不同分布的_混合序列加权和的收敛性
第35卷 第1期Vol . 35 No . 1河南科技学院学报(自然科学版)
Journal of Henan I nstitute of Science and Technol ogy 2007年3月Mar . 2007
不同分布的ρ 混合序列加权和的收敛性
齐化富, 曹修文, 刘广会
(山东青岛港湾职业技术学院数力教研室, 山东青岛266404)
混合序列加权和的完全收敛和强收敛, 推广了St out 和Thru m 定理。摘要:讨论了不同分布ρ
关键词:混合序列; 完全收敛性; 强收敛中图分类号:O221. 4 文献标识码:A 文章编号:167326060(2007) 0120076202
Convergence for W e i Su s of ρSequences of Non 2i Q 2(Q ingdao Shandong 266404, China )
Abstract:This of the comp lete convergence and str ong convergence of weighted su m s of m issing and the results extend the theore m of St out and Thru m.
Key words:m ixing sequences; comp lete convergence; str ong convergence
1 引言和引理
设(X 1:i ∈N ) 是概率空间(Ω, B, P ) 上的随机变量序列,
F s =σ(X i :i ∈S
ρ(F, R ) =sup{|cov (X, Y ) |:X ∈L 2(F ) , Y ∈L 2(R ) }, 其中cov (X, Y ) =为相关系数, B radley[1]
XVarY
(1990) 引入如下相依系数:对k Ε0, 令ρ (K ) =sup {ρ(F S ,
(1) F T ) :有限子集S 、T
设{Xi :i ∈N}为随机变量序列, {a ni , Φi Φn, n Ε1}是下三角实数阵, 即当i >n 时, α
ni =0, 记T n =∑a ni X i , 在独立同
i =1n
分布情形, T n 的完全收敛性有著名定理:
定理A 设{Xi :i ∈N }为独立同分布序列, o
=0, E |X 1|
i =1
α2/
-α-1
α2
i =1
n
∑a ni X i
n
c
0, 其中
c
。
关于T n 的强收敛性, 在独立同分布情形, 有下面著名定理:
定理B 设{Xi :i ∈N }为独立同分布序列, 0
=0, E |X 1|α. s .
α2/
显然, 0Φρ (k +1) Φρ(k ) Φ1且ρ (0) =1
定义随机序列{Xi :i ∈N}, 如果存在k ∈N, 使ρ (k )
在极限性质的讨论中, 对ρ 混合{Xi :i ∈N }, 可不失一般性假设ρ (1)
本文一律以C 记与n 无关正常数, “《”表示通常的“O ”。引理 对{Xi ∈N}, 设X i 为σ(X i ) 可测, EX i =0, E |X i |q
E |S n |〈∑EX
i =1n i =1
q
n
2i
q/2
-α/2
α2αni X i |, ∑ni =1, 则T n =∑
i =1
i =1
n n
0, 其中
α. s .
表示强收敛。
2 定理及证明
定理1设{Xi :i ∈N}为ρ混合序列, 均值为零且被r, v, Χ所界,
α2/
0
α--S
|αni |ΦCn , 0
且当0
i =1
-θ
∑a 2, θ>0ni ΦCn
n
n
(2)
(3) (4)
+∑E |E |X 1||
i -1
n
q q
其中S n =∑X i 。
则T n =∑a ni X i
i =1
c
0, n ∞
定理2设{Xi :i ∈N}为ρ混合序列, 均值为零且被r, v, X
收稿日期:2007-01-25.
基金项目:国家自然科学资金资助项目(10061003) 作者简介:齐化富(1970-) , 男, 山东淄博人, 讲师。
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齐化富, 等:不同分布的混合序列加权和的收敛性 第1期
所界, 0
α2/-α/2-δ
E |X |
i =1
(5) (6)
i =1
α2∑ni
n
q/2
n 1-2a -2
δ/a
αΦCn ∑
2
ni
n i =1
n
由q 的取法, 综合以上三式得(12) 式成立, 定理1得证。定理2的证明, X ni =X i n
n
i =1
i =1
|a ni X i |Φn -δ-θ
, θ>0α. s .
, X ni =X n i -EX ni , 有
αni X i 则, T n =∑
0, n ∞(7)
吴群英教授在参考文献[5]中讨论了同分布的混合序列
加权和的完全收敛性和强收敛, 本文可作为文[5]的两个推广, 证明方法也类似。
定理1的证明记X ni =X i I (|a ni X i |Φn -δ) , X ni =X ni -EX ni , 有
i =1n
n
n
T n =∑a ni (X i -X ni ) +∑a ni (X ni -EX ni ) △T n1+T n2+T n3
=
故要证定理2只需要证明, T ni 先证, ∞
n =1
a . s
0, n ∞, n =1, 2, 3
a . s .
0, n
∞
n =1
∞
δ∑P (X i ≠X ni ) =∑|a ni X i |>n -∞
α/2+δ∞
n =1
αni X i
>∑
i =1
∪
αni X i >
n -∪
Φ∑|X i |>cn Φ∑|X |>cn
n =1
i =1
αni X
ni >△A n ∪B n ∑=故只需证明∑P (A n )
n =1
n =1
∞
α/2+δ/2
∞
Φ∑n -1-n =1
δ/α
E |X |
α2/
(9) (10)
《∑n -1-n =1
∞
δ/α
α. s .
∑P (B n )
∞
先证(9)
∞
∞
n
n =1
Borel -T n1
α. s .
0, n ∞。
αni X i >n -δΦ∑∑P {|X i |>
n =1i =1
∞n
Cn }Φ∑|X |>Cn
n =1
α
∞
=∑n ∑(j n =1
∞∞
=∑n nE j =1n =1
∞
j =n j
θ, n , q >max (2, 2/
-) , 不等式, C r 不等式, (5) 、(6) 和n n n ε
∑a ni X ni E ∑a ni X ni q 〈∑E |a ni X ni |q +P
i =1i =1i =12
i =1
cj a
n
i =1
δ/2-δ/α-q
n
q/2
n
Φ∑j 2j =1
∞
|X |/Cj
α
2/α
α
〈∑E αni X i 《n
α2/
n
α) -δ/2(q -2/
α2+∑ni
i =1
q/2
ΦC ∑E |X |2/j =1
∞
α
《E |X |2/
α
+n
-q θ/2
n
故(9) 式成立。
为证(10) 先证:E ∑a ni X ni ϖ0, n ϖ∞
E ∑a ni X ni
i =1
n i =1n n
n j =1n
由q 的取法, 得P
(11)
i =1
αni X ni >∑
α. s . ε
∞最后证T n3
T n3
n i =1n i =1
α, s .
n
=∑E (a ni X i -a ni X ni )
i =1
|αni X i |>n -0, n ∞,
n i =1
Φ∑E αni X i Φ∑n 2《∑n
i =1
n
αni X ni Φ∑E αni X i I (|αni X i |Φn -δ/2) =E ∑
i =1
δ/α-δ
α2/
E αni X
2/a
Φ∑E αni X i Φ∑n -
α-1) αδ/2(2/2/
n
-2-δ
δ/α-δ/2-1
《n ϖ0, n ϖ∞
故(11) 式成立, 所以要证(10) , 只需证
n ∞(12) ∑∑a ni X ni >
i =1n =12
α, 2/θ, 1/1α-1/2+δ|) , 且由引理中取q >max (2/
Markov 不等式, C r 不等式, (2) 和(3) 式有
n n n ε
∑a ni X ni E ∑a ni X
ni q 《{∑E |a ni X ni q +P
i =1i =1i =12
i =1
i =1
-1-δ
E |X |
E X i
α2/
n -
δ/α-δ0, n ∞。
参考文献:
[1] B radley R C . Eqnivalent m ixing conditi ons for random
fields[M].Chapel H ill:Technical Report No . 336, Cen 2ter f or St ochastic Pr ocesses, University of North Car olina, 1990. [2] Thru m R. A re mark on al m ost sure convergence of weigh 2
ted su m s [J ].Pr obab . Th . Rel . Fields, 1987, 75:4252430.
[3] St outW F . A l m ost Sure Convergenc[M]e . Ne w York:Ac 2
ade m ic Press, 1974.
[4] B radley R C . On the s pectral density and asy mp t otic nor 2
mality of weakly dependent random fields[J ].J Theoret Pr obab, 1992, 5:3552374. [5] 吴群英混合序列加权和的完全收敛性和强收敛性[J ].应用数学, 2002, 15(1) :124.
[6] 杨善朝一类随机变量部分和的矩不等式及其应用
[J ].科学通报, 1998, 43(17) :182321827.
∑E (a ni X ni ) 2
n i =1
n
n
q/2
}
n
q/2
i =1
n
《∑E |a ni X i |q I (|a ni X i |Φn -δ) +∑a 2ni Φ∑E αni X i Φ∑E a ni X i
i =1i =1
n
α2/
n
α) -δ(q -2/
α2+∑ni
i =1i =1
q/2
α-δ(q -2/α=2/n
∑α2n i q/2
q/2
n
《n -n
δ(q -2/α) -1-2δ/α
α2+∑ni
i =1
n
当0
i =1
q/2
n -θq /2,当α>1/2-δ时, 由(4) 式有
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