七年级数学上册第二章整式知识点
第二章:整式及整式的加减
一部分:整式:单项式和多项式统称整式,(分数形式,分母中不含字母)
知识点一、代数式的概念(补充知识)
1、用字母表示数之后,可能用字母表示的有
(1)具有一定数量的数;(2)一些变化的规律;(3)数的运算法则和运算定律;
(4)数量关系;(5)数学公式。
2、用字母表示数的意义
用字母表示数是代数的一个重要特点,它的优点在于能简明、扼要、准确地把数和数之间的关系表示出来,化特殊为一般,深刻地揭示数量之间的联系,为我们学习数学和应用数学带来方便。
3、用字母表示数学公式
(1)加法、乘法的运算律;(2)平面图形的面积公式;
(3)平面图形的周长公式;(4)立体图形的体积公式。
4、代数式的概念
用字母表示数之后,出现了一些用运算符号把数和表示数的字母连接起来的式子,我们把它们叫做代数式。
概念剖析:
①运算符号指的是加、减、乘、除、乘方、绝对值,大中小括号以及以后要学到的开方符号,但不包括大于、小于号、等号等表示数量关系的关系符号;
②单个的数字和字母也是代数式。
③判断一个式子是否是代数式,只要看看它能否满足代数式的概念即可。
例1下列的式子中那些是代数式
①xy2 ②a10n ③3x50 ④111 pmn
⑤2x28x5 ⑥2x323m ⑦2x72y2m ⑧ 57 7x5y
是代数式的有_________________________(只填序号);
例2、下列各式中不是代数式的是( )
A、π B、0 C、
1 D、a+b=b+a xy
5、书写代数式的规定
(1)数字与字母、字母与字母相乘时,乘号可以省略不写或用“·”代替,省略乘号时,数字因数应写在字母因数的前面,数字是带分数时要改写成假分数,数字与数字相乘时仍要写“×”号。
(2)代数式中出现除法运算时,一般要写成分数的形式。(一般不用÷连接)
(3)用代数式表示某一个量时,代数式后面带有单位,如果代数式是和、差形式,要用括号把代数式括起来。
1例3、下列个代数式中 ① 4a ② abc ③n3人 ④2·5 ⑤2.5a2b 2
书写规范的有_________________________(只填序号);
知识点二、单项式:由数与字母的积组成的代数式叫做单项式
其中数字因数叫做单项式的系数,所有字母因数的指数之和叫做单项式的次数。单独的一个数或字母也叫做单项式。
概念剖析:
①单项式是代数式中的一种特殊形式;
②要判断一个式子是否是单项式,只要看看它是否满足单项式的定义; ③单独的一个数(常数项)作为单项式时,其系数就是它本身,次数为0;单独的一个字母作为单项式时,其系数就是1,次数为它本身的次数;
④若一个单项式的次数为m,我们就叫该单项式m次单项式;
⑤单项式与单项式相等的条件:几个单项式完全相同。
例1、下列代数式中,①ab ②1 ③2x3 ④13a ⑤3x8 ⑥ab5a ⑧ ⑦ab28x2009
是单项式的有; 17
例2、代数式5abc,7x21,A、4个 B、3个 21x,21中,单项式的个数是( 55C、2个 D、1个 )
例3、单项式2mx
值;
n1y2n1是关于x、y的四次单项式,其系数是6,求m和n的
例4、若单项式3x5y4与单项式mxny4相等,则mn;
122R的系数是___________ ,次数是______________。 5
2、已知单项式2xmyn+2与3xm+2的次数相同,求n的值。 练习:1、单项式
3、有一串单项式:-x,2x2, -3x3,4x4…, 10x10…
(1)、请写出第2010个单项式;
(2)、请写出第n个单项式。
知识点三、多项式:几个单项式的和叫做多项式
其中、每个单项式都叫做多项式的项,不含字母的项叫做常数项,次数最高项的次数叫做该多项式的次数,每个单项式的系数都是多项式的系数;如果一个多项式有n项,且次数为m,则我们称该多项式为m次n项式。
概念剖析:①多项式是代数式中的一种特殊形式;
②多项式与多项式相等的条件:几个多项式的对应项完全相同。(不考)
例1、多项式①多项式3x22x5有项,它们是。 1②abr2是由哪些项组成 2
【多项式的每一项都包括它前面的符号。】
例2、若(m2)x5y3x3yx2xy1是关于x、y的四次四项式,则m; 例3、①若x3y2xny2(n2)x1是关于x、y的四次三项式,则n ;
②若x3y2xny2(n2)x1是关于x、y的多项式,且不含一次项则n ;
2例4、当x取何值时,多项式x5y5可化简为关于y的一次单项式; 3
例5、若多项式7xmy23xyn与多项式nx4y23xy7相等,则m,n;
二、整式的加减
知识点1、同类项:所含字母相同,并且相同字母的指数也相同的项,叫做同类项,常数项也是同类项。
概念剖析:
判断同类项的标准有两条:(1)所含字母相同;(2)相同字母的指数也分别相同。即:“两相同,一关系;”两相同:所含字母相同、相同字母的指数也分别相同;一关系:字母与字母之间是乘积关系。
2341xyx4y3xy里的同类项它们分别32
是 ; 例1、指出多项式2x4y38xy
例2、若7xm2y4与3x3yn是同类项,则m _______, n ________;
例3、当n______时,3x2y5 与2x2y3n1是同类项;
2、合并同类项
把多项式中的同类项合并成一项叫做合并同类项,不是同类项不能合并。
合并同类项法则:(1)系数相加,所得结果作为系数;(2)字母和字母的指数不变。 例1、把多项式13x976x12x23x合并同类项后得___________________;
1例2、当a时,求多项式3a25a26a26a3的值; 2
1例3、已知2xmyn与x2y同类项,求多项式 3
2m2n3mn5m2n3mn64m2n7m2n2m2n5的的值;
例4、若单项式x4yn与2x2m3y3的和仍是单项式,4m3n; 知识点3、去括号 :去括号法则:
(1)括号前是“+”号,把括号和它前面的“+”号去掉后,原括号里各项符号都不改变;
(2)括号前是“ – ”号,把括号和它前面的“ – ”号去掉后,原括号里各项的符号都要改变。
例1、将下列各式的括号去掉
①3a(abbc1)= ②3a(abbc1)=
③(7x2y3)(2xy7x2y3)
④(7x2y3)(2xy7x2y3)
⑤(3a)(abbc1)=
例2、化简a5aab2b
知识点4、整式的加减
整式的加减实质上就是合并同类项,如果有括号的就先去括号,然后合并同类项 概念剖析:
整式加减运算的步骤:(1)去括号;(2)判断同类项;(3)合并同类项;
例1、①求单项式5x2y,2x2y,2xy2,4x2y的差;
②求5a22a5与4a23a4的差;
③已知A2x3,B3x23x2,C2x23x2,求A2B3C;
1⑥已知A1x2,Bx24x3,C5x24,求多项式A[A2B(BC)]B的2
值。
知识点5、代数式的值的计算
用数值代替代数式里的字母,按照代数式指明的运算,计算出的结果,叫代数式的值。
求代数式的值要注意的问题:(1)字母的数值必须确保代数式有意义;(2)在代入数值计算之前要把代数式化到最简;(3)字母的取值保证它本身表示的数量有意义;
(4)字母的取值不同,代数式的值也不同。
代数式的值的计算方法:
①从已知出发去求未知(向前看);
②从未知出发去找未知和已知关系(回头看);
③从已知和未知同时出发待相遇去找未知和已知关系(来回赶);
例1、 已知2x2xy6,3y22xy9,求4x28xy9y2的值;
例2、;已知a3b2,求代数式2a36b的值;
例3、当
知识点6、探索规律
1、探索数量关系,运用符号表示规律,通过运算验证规律
2、用代数式表示简单问题中的数量关系,运用合并同类项,去括号等法则验证所探索的规律。
例1、观察下列算式:
313、 329、 3327、 3481、 35243、 36729、 372187 386561、„„用你发现的规律写出32008的末位数字是32009的末位数字xyxyxy2时,求代数式2()的值; xyxyxy是;
例2、将一张长方形的纸对折,如下图所示,可得到1条折痕(图中虚线),继续对
折,对折时每次折痕与上次的折痕保持平行,连续对折3次后,可以得到7条条折痕。
折痕,那么对折4次可以得到 条折痕;如果对折n次,可以得到
例3、民公园的侧门口有9级台阶,小聪一步只能上1级台阶或2级台阶,小聪发现
当台阶数分别为1级、2级、3级、4级、5级、6级、7级„„逐渐增加时,上台阶的不同方法的种数依次为1、2、3、5、8、13、21„„这就是著名的斐波那契数列.那么小聪上这9级台阶共有 种不同方法;
例4、观察下列顺序排列的等式:
9×0十1=1,9×1+2=11, 9×2+3=21, 9×3+4=31,9×4+5=4l
猜想:第年n个等式应为 。
例5、如图,是用火柴棍摆出的一系列三角形图案,
按这种方式摆下去,当每边上摆20(即n=20)时,需
要的火柴棍总数为 根。
例6、观察下列等式
9—l=8, 16—4=12,25—9=16,36—16=20,„„这些等式反映出自然数间的某种规律,设n表示自然数,用关于n的等式表示出来: 。 例7、给出下列算式:
l2+1=1×2,22+2=2×3, 32 +3=3×4,„„你能发现什么规律,用代数式子表示这个规律: 。
例8、一项工程,甲建筑队单独承包需要a天完成,乙建筑队单独承包需要b天完成,现两队联合承包,完成这项工程需要( )天.
111ab1 A. B. C. D. abababab
例9、用黑白两种颜色的正六边形地面砖按如下所示的规律.拼成若干个图案:
(1)第4个图案中有白色地面砖块;(2)第n个图案中有白色地面砖
5题
例10、—种商品每件进价为a元,按进价增加25%定出售价,后因库存积压降价,
按售价的九折出售,每件还能盈利( ). A.0.125a B.0.15a C.0.25a
D.1.25a
练习题:
一、选择题:
1、下列各式中不是代数式的是( )
A、π B、0 C、1 D、a+b=b+a xy
2、用代数式表示比y的2倍少1的数,正确的是( )
A、2( y – 1 ) B、2y + 1 C、2y – 1 D、1 – 2y
3、随着计算机技术的迅猛发展,电脑价格不断降低,某品牌电脑按原售价降低m元后,又降价20%,现售价为n元,那么该电脑的原售价为( )
45A、(nm)元 B、(nm)元 C、(5mn)元 D、(5nm)元 54
114、当a,b时,代数式(ab)2的值是( ) 36
1111A、 B、 C、 D、 126436
5、已知公式111,若m=5,n=3,则p的值是( ) pmn
1815A、8 B、 C、 D、 8158
6、下列各式中,是同类项的是( )
A、3x2y与3xy2 B、3xy与2yx C、2x2与2x D、5xy与5yz
二、填空题:
7、某商品利润是a元,利润率是20%,此商品进价是______________。
2ab8、代数式的意义是______________________________。 c
9、当m=2,n= –5时,2m2n的值是__________________。
10、化简1m21m2__________________________________。
三、解答题:
11、已知当x
12、一个塑料三角板,形状和尺寸如图所示,(1)求出阴影部分的面积;(2)当a=5cm,b=4cm,r=1cm时,计算出阴影部分的面积是多少。
1,y1时,代数式2xyz8x2z的值是3,求代数式2z2z的值。 2
13、已知A=x – 2y + 2xy,B= 3x – 6y + 4xy 求3A – B。
14、代数式x24x2的值为3,求代数式2x28x5的值是多少
15、观察下面一组式子:
[1**********]111(1)11;(2);(3)(4)„„ [1**********]545
写出这组式子中的第(10)组式子是_______________________________; 第(n)组式子是___________________________________; 11利用上面的规建计算:=__________________; 9101112
216、代简求值:2(2x36x4)3(x3x22x3),其中x。 3