感生电动势与涡旋电场
例：正弦交流电
B
求：任意时刻的电动势
解：θ=
ωt ε=L (V ⨯B
) ⋅d l
ΦB ⋅S =BS cos θ m = =BS cos ωt
ε-N d Φi =m
dt
=NBS ωsin ωt =m ε=NBS ω，转速n ：转/分(r/min)，ω=2πn
m 60
(rad /s ) 例：磁通计的原理 B
εd Φi =-m dt
感应电流 εi i =εi 1d Φm R =-R dt 0→t
感生电量q =⎰t t 1d Φm 0idt =⎰0-
R dt dt =-1R ⎰Φm (t ) Φd Φ1
m (0) m =-R
∆Φm q ∝∆Φm ，∆Φm =Rq
if ，Φm (0) =0，Φm (t ) =Rq ：磁通计原理
测量磁场，若线圈面积较小，且线圈平面⊥B
，B =Φm (t ) /S 可测：时变磁场、恒定磁场 对于恒定磁场
B
例：洛仑兹力是否作功？
洛仑兹力对电荷永远不作功
洛仑兹力是产生动生电动势的非静电力 F =q v ⨯B
：产生动生电动势
f =
q u ⨯B ：对动生电动势无贡献 F m =F +f =q v ⨯B +q u ⨯B
外 V =q (v +u ) ⨯B =q V ⨯B
=v
F +u
m ⊥V ，F m ⋅V =0F
、
f 分别对电荷作功
洛仑兹力不提供能量，它只是转化和传递能量
1
第3节 感生电动势与涡旋电场
一、 涡旋电场假说
例：求矩形回路中的感生电动势
解：Φm (t ) =⎰B ⋅d S =⎰B cos θdS S
S
=⎰ =
r +l 2
r
I (t ) μ0I (t )
1dx ， =I 0s i n ω2πx
μ0I 0l 1r +l 2
sin ωt ln ， 2πr d Φm μI l r +l 2
=-001ωcos ωt ln εi =- dt 2πr
产生电动势的非静电力是什么力？从哪里来的？
涡旋电场假说：变化的磁场⇒具有闭合力线的电场：
涡旋电场（感应电场），场强E V ，非静电场
d Φm 一段导线：εi =⎰E V ⋅d l ，闭合回路：εi =E V ⋅d l =-
L L dt
静电场 涡旋电场 产生原因 静电荷 变化的磁场 电力线 不闭合 闭合
d Φm
环路定理 E ⋅d l =0 εi =E V ⋅d l =-
L L dt
保守场、电势 非保守场，电势 1
高斯定理 E ⋅d S =∑q i E V ⋅d S =0
S
对q 的作用力 F =q E F =q E V
d Φm E ⋅d l =- L V
dt
d ∂B
⋅d S
E V
∂B E V ∂t 2
ε0
内
S
二、 涡旋电场的计算
L E d l =-d Φdt L H ⋅d V ⋅m
l =∑I 传
内
例：半径为R 的无限长 直螺线管内有均匀磁场B
设磁场以恒定速率
增加，∂B
>0 求：E ∂t V
（1）r
向外
L E V ⋅d l =L E V
cos θdl =E d ΦV 2πr =-m dt =-d dt (-BS ) =∂B ∂t
πr 2
E 1∂B V =2∂t
r
（2）r >R E V L
E V ⋅d l =E V 2πr =-d Φm dt =-d dt (-B πR 2) =∂B 2∂t πR
E =1∂B 2∂t R 21V r
R r
例：无限长直螺线管（R 、、∂B
∂t
>0）
求：直导线ab 解：ε⎰b b b 1a (L ) E ∂B ab =V ⋅d l =⎰a (L ) E V cos θdl =⎰a r h
dl (L ) 2∂t r
=1∂B 2∂t hl =1∂B
2∂t l R 2-(l /2) 2>0，方向a →b ，b 端电势高 讨论：（1）对于涡旋电场不能引入电势概念，为什么说b 端 电势高？
答：b 端积累正电荷，a 端积累负电荷
电势概念是针对积累电荷的静电场引入的
3
（2）直导线ab 向上平移
εab 如何变化？
1∂B
hl ，ab 向上平移，h ↓，εab ↓ 答：εab =
2∂t
直导线通过O 点，h =0，εab =0
b
εab =⎰(L ) E V ⋅d l ，E V ⊥d l ，εab =0
a
（3）
B h
b l εO abO =εO a +εab +εbO =εab
d Φm d 1∂B 1
=-(-B hl ) =hl εab =εOabO =-dt dt 2∂t 2
（4）
I 、 MN 中有无电动势？
II 、 G 中有无电流？ B ∂B /∂t ≠0 III 、M 'N '中有无电动势？ M N
IV 、G '中有无电流？
M N '
计算电动势的小结：
（1）磁场恒定，回路或其一部分运动：动生电动势
b
一段导线：εab =⎰(V ⨯B ) ⋅d l
a (L )
d Φm
闭合回路：ε=(V ⨯B ) ⋅d l ，εi =-
L dt
（2）磁场变化，回路不动：感生电动势
一段导线：εi =⎰E V ⋅d l
L
d Φm
闭合回路：εi =E V ⋅d l ，εi =-
L dt
（3）磁场变化，且回路或其一部分又运动：既有感生
d Φm
电动势，又有动生电动势，最好使用：εi =-
dt
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第4节 自感
一、 自感现象及其规律
B ∝I ，Φm ∝I ，Φm =LI
L : L ：自感（系数），SI ：亨利（H ） d dL dI d Φ
εL =-m =-(LI ) =-I -L
dt dt dt dt
dI
如果L 恒定，εL =-L εL εL dt
εL ：自感电动势 自感电动势总是阻碍电流变化 I I 5