[大学物理]第二版 课后习题答案 第九章
习题精解
9-1. 在气垫导轨上质量为m 的物体由两个轻弹簧分别固定在气垫导轨的两端,如图9-1所示,试证明物体m 的左右运动为简谐振动,并求其振动周期。设弹簧的劲度系数为k 1和k 2. 解:取物体在平衡位置为坐标原点,则物体在任意位置时受的力为 F =-(k 1+k 2) x 根据牛顿第二定律有
d 2x
F =-(k 1+k 2) x =ma =m 2
dt
化简得
d 2x k 1+k 2
2+x =0
dt m
k 1+k 2d 2x 2
令ω=则2+ωx =0所以物体做简谐振动,其周期
dt m
2
T =
2π
ω
=29-2 如图9.2所示在电场强度为E 的匀强电场中,放置一电偶极矩P=ql的电偶极子,+q和-q 相距l ,且l 不变。若有一外界扰动使这对电荷偏过一微小角度,扰动消息后,这对电荷会以垂直与电场并通过l 的中心点o 的直线为轴来回摆动。试证明这种摆动是近似的简谐振动,并求其振动周期。设电荷的质量皆为m ,重力忽略不计。
解 取逆时针的力矩方向为正方向,当电偶极子在如图9.2所示位置时,电偶极子所受力矩为
M =-qE 电偶极子对中心O 点的转动惯量为
l l
sin θ-qE sin θ=-qEl sin θ 22
2
1⎛l ⎫⎛l ⎫
J =m ⎪+m ⎪=ml 2
2⎝2⎭⎝2⎭
2
由转动定律知
12d 2θ
M =-qEl sin θ=J β=ml ∙2
2dt
化简得
d 2θ2qE
+sin θ=0 2dt ml
2
当角度很小时有sin θ≈0,若令ω=
2qE
,则上式变为 ml
d 2θ
+ω2sin θ=0 2dt
所以电偶极子的微小摆动是简谐振动。而且其周期为
T =
2π
ω
=2 9-3 汽车的质量一般支承在固定与轴承的若干根弹簧上,成为一倒置的弹簧振子。汽车为开动时,上下为自由振动的频率应保持在v =1.3Hz 附近,与人的步行频率接近,才能使乘客没有不适之感。问汽车正常载重时,每根弹簧松弛状态下压缩了多少长度? 解 汽车正常载重时的质量为m ,振子总劲度系数为k ,
则振动的周期为T =2频率
为v =
1=T 正常载重时弹簧的压缩量为
mg T 2g x ==2g =22=0.15(m )
k 4π4πv
9-4 一根质量为m ,长为l 的均匀细棒,一端悬挂在水平轴O 点,如图9.3所示。开始棒在
,
平衡位置OO 处于平衡状态。将棒拉开微小角度后放手,棒将在重力矩作用下,绕O 点在竖直平面内来回摆动。此装置时最简单的物理摆。
若不计棒与轴的摩擦力和空气的阻力,棒将摆动不止。试证明摆角很小的情况下,细棒的摆动为简谐振动,并求其振动周期。
解 设在某一时刻,细棒偏离铅直线的角位移为θ,并规定细棒在平衡位置向右时θ为正,在向左时为负,则力矩为
1
M =-mg l sin θ
2
12
ml , 根据转动定律有 3
负号表示力矩方向与角位移方向相反,细棒对O 点转动惯量为J =
112d 2θM =-mgl sin θ=J β=ml 2
23dt
化简得
d 2θ3g
+sin θ=0
dt 22l
当θ很小时有sin θ≈θ,若令ω=
2
3g
则上式变为 2l
d 2θ
+ω2sin θ=0 2dt
所以细棒的摆动为简谐振动,其周期为
T =
2π
ω
=2π
-2
9-5 一放置在水平光滑桌面上的弹簧振子,振幅A =2⨯10m ,周期T =0.50s ,当t=0时,
(1)物体在正方向的端点; (2)物体在负方向的端点;
(3) 物体在平衡位置,向负方向运动; (4)物体在平衡位置,向负方向运动; (5)物体在x =1.0⨯10m 处向负方向运动
(6)物体在x =-1.0⨯10m 处向正方向运动。求以上各种情况的振动方程。 解 由题意知A =2.0⨯10m , T =0.5s , ω=
-2-2-2
2π
=4πs -1 T
(1)由初始条件得初想为是ϕ1=0, 所以振动方程为
x =2⨯10-2cos 4π(m )
(2)由初始条件得初想为是ϕ2=π,所以振动方程为
x =2⨯10-2cos(4πt +π)(m )
(3)由初始条件得初想为是ϕ3=
π
2
,所以振动方程为
x =2⨯10-2cos(4πt +)(m )
2
3π
(4)由初始条件得初想为是ϕ4=,所以振动方程为
2
3π
x =2⨯10-2cos(4πt +)(m )
2
x 01⨯10-2π5ππ==0.5(5)因为cos ϕ5=,所以,取(因为速度小于零),ϕ=, ϕ=55-2A 2⨯10333
所以振动方程为
π
x =2⨯10-2cos(4πt +)(m )
3
π
x 0-1⨯10-22π4π4π==-0.5(6)cos ϕ6=,所以,取(因为速度大于零),ϕ=, ϕ=66-2A 2⨯10333
所以振动方程为
x =2⨯10-2cos(4πt +
4π
)(m ) 3
9-6一质点沿x 轴做简谐振动,振幅为0.12m ,周期为2s ,当t=0时,质点的位置在0.06m 处,且向x 轴正方向运动,求; (1)质点振动的运动方程;
(2)t=0.5s时,质点的位置、速度、加速度;
(3)质点x=-0.06m处,且向x 轴负方向运动,在回到平衡位置所需最短的时间。 解 (1)由题意可知:A =0.12m , ω=零),所以质点的运动方程为
2ππ
=π, x 0=A cos ϕ0可求得ϕ0=-(初速度为T 3
π⎫⎛
x =0.12cos πt -⎪
3⎭⎝
(2)
π⎫⎛
x t =0.5=0.12cos 0.5π-⎪=0.1(m )
3⎭⎝
任意时刻的速度为
π⎫⎛
v =-0.12cos πt -⎪
3⎭⎝
π⎫⎛
v t =0.5=-0.12cos 0.5π-⎪=-0.19(m ∙s -1)
3⎭⎝
所以
任意时刻的加速度为
π⎫⎛
a =-0.12π2cos πt -⎪
3⎭⎝
所以
π⎫⎛
a t =0.5=-0.12π2cos 0.5π-⎪=-1.0(m ∙s -2)
3⎭⎝
(3)根据题意画旋转矢量图如图9.4所示。
由图可知,质点在x=-0.06m处,且向x 轴负方向运动,再回到平衡位置相位的变化为
325∆ϕ=π-π=π
236∆ϕ
=
5
≈0.833(s ) 6
所以
∆t =
ω
9-7 一弹簧悬挂0.01kg 砝码时伸长8cm ,现在这根弹簧下悬挂0.025kg 的物体,使它作自由振动。请建立坐标系,分析对下述3种情况列出初始条件,求出振幅和初相位,最后建立振动方程。
(1)开始时,使物体从平衡位置向下移动4cm 后松手;
(2)开始时,物体在平衡位置,给以向上的初速度,使其振动;
(3)把物体从平衡位置向下拉动4cm 后,又给以向上21cm ∙s 的初速度,同时开始计时。 解 (1)取物体处在平衡位置为坐标原点,向下为x 轴正方向,建立如图9.5所示坐标系。 系统振动的圆频率为
-1
ω=
===7(s -1) 根据题意,初始条件为
⎧x 0=4cm ⎨-1
v =0cm ∙s ⎩0
振幅A ==4cm ,初相位ϕ1=0
振动方程为
x =4cos7t (m )
(2)根据题意,初始条件为
⎧x 0=0cm ⎨-1
v =-21cm ∙s ⎩0
振幅A ==3cm ,初相位ϕ2=
π
2
振动方程为
x =3cos(7t +)(m )
2⎧x 0=4cm ⎨-1
v =-21cm ∙s ⎩0
π
(3)根据题意,初始条件为
振幅A ==5cm ,tan ϕ3=-
v 0
=0.75,得ϕ3=0.64 x 0ω
振动方程为
x =5cos(7t +0.64)(m )
-2
9-8 质量为0.1kg 的物体,以振幅A =1.0⨯10m 做简谐振动,其最大加速度为
4.0m ∙s -2,求:(1)振动周期;(2)通过平衡位置时的动能;(3)总能量。
解 (1)简谐振动的物体的最大加速度为
a max =A ω2
ω=
2π2π-1
==20s ,所以周期为T ===0.314(s )。 ()ω20
(2)做简谐振动的物体通过平衡位置时具有最大速度
v max =A ω
所以动能为
121122-22
E k =mv max =mA ω=⨯0.1⨯(1.0⨯10)⨯20=2⨯10-3(J )
222
(3)总能量为
E 总=E k =2⨯10-3(J )
9-9 弹簧振子在光滑的水平上面上做振幅为A 0的简谐振动,如图9.6所示,物体的质量为M ,弹簧的劲度系数为k ,当物体到达平衡位置且向负方向运动时,一质量为m 的小泥团以
速度v '从右打来,并粘附于物体之上,若以此时刻作为起始时刻,求: (1)系统振动的圆频率;
(2)按图示坐标列出初始条件; (3)写出振动方程;
解 (1)小泥团粘附于物体之后与物体一起做简谐振动,总质量为M+m,弹簧的劲度系数为k ,所以系统振动的圆频率为
ω=
(2)小泥团粘附于物体之上后动量守恒,所以有
-Mv -mv '=(M +m )v 0
v 0=-
Mv +mv '
M +m
x 0=0⎧⎪
按图9.6所示坐标初始条件为⎨Mv +mv '
v 0=-⎪M +m ⎩
(3)根据初始条件,系统振动的初相位为ϕ=守恒,有
π
2
;假设,系统的振动振幅为A ,根据能量
1211(Mv +mv ') 22kA =(M +m )v 0= 222M +m
其中 故得
11
Mv 2=kA 02 22
A =
振动方程为
x =
π⎫t +(m ) ⎪⎪2⎭
-2
9-10 有一个弹簧振子,振幅A =2⨯10m ,周期T=1s,初相位ϕ=振动方程;(2)利用旋转矢量图,作x-t 图。 解 (1)由题意可知,ω=
3
(1)写出它的π,4
2π
=2π,所以弹簧振子的振动方程为 T
-2
x =2⨯10cos 2πt +
⎛⎝3⎫
π⎪(m ) 4⎭
(2)利用旋转矢量图做x-t 图如图9.7所示 9-11 一物体做简谐振动,(1)当它的位置在振幅一半处时,试利用旋转矢量计算它的相位可能为哪几个值?做出这些旋转矢量;(2)谐振子在这些位置时,其动能。势能各占总能量的百分比是多少?
解 (1)根据题意做旋转矢量如图9.8所示。
由图9.8可知,当它的位置在振幅的一半时,它的可能相位是
±
π
3
, ±
2π 3
121
kA ,在任意位置时的时能为W p =kx 2,所以22
2
(2)物体做简谐振动时的总能量为W =
1⎛1⎫12
当它的位置在振幅的一半时的势能为W p =k A ⎪=kA ,势能占总能量的百分比为
2⎝2⎭8
25%,动能占总能量的百分比为75%。
9-12 手持一块平板,平板上放以质量为0.5kg 的砝码,现使平板在竖直方向上下振动,设该振动是简谐振动,频率为2Hz ,振幅是0.04m, 问: (1) 位移最大时,砝码对平板的正压力多大? (2)以多大的振幅振动时,会使砝码脱离平板?
(3) 如果振动频率加快一倍则砝码随板保持一起振动的振幅上限是多大?
解 (1)由题意可知,ω=2πv =4πs , A =0.04m 。因为物体在作简谐振动,物体在最大位移时加速度大小a max =A ω=0.04⨯16π=0.64π 根据牛顿第二定律有
2
2
2
-1
N 1-mg =ma max mg -N 2=ma max
解得N 1=8.06N (最低位置),N 2=1.74N (最高位置)
(2)当mg =ma max =mA ω,即时A =0.062m 会使砝码脱离平板。 (3)频率增大一倍,把ω1=2ω代入mg =ma max =mA 1ω1得
2
2
A 1=
1
A =1.55⨯10-2(m ) 4
9-13 有两个完全相同的弹簧振子A 和B ,并排地放在光滑的水平面上,测得它们的周期都是2s 。现将两个物体从平衡位置向右拉开5cm ,然后先释放A 振子,经过0.5s 后,再释放B 振子,如图9.9所示,若以B 振子释放的瞬间作为时间的起点, (1)分别写出两个物体的振动方程;
(2)它们的相位差为多少?分别画出它们的x-t 图。 解 (1)由题可知,两物体做简谐振动的圆频率为ω=
2π
=π,若以B 振子释放的瞬时T
作为时间的起点,则B 物体振动的初相位是ϕB =0,振动方程应为
x B =5cos πt (cm )
由于A 物体先释放0.5s 时的时间,所以相位超前B 物体∆ϕ=2π∙振动的初相位是ϕA =
0.5π
=,所以A 物体T 2
π
2
,振动方程应为
π⎫⎛
x A =5cos πt +⎪(cm )
2⎭⎝
∆ϕ=
(2)它们的相位差为
π
2
作A,B 两物体的振动曲线如图9.10所示。
9-14 一质点同时参与两个方向、同频率的简谐振动,它们的振动方程分别为
π⎫⎛
x 1=6cos 2t +⎪cm
6⎭⎝
⎛
x 2=8cos 2t -⎪cm
3⎭⎝
π⎫
试 用旋转矢量求出合振动方程。
解 作旋转矢量如图9.11所示。 由平面几何关系可知
A ==10cm
A 16tan ϕ===0.75
A 28
合振动的初相位是
⎛π⎫
α=- -ϕ⎪=-0.4
⎝3⎭x =10cos (2t -0.4)(cm )
所以合振动的振动方程为
9-15 有两个同方向、同频率的简谐振动,其合振动的振幅为0.2,合振动的相位于第一个振动的相位之差为
π
,若第一个振动的振幅为0.173m ,求第二个振动的振幅,第一、第二6
两振动的相位差。
解 做旋转矢量如图9.12所示。 由平面几何关系可知
A 2==0.1(m )
假设A 1和A 2的夹角为,则由平面几何可知
A =
把已知数代入解得ϕ=
π
2
,
9-16 质量为0.4kg 的质点同时参与互相垂直的两个振动:
x =0.08cos
π⎫π⎫⎛π⎛π
t +⎪, y =0.06cos t -⎪
6⎭3⎭⎝3⎝3
式中x,y 以m 计,t 以s 计。
(1) 求运动轨迹方程;
(2) 质点在任一位置所受的力。
解 (1)由振动方程消去时间因子得轨迹方程为
x 2y 2
+=1 0.0820.062
2
2
(2) 质点在任意时刻的加速度为
d 2x d 2y π⎫π⎫⎛π⎫⎛π⎛π⎫⎛πa =i +j =-0.08 ⎪cos t +⎪i -0.06 ⎪cos t -⎪j
dt dt 6⎭3⎭⎝3⎭⎝3⎝3⎭⎝3
质点在任一位置所受的力为
22
⎡π⎫π⎫⎛π⎫⎛π⎛π⎫⎛π
F =ma =⎢-32 ⎪cos t +⎪i -24 ⎪cos t -⎪
6⎭3⎭⎝3⎭⎝3⎝3⎭⎝3⎢⎣
⎤
j ⎥⨯10-3(N ) ⎥⎦
9-17 质点参与两个方向互相垂直的、同相位、同频率的简谐振动;
(1)证明质点的合振动时简谐振动; (2)求合振动的振幅和频率。
解 (1)根据题意,假设两个分振动的振动方程分别为
x =A x cos (ωt +ϕ)y =A y cos (ωt +ϕ)
合成的轨迹是直线y =
A x
A x ,在任意时刻质点离开平衡位置的距离为 y
x '==
(ωt +ϕ)
所以质点的合振动是简谐振动。 (3)
合振动的振幅为A =ω.