专题五:函数与导数及其综合应用
一、考点透视
1.函数知识的内在综合应用:主要涉及函数的概念、性质、图像和方法;函数与其他代数知识:主要是方程、不等式、数列等方面的综合.
了解的导数概念、掌握导数的几何意义、求导的基本方法(基本导数的公式、导数的四则运算).
2.掌握导数的简单的应用:①求曲线的切线方程;②求函数的单调区间;③求可导函数的极值和最值.
二、回归基础
1.函数f (x ) =x ln x 的单调减区间是 .
3]上的最小值是. 2.函数f (x ) =12x -x 3在区间[-3,
1x 2
-3ln x 的一条切线的斜率为,则切点的横坐标为 . 3.已知曲线y =
24
1
4.直线y =x +b 是曲线y =ln x (x >0) 的一条切线,则实数b = .
2
5.已知函数f (x ) =x 2+2xf '(1),则f '(0)=
6.曲线y =xe x +2x +1在点(0,1)处的切线方程为
7.已知函数f (x ) =x 3-12x +8在区间[-3,3]上的最大值与最小值分别为M ,m ,则
M -m =.
8.圆形水波的半径50cm/s的速度向外扩张,当半径为250cm 时,圆面积的膨胀率为______. 9.已知函数f (x )=x 3-ax 2+3ax +1在区间(-∞, +∞) 内既有极大值, 又有极小值,则实数a 的取值范围是 .
10. 已知函数f (x ) =x -a -ax 存在最小值,则实数a 的取值范围是 . 11. 将边长为1的正六边形铁皮的六个角各切去一个全等的四边形,再沿虚线折起,做成一个无盖的正六棱柱容器(图2). 当这个正六棱柱容器的底面边长为 时,其容积最大.
g (x ) 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数,12.设f (x ) 、当x 0,
且g (-3) =0,则不等式f (x ) g (x )
1
图1
10.设函数f (x ) =-x 3+ax +1(a ∈R ) . (Ⅰ)若在f (x ) 的图象上横坐标为
2
的点处存在垂直于y 轴的切线,求a 的值; 3
(Ⅱ)若f (x ) 在区间(-2, 3) 内有两个不同的极值点,求a 的取值范围.
10.已知函数f (x ) =e x -2x . (Ⅰ)求f (x ) 在[0,1]上的极值;
(Ⅱ)关于x 的方程f (x ) =2x -b 在[0,3]恰有两个不同的根,求b 的取值范围.
2
一、即使突破
1.已知函数f (x )=mx 2+ln x -2x 在定义域内是增函数,则实数m 的取值范围为 . 2.设曲线y =x n +1(n ∈N *) 在点(1,1)处的切线与x 轴的交点的横坐标为x n , 令a n =lg x n ,则a 1+a 2+ +a 99的值为
3.已知函数f (x ) 在R 上满足f (x ) =2f (2-x ) -x 2+8x -8,则曲线y =f (x ) 在点
(1,f (1))处的切线方程是
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x -9都相切,则a 等于_______. 4
5.设函数y =f (x ) 在(a , b ) 上的导数为f '(x ) ,f '(x ) 在(a , b ) 上的导数为f ''(x ) ,若在(a , b ) 上
2
4.若存在过点(1,0)的直线与曲线y =x 3和y =ax +
则称函数f (x ) 在(a , b ) 上为“凸函数”,若函数f (x ) =f ''(x )
为区间(-1, 3) 上的“凸函数”,则实数m 的值为 . 6.设函数f (x ) =
141332
x -mx -x 1262
2x 7⎡11⎤3
g (x ) =x -3ax +,, 若对于任意x ∈-, ⎥,总存在1⎢x 2+18⎣22⎦
⎡11⎤
x 2∈⎢-, ⎥,使得g (x 2) =f (x 1) 成立,则正整数a 的最小值为.
⎣22⎦
二、热点追踪
x
例1. 已知f (x ) =e -ax -1. (1)求f (x ) 的单调区间;
(2)若f (x ) 在定义R 内单调递增,求a 的取值范围;
(3)是否存在a 使函数f (x ) 在(-∞,0]上的单调递减,在[0,+∞) 上单调递增,若存在,求出a 值,若不存在,说明理由.
3
例2.已知函数f (x ) =2x 3-3(a +1) x 2+6ax +1.(1)当a =2时,求f (x ) 在[0,3]内的最大值; (2)若函数的极大值为m ,求x 的值l ; (3)设点P (l , m ) ,求点P 的轨迹方程.
例3.已知函数f (x ) =(a +1)ln x +ax +1.
(Ⅰ)讨论函数f (x ) 的单调性;
(Ⅱ)设a ≤-2,证明:对任意x 1, x 2∈(0,+∞) ,|f (x 1) -f (x 2) |≥4|x 1-x 2|.
2
4
一、实战体验
1.f '(x ) 是f (x ) =
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x +2x +1的导函数,则f '(-1) 的值是3
2.点P 是曲线f (x ) =x 2-ln x 上的任意一点,则P 到直线y =x -2的距离的最小值是 .
3.如果函数f (x ) =-x 3+bx (b 为常数) ,且y =f (x ) 在区间(0,1)上单调递增,并且方程f (x ) =0的根都在[-2, 2]内,则b 的取值范围是4.设函数f (x ) =x 3+x ,若0
5. f (x ) 是定义在(0,+∞) 上的非负可导函数,且满足x f '(x ) -f (x ) >0,对任意正数a 、b ,若a
6.曲线y =x 3在点(a , a 3) (a ≠0) 处的切线与x 轴、直线x =a 所围成的三角形的面积为则a = .
π
2
时,f (m cos θ) +f (1-m ) >0恒成立,则实数的
1
,6
2ax -a 2+1
(x ∈R ) ,其中a ∈R . 7.已知函数f (x ) =2
x +1
(Ⅰ)当a =1时,求曲线y =f (x ) 在点(2,f (2))处的切线方程; (Ⅱ)当a ≠0时,求函数f (x ) 的单调区间与极值.
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8.已知函数f (x ) =x +ax +bx +c 在x =-与x =1都取得极值.
3
(1)求a , b 的值与函数f (x ) 的单调区间;
(2)若对x ∈[-1,2],不等式f (x )
2
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一、能力提升
1.设曲线y =x n +1(n ∈N *) 在点(1,1)处的切线与x 轴的交点的横坐标为x n , 则x 1⋅x 2⋅ ⋅x n 的值为 . 2.
2.已知函数f (x ) =ax 3+x 2+bx (其中常数a,b ∈R), g (x ) =f (x ) +f '(x ) 是奇函数.
(Ⅰ) 求f (x ) 的表达式;
(Ⅱ) 讨论g (x ) 的单调性,并求g (x ) 在区间[1,2]上的最大值和最小值.
10.已知函数f (x ) =e -kx ,x ∈R
(Ⅰ)若k =e ,试确定函数f (x ) 的单调区间;
(Ⅱ)若k >0,且对于任意x ∈R ,f (x ) >0恒成立,试确定实数k 的取值范围; (Ⅲ)设函数F (x ) =f (x ) +f (-x ) ,求证:F (1)F (2) F (n ) >(e
n +1
n 2
x
+2) (n ∈N *) .
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