+1)(λ-9) , -λ-3λ-60-5λ-9

方阵A 的特征值为λ1=-1, λ2=0, λ3=9.

当λ1=-1时, 解方程组(-I -A ) x =0. 由

⎛-2-2-3⎫⎛110⎫

r -I -A = -2-2-3⎪−−→ 001⎪, ⎪ ⎪-3-3-4000⎝⎭⎝⎭

得基础解系

⎛-1⎫

p 1= 1⎪. ⎪⎝0⎭

因此, 方阵A 对应于λ1=-1的全部特征向量为k 1p 1(k 1不为零).

当λ2=0时, 解方程组(-A ) x =0. 由

⎛-1-2-3⎫⎛101⎫

r -A = -2-1-3⎪−−→ 011⎪, ⎪ ⎪-3-3-6000⎝⎭⎝⎭

得基础解系

⎛-1⎫

p 2= -1⎪. ⎪⎝1⎭

因此, 方阵A 对应于λ2=0的全部特征向量为k 2p 2(k 2不为零).

当λ3=9时, 解方程组(9I -A ) x =0. 由

⎛8-2-3⎫⎛1-10⎫

r 9I -A = -28-3⎪−−→ 02-1⎪, ⎪ ⎪-3-33000⎝⎭⎝⎭

得基础解系

⎛1⎫

p 3= 1⎪. ⎪⎝2⎭

因此, 方阵A 对应于λ3=9的全部特征向量为k 3p 3(k 3不为零).

n 2．设f (x ) =a n x + +a 1x +a 0, λ为A 的特征值. 证明f (λ) 为

f (A ) =a n A n + +a 1A +a 0I

的特征值.

证明: 存在非零向量p , 使Ap =λp . 于是

A 2p =A (λp ) =λ(Ap ) =λ2p ,

A 3p =A (λ2p ) =λ2(Ap ) =λ3p ,

…………,

A n p =A (λn -1p ) =λn -1(Ap ) =λn p ,

f (A ) p =(a n A n + +a 1A +a 0I ) p

=a n A n p + +a 1Ap +a 0p

=a n λn p + +a 1λp +a 0p

=(a n λn + +a 1λ+a 0) p =f (λ) p .

因此, f (λ) 为f (A ) 的特征值.

3．已知3阶矩阵A 的特征值为1, 2,3, 求|A 3-5A 2+7A |. 解: 记f (x ) =x 3-5x 2+7x , 则f (A ) 的特征值为

f (1)=3, f (2)=2, f (3)=3.

于是

|A 3-5A 2+7A |=|f (A ) |=f (1)f (2)f (3)=18.

4．设λ为n 阶可逆矩阵A 的一个特征值, 证明

（1）λ为A 的特征值;

（2）|A |λ-1为A 的特征值.

证明: (1) 存在非零向量p , 使Ap =λp . 于是 *-1-1

p =A -1(λp ) =λA -1p ,

A -1p =λ-1p

因此, λ为A 的特征值.

(2) 因A =|A |A , 而λ为A 的特征值, 所以[由题2知]|A |λ为A 的特征值.

5．已知3阶矩阵A 的特征值为1, 2, -3, 求|A +3A +2I |.

解: 因矩阵A 的特征值为1, 2, -3, 所以 **-1-1*-1-1-1-1

|A |=-6, A *=|A |A -1=-6A -1. 记f (x ) =-6+3x +2, 则f (A ) 的特征值为 x

f (1)=-1, f (2)=5, f (3)=-5.

于是

|A *+3A +2I |=|-6A -1+3A +2I |=|f (A ) |=f (1)f (2)f (3)=25.

6．设有四阶方阵A 满足条件|3I +A |=0, AA =2I , |A |

A 的伴随矩阵A *的一个特征值.

解: 因|3I +A |=0, 故|-3I -A |=0, 可知A 的一个特征值为λ=-3.

由AA =2I , 得 T

|A |2=|A |⋅|A T |=16.

*因|A |

⎛1⎫⎛211⎫ ⎪ ⎪-17．已知向量a = k ⎪是矩阵A = 121⎪的逆矩阵A 的特征向量.

1⎪ 112⎪⎝⎭⎝⎭

试求常数k .

-1-1解: 存在A 的特征值λ, 使得A a =λa . 故有λAa =a , 即得

⎛3+k ⎫⎛1⎫⎪ ⎪λ 2+2k ⎪= k ⎪.

3+k ⎪ 1⎪⎝⎭⎝⎭

解此方程, 求得k =1或k =-2.

⎛001⎫ ⎪8．设A = x 1y ⎪有三个线性无关的特征向量, 求x 和y 应满足的条 100⎪⎝⎭

件.

解: 方阵A 的特征多项式为

λ0-1

|λI -A |=-x λ-1-y =(λ-1) 2(λ+1) ,

-10λ

方阵A 的特征值为λ1=λ2=1, λ3=-1.

因A 有三个线性无关的特征向量, 所以λ1=1的几何重数等于代数重数, 也即3-R (λ1I -A ) =2. 因此R (λ1I -A ) =1. 而

-1⎫⎛10-1⎫⎛10⎪ ⎪λ1I -A = -x 0-y →00-y -x ⎪ ⎪.

-101⎪ 000⎪⎝⎭⎝⎭

当且仅当x +y =0时, R (λ1I -A ) =1, A 有三个线性无关的特征向量.

⎛201⎫ ⎪9．设矩阵A = 31x ⎪可相似对角化, 求x .

405⎪⎝⎭

解: 方阵A 的特征多项式为

λ-2

|λI -A |=-3

-40-1-x =(λ-1) 2(λ-6) , λ-5λ-10

方阵A 的特征值为λ1=λ2=1, λ3=6.

因A 可相似对角化, 所以λ1=1的几何重数等于代数重数, 即

3-R (λ1I -A ) =2, R (λ1I -A ) =1.

而

⎛-10-1⎫⎛-10-1⎫⎪ ⎪λ1I -A = -30-x →003-x ⎪ ⎪.

-40-4⎪ 000⎪⎝⎭⎝⎭

当且仅当x =3时, R (λ1I -A ) =1, A 可相似对角化.

10．设三阶方阵A 的特征值为λ1=1, λ2=2, λ3=3, 对应的特征向量依次为

⎛0⎫⎛1⎫⎛0⎫

p 1= 1⎪, p 2= 0⎪, p 3= 0⎪, ⎪ ⎪ ⎪00⎝⎭⎝⎭⎝1⎭

求A .

解: 记P =(p 1, p 2, p 3) , 则有P AP =Λ:=diag(1,2,3) . 因此 -1n

A =P ΛP -1, A n =P Λn P -1.

-1注意P 是初等矩阵E (1,2) , 知P =P . 于是

⎛1⎫ ⎪A n =P Λn P -1=P 2n ⎪P

3n ⎪⎝⎭

⎛02n ⎫⎛2n 0⎫ ⎪ ⎪= 10P =01⎪ ⎪.

n ⎪n ⎪ 33⎝⎭⎝⎭

⎛200⎫⎛200⎫ ⎪ ⎪11．已知矩阵A = 001⎪与B = 0y 0⎪相似.

01x ⎪ 00-1⎪⎝⎭⎝⎭

（1）求x 和y ;

（2）求一个满足P AP =B 的可逆矩阵P .

-1

解: (1) 因矩阵A 与对角矩阵B 相似, 故知矩阵A 的特征值为2, y , -1. 由特征值的性质, 我们有

|A |=-2y , tr(A ) =1+y .

于是得方程组

⎧-2=-2y . ⎨2+x =1+y ⎩

求得x =0, y =1.

(2) 当λ1=2时, 解方程组(2I -A ) x =0. 由

⎛000⎫⎛010⎫

r 2I -A = 02-1⎪−−→ 001⎪, ⎪ ⎪0-12000⎝⎭⎝⎭

得基础解系p 1=(1,0,0) T .

当λ2=1时, 解方程组(I -A ) x =0. 由

⎛100⎫⎛100⎫

r I -A = 01-1⎪−−→ 01-1⎪, ⎪ ⎪0-11000⎝⎭⎝⎭

得基础解系p 2=(0,1,1)T .

当λ3=-1时, 解方程组(-I -A ) x =0. 由

⎛-100⎫⎛100⎫

r -I -A = 0-1-1⎪−−→ 011⎪, ⎪ ⎪0-1-1000⎝⎭⎝⎭

得基础解系p 2=(0,-1,1) T .

所以, 满足P AP =B 的一个可逆矩阵P 为 -1

⎛100⎫

P =(p 1, p 2, p 3) = 01-1⎪. ⎪011⎝⎭

12．设A , B 都是n 阶方阵, 且|A |≠0, 证明AB 与BA 相似.

证明: 因|A |≠0, 故A 可逆. 因为A (AB ) A =BA , 所以AB 与BA 相似. -1