三维拉普拉斯方程的求解
第5期 安阳师范学院学报
三维拉普拉斯方程的求解
田彦伟,崔晓娜
(安阳师范学院数学科学学院,河南安阳455000)
[摘 要]本文对三个自变量情况下的拉普拉斯方程运用分离变量法以及级数解法进行求解。对于其中的系数进行适当的取舍,得到级数解。
[关键词]分离变量;级数解;多项式;勒让德方程;连带勒让德方程
[中图分类号]O241182 [文献标识码]A [文章编号]1671-5330(2007)05-0003-03
0 引言
拉普拉斯方程是许多物理量所遵循的微分方程,比如:稳定场分布问题(无源的浓度稳定分布问题、在静电场的某一区域没有电荷的电势函数问题、电源外部的均匀导电媒质中的稳恒电流势问题等)。因此它的求解也显得特别重要。
15)5Y15Y
(sinH+
sinHsin+l(l+1)Y=01.1 先求解的微分方程
关于R(r)微分方程是一个欧拉方程,为求该方程,进行自变量代换,令r=e,
则t=lnr,==drdtdrrdtdRddRdtd1dRdt()=()=dtdrdrdtrdtdrdr
=(-+)
rdtdrrdtdt=-dt+rrdt
代入该关于R(r)微分方程,得到一简单的二阶常微分方程:+-l(l+1)R=0
dtdt
在常微分方程中,进行简单计算,可得该方程的通解:R(t)=Ce+De
lt
-(l+1)t
2
2
2
2
t
2
(2)
1 求解过程
我们在三维空间中考虑拉普拉斯方程的求解,即方程为$u=
5u5u5u
++=0,求解关[1]
2
2
2
于u=u(x,y,z)的二阶偏微分方程问题。
预备定理:常点邻域上的级数解法。求解:在球坐标系下表示拉普拉斯方程得2(r)+(sinH)rrsinH5+=0rsinH5U
变量的形式解u(r,H,U)=R(r)Y(H,U)即是设方程具有将表示方位和表示度量的分量进行分离,其中R(r)是关于r的待定函数,Y(H,U)是关于H,U的待定函数。为了求得(*)式方程的解,只需求出R(r)和Y(H,U)的表达式即可。为求得R(r)和Y(H,U),将分离变量的形式解u(r,H,U)=R(r)Y(H,U)代入(*)式方程,整理得到:
分离出两个微分方程:
r-l(l+1)R=0+2rdrdr
2
2
2
[2]
:
(*)
采用分离变量法求解,令(*)式方程有分离
进而得到R(r)的解为:
l1
R(r)=Cr+Dr
1.2 再求解Y(H,U)的微分方程,先进行化简
55Y5(sinH)+sinHsinH5U+l(l+1)Y=0变量的形式解Y(H,U)=
2
(3)
继续采用分离变量法,令方程(3)具有分离
5(U)((H),其中
5(U),((H)分别是关于U,H的函数。为求得5(U),((H),将形式解Y(H,U)=5(U)((H)代
(1)
[收稿日期]2007-08-10
[作者简介]田彦伟(1978-),男,河南漯河人,安阳师范学院数学科学学院助教,从事控制论研究。
安阳师范学院学报 第5期
入方程(2),整理,分离,令其中的常数为K,得到两个微分方程:
dd(
5d+K5=0及sinH(sinH)
dHdH2
+[l(l+1)sinH-K](=0
对该式中关于5(U)的方程,由U的几何意义,其有自然边界条件5(U+2P)=5(U),所以求解5(U)的方程:5d+K5=0
5(U+2P)=5(U)
求解该方程K依据与零的关系,寻求5(U)的有意义的解,得到:
5(U)=AcosmU+BsinmU,此时K=m(m=0,1,2,3,,)将该K代入到((H)式中的第二个式子中,得到关于((H)的微分方程,做自变量代换x=cosH,得到l阶连带勒让德方程:
+[l(l+1)(1-x)-2xdxdx
2
2
2
上述解:(1)在l是某个奇数l=2n+1(n是
2n+1
零或正整数)a0=0时y1(x)止到x,从而y(x)退化为多项式;(2)在l是某个偶数l=2n(n是正整数)a1=0时y0(x)止到x,从而y(x)退化为多项式.
处理:对于以上两种退化为多项式的可能性,取适当的a0,a1使每种情况下的最高次幂x的系数为al=
12(l!)
l2n
从而得到l阶勒让德方程的这些特殊解)))l阶勒让德多项式:
[lP2]
Pl(x)=
@
k=0
l-2kx2k!(l-k)!(l-2k)!6
(-1)
k
下面对l阶连带勒让德方程考虑在x0=0常点邻域上求解:((1-x)+[l(l+1)-2xdxdx
2-](=011-x
2
2
-](=011-x
其m=0的特例,叫做l阶勒让德方程.
下面对l阶勒让德方程考虑
求解:求解关于y(x)的二阶微分方程:
2
(1-x)yd-2xyc+l(l+1)y=01在x0=0的邻域上求解上述方程,采用常点邻域上级数法求解.
令该方程在x0=0的邻域上的级数解为:y(x)=a0+a1x+a2x+a3x+,+akx+,
将其代入到方程式中,合并同类项,得到左边的大级数与右边的0级数对应系数相等,得到ai之间的递推关系:(k+2)(k+1)ak+2+(l+l-k-k)ak=0,从而得到l阶勒让德方程的解:
y(x)=a0y0(x)+a1y1(x),其中y0(x)与y1(x)的表达式为:
y0(x)=1+(-l)(l+1)x/2!+(2-l)(-l)(l+1)(l+3)x/4!+,+(2k-2-l)(2k-4-l),(-l)(l+1)(l+3),(l+2k-1)x/(2k)!+,
y1(x)=x+(1-l)(l+2)x/3!+(3-l)(1-l)(l+2)(l+4)x/5!+,+(2k-1-l)(2k-3-2k2k+1
5
3
2k
4
2
2
2
2
3
k
2
11为方便地求其解,先做函数变换:
(=(1-x)y(x),把待求函数从(变换为y(x),它将l阶连带勒让德方程化为y(x)的微分方程:
2
(1-x)yd-2(m+1)xyc+[l(l+1)-m(m+1)]y=01
(**)
21把勒让德方程
2
(1-x)Pd-2xPc+l(l+1)P=01求导m次,其结果整理得:(1-x)P-2(m+1)xP
[m]
-m(m+1)]P=01
2
[m]d
[m]c
2
m
+[l(l+1)
从而观察出,勒让德方程的解P(x)的m次
m
导数,y(x)=P(x)1是(**)式方程的解,从而可以推出连带勒让德方程的解:
(=(1-x)
m
2
mP2
Pl
2
[m]
(x),
m
[m]
称为连带勒让德函数,通常记作Pl(x),Pl(x)=(1-x)Pl
m
(x)1
拉普拉斯方程的一般解为:
u(r,H,U)=R(r)((H)5(U)
根据l和m的不同而不同,但它们都是拉普拉斯方程的解,则它们的线性叠加亦是。
[3]
l),(1-l)(l+2)(l+4),(l+
3 结果
:
(+
第5期 田彦伟,崔晓娜:三维拉普拉斯方程的求解
[参考文献]
u(r,H,U)=
m=0l=mm
6666
m]
m
]m
r[AlcosmU
m
lm
[1]梁昆淼1数学物理方法[M]1北京:高等教育出版社1[2]同济大学应用数学1高等数学[M]1北京:高等教育出版社1
[3]郇中丹,黄海洋1偏微分方程[M]1北京:高等教育出版社1
+BlsinmU]Pl(cosH)+
m=0l=m
r
[CcosmU
m
m
l
+DlsinmU]Pl(cosH)1
MakingSolutionofThreeDimensionsLaplaceEquation
TIANYan-wei,CUIXiao-na
(DepartmentofMathematics,AnyangNormalUniversity,Anyang455000,China)
Abstract:ThispaperisaboutthemakingsolutionofthreedimensionLaplaceequationusingseparationofvariablesandseriessolutionmethod.Theapplicablecoefficientsareselected,thenwegettheseriessolutionofthethreed-imensionLaplaceequation.
Keywords:Separationofvariables;Seriessolution;Polynomial;Legendreequation;AssociatedLegendresolution
[责任编辑:D]
(上接2页)界,最后针对其对信息量的浪费较多在序列构造上做了一点改进,所得序列节约了信息量,同时与原序列有相同的周期下界,有望在实现上更为迅速.
[参考文献]
[1]万哲先1代数和编码[M].上海:科学出版社,1980.
[2]王锦玲.矩阵上的线性递归序列[J].郑州工业大学学报,1994,(3):32-38.
[3]王锦玲.多位self-shrinking序列的构造与特性[J].信息安全与通信保密,1997,(1):55-57.
[4]WilliMecierOthmarStaffebach,TheclockcontrolGeneratrr[J]1Eurocrypt11994,(94):201-210.
TheConstructionofNewMulti-Self-ShrinkingSequences
12
LIWu-zhuang,WANGL-iping
(1.AnyangNormalUniversity,Anyang455002,China;2.HebiVocationalTechnologicalCollege,Hebi458030,China)
Abstract:Inthispaper,wegiveakindofmulti-self-shrinkingSequences,Obtaintheownerboundofperiodand
linearcomplexityabouttheSelf-shrinkingsequence.Keywords:Period;Complexity;Self-shrinkingsequence
[责任编辑:D]