导数的概念及运算

导数的概念及运算

班级姓名

[学习目标]

1. 了解导数概念的实际背景，理解函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义，理解导函数的概念．了解曲线的切线的概念.

12

2. 能根据导数定义，求函数y ＝C (C为常数) ，y ＝x ，y ＝x ，y ＝，y ＝x 的导数．熟记

x 基本初等函数的导数公式(c，x (m为有理数) ，sin x，cos x，e ，a ，ln x，log a x 的导数) ，能利用基本初等函数的导数公式及导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数(仅限于形如f(ax＋b)) 的导数． [基础训练]

1．一质点运动的方程为s =8-3t 2, 质点在[1，1+Δt]这段时间内的平均速度为； 质点在t=1时的瞬时速度_______ ___. 2．设y ＝x 2·e x ，则y ′＝________ ___.

1

3．已知函数y ＝f (x ) 的图象在点M (1，f (1))处的切线方程是y ＝x ＋2，则f (1)＋f ′(1)＝_____.

2

3－

4．若函数f (x ) ＝e x ＋a e x 的导函数是奇函数，并且曲线y ＝f (x ) 的一条切线的斜率是，则

2

切点的横坐标是___ _____． [典型例题]

题型一 利用导数的定义求函数的导数

例1 利用导数的定义求函数的导数：

1

(1)f (x ) ＝x ＝1处的导数；

x 1

(2)f (x ) ＝.

x ＋2

变式1 求函数y x ＋1在x 0到x 0＋Δx 之间的平均变化率，并求出其导函数．

m

x

x

题型二 导数的运算

例2 求下列函数的导数：

1ln x

(1)y ＝(1－x ) ⎛1＋； (2)y ＝ (3)y ＝x e x ； (4)y ＝tan x .

⎝

x ⎭x

变式2 求下列函数的导数：

(1)y ＝x 2sin x ； (2)y ＝3x e x －2x ＋e ；

题型三 求复合函数的导数

例3 求下列函数的导数：

(1)y ＝(2x －3) 5； (2)y ＝3－x ；

变式3 求下列函数的导数：

(1)y ＝1(1－3x )

(2)y ＝sin ⎛π⎝2x 3；

(3)y ＝ln x

x ＋1

.

(3)y ＝ln(2x ＋5) ． (3)y ＝x 1＋x .

题型四 导数的几何意义

14

例4 已知曲线y 333

(1)求曲线在点P (2,4)处的切线方程； (2)求曲线过点P (2,4)的切线方程；

(3)求满足斜率为1的曲线的切线方程．

变式4 求曲线f (x ) ＝x 3－3x 2＋2x 过原点的切线方程．

[随堂练习]

f (1＋Δx )－f (1)11

1．已知函数f (x ) x 3x 2＋6x ，当Δx →0时，A ，则A ＝________.

322Δx

13

2．一质点沿直线运动，如果由始点起经过t 秒后的位移为s ＝t 3－2＋2t ，那么速度为零

32

的时刻是__________

3．若曲线f (x ) ＝ax 2＋ln x 存在垂直于y 轴的切线，则实数a 的取值范围是________．

4．求下列函数在x ＝x 0处的导数．

x －x 3＋x 2ln x e x e x

(1)f (x ) ＝＋，x 0＝2； (2)f (x ) ，x 0＝1.

x 1x 1x

1

(a ，b ∈Z ) ，曲线y ＝f (x ) 在点(2，f (2))处的切线方程为y ＝3. x ＋b

(1)求f (x ) 的解析式；

(2)证明：函数y ＝f (x ) 的图象是一个中心对称图形，并求其对称中心；

(3)证明：曲线y ＝f (x ) 上任一点的切线与直线x ＝1和直线y ＝x 所围三角形的面积为定值，并求出此定值．

[反思总结]

[课后检测]

见学生用书第249-250页

5．设函数f (x ) ＝ax ＋

导数的概念及运算

班级

[学习目标]

1. 了解导数概念的实际背景，理解函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义，理解导函数的概念．了解曲线的切线的概念.

1

2. 能根据导数定义，求函数y ＝C (C 为常数) ，y ＝x ，y ＝x 2，y ＝y x 的导数．熟记基

x 本初等函数的导数公式(c ，x m (m 为有理数) ，sin x ，cos x ，e x ，a x ，ln x ，log a x 的导数) ，能利用基本初等函数的导数公式及导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数(仅限于形如f (ax ＋b )) 的导数． [基础训练]

1．一质点运动的方程为s =8-3t 2, 质点在[1，1+Δt]这段时间内的平均速度为； 质点在t=1时的瞬时速度_______ ___. 2．设y ＝x 2·e x ，则y ′＝________ ___.

1

3．已知函数y ＝f (x ) 的图象在点M (1，f (1))处的切线方程是y ＝x ＋2，则f (1)＋f ′(1)＝_____.

2

3－

4．若函数f (x ) ＝e x ＋a e x 的导函数是奇函数，并且曲线y ＝f (x ) 的一条切线的斜率是，则

2

切点的横坐标是___ _____． 1．

2.(2x ＋x 2)e x 3.3 4.ln 2 [典型例题]

题型一 利用导数的定义求函数的导数

例1 利用导数的定义求函数的导数：

1

x ＝1处的导数； x 1

(2)f (x ) ＝.

x ＋2

(1)f (x ) ＝

1

－11＋Δx f (1＋Δx )－f (1)Δy

解 (1)＝＝

Δx Δx Δx 11＋Δx 1－(1＋Δx )＝＝Δ1＋Δx Δ1＋Δx (1＋1＋Δx )

－Δx －1

＝ Δx 1＋Δx ＋1＋Δx )1＋Δx ＋1＋Δx

Δy 11

从而，当Δx →0时，－，∴f ′(1)＝－.

Δx 22

11

－

Δy f (x ＋Δx )－f (x )x ＋2＋Δx x ＋2(2)Δx Δx Δx (x ＋2)－(x ＋2＋Δx )－1＝， Δx (x ＋2)(x ＋2＋Δx )(x ＋2)(x ＋2＋Δx )

Δy 1

从而，当Δx →0时，－，

Δx (x ＋2)1

∴f ′(x ) ＝－(x ＋2)变式1 求函数y ＝x ＋1在x 0到x 0＋Δx 之间的平均变化率，并求出其导函数．

变式迁移1 解 ∵Δy (x 0＋Δx )＋1x 0＋1

22

(x ＋Δx )＋1－x －12x Δx ＋(Δx )2＝＝，

(x 0＋Δx )＋1x (x 0＋Δx )＋1＋x 0＋10＋1

2x 0＋Δx Δy

∴＝Δx (x 0＋Δx )＋1x ＋10Δy x x ∴Δx →0时，∴y ′＝.

Δx x ＋1x ＋1

题型二 导数的运算

例2 求下列函数的导数：

1ln x

(1)y ＝(1－x ) ⎛1＋；(2)y ＝；

x ⎭⎝

(3)y ＝x e x ；(4)y ＝tan x .

1

1

解 (1)∵y ＝(1－x ) ⎛⎝11x ⎫1-⎭＝x ＝x 2-x 2x

，

1∴y ′＝(x

-

2

x －12) ′－(12) ′＝－12x －32－11

2－2. (2)y ′＝⎛ln x ⎫(ln x )′x －x ′ln x

⎝x ⎭′x 1＝x ·x －ln x 1－ln x ＝x x (3)y ′＝x ′e x ＋x (ex ) ′＝e x ＋x e x ＝e x (x ＋1) ．

(4)y ′＝⎛sin x ⎫(sin x )′cos x －sin x (cos x )′

⎝cos x ⎭′＝cos x ＝cos x cos x －sin x (－sin x )1cos x cos x

变式2 求下列函数的导数：

(1)y ＝x 2sin x ；(2)y ＝3x e x －2x ＋e ；(3)y ＝ln x

x ＋1

.

变式迁移2 解 (1)y ′＝(x 2) ′sin x ＋x 2(sin x ) ′＝2x sin x ＋x 2cos x . (2)y ′＝(3x e x ) ′－(2x ) ′＋(e)′＝(3x ) ′e x ＋3x (ex ) ′－(2x ) ′ ＝3x ln 3·e x ＋3x e x －2x ln 2＝(ln 3＋1)(3e)x －2x ln 2.

(3)y ′＝(ln x )′(x 2＋1)－ln x (x 2＋1)′

(x ＋1)

1x (x 2

＋1)－ln x ·2x x 2＋1－2x 2＝(x ＋1)ln x x (x ＋1)

题型三 求复合函数的导数

例3 求下列函数的导数：

(1)y ＝(2x －3) 5； (2)y ＝3－x ； (3)y ＝ln(2x ＋5) ．

解 (1)设u ＝2x －3，则y ＝(2x －3) 5由y ＝u 5与u ＝2x －3复合而成．∴y ′＝y ′u ·u ′x ＝5u 4·2＝10u 4＝10(2x －3) 4.

(2)设u ＝3－x ，则y 3－x 由y ＝u 1

2

u ＝3－x 复合而成．

11111

∴y ′＝y ′u ·u ′x ＝u －(－1) ＝－－＝－222223－x

(3)设u ＝2x ＋5，则y ＝ln(2x ＋5) 由y ＝ln u 与u ＝2x ＋5复合而成．

122

∴y ′＝y ′u ·u ′x ＝·2＝.

u u 2x ＋5

变式3 求下列函数的导数：

1

(1)y ＝

(1－3x )π2x ＋； (2)y ＝sin ⎛3⎝(3)y ＝x 1＋x .

－

变式迁移3 解 (1)设u ＝1－3x ，y ＝u 4.

12－

则y ′＝y u ′·u x ′＝－4u 5·(－3) ＝(1－3x )π

(2)设u ＝2x ＋y ＝sin u ，

3

π

∴y ′＝y ′u ·u ′x ＝cos u ·2＝2cos(2x ＋．

3

(3)y ′＝(x 1＋x ) ′＝x ′1＋x ＋x (1＋x ) ′

1＋2x x 2＝1＋x ＋.

1＋x 1＋x

题型四 导数的几何意义

14

例4 已知曲线y 333

(1)求曲线在点P (2,4)处的切线方程； (2)求曲线过点P (2,4)的切线方程；

(3)求满足斜率为1的曲线的切线方程．

解 (1)∵y ′＝x 2，∴在点P (2,4)处的切线的斜率k ＝4. ∴曲线在点P (2,4)处的切线方程为 y －4＝4(x －2) ，即4x －y －4＝0.

14142x 0，x 3(2)设曲线y ＝3＋与过点P (2,4)的切线相切于点A ⎛0，33则切线的斜率k ＝x 0. ⎝33

134⎫2

∴切线方程为y －⎛⎝3x 0＋3⎭＝x 0(x －x 0) ，

234

即y ＝x 20x 0＋. ∵点P (2,4)在切线上， 33

242

∴4＝2x 0－x 30＋， 33

3222即x 0－3x 0＋4＝0，∴x 30＋x 0－4x 0＋4＝0， 2∴x 0(x 0＋1) －4(x 0＋1)(x 0－1) ＝0，

∴(x 0＋1)(x 0－2) 2＝0，解得x 0＝－1或x 0＝2， 故所求切线方程为4x －y －4＝0或x －y ＋2＝0. (3)设切点为(x 0，y 0) ，则 切线的斜率为k ＝x 21， 0＝1，解得x 0＝±

5

1，，(－1,1) ． 故切点为⎛⎝35

故所求切线方程为y ＝x －1和y －1＝x ＋1，

3

即3x －3y ＋2＝0和x －y ＋2＝0.

变式4 求曲线f (x ) ＝x 3－3x 2＋2x 过原点的切线方程．

变式迁移4 解 f ′(x ) ＝3x 2－6x ＋2. 设切线的斜率为k .

(1)当切点是原点时k ＝f ′(0)＝2，所以所求曲线的切线方程为y ＝2x .

2

(2)当切点不是原点时，设切点是(x 0，y 0) ，则有y 0＝x 3k ＝f ′(x 0) ＝3x 20－3x 0＋2x 0，0－6x 0

＋2，①

y 又k ＝x 2－3x 0＋2，②

x 00

31

由①②得x 0＝，k ＝－.

24

1

∴所求曲线的切线方程为y x .

4

综上，曲线f (x ) ＝x 3－3x 2＋2x 过原点的切线方程为

1

y ＝2x 或y ＝－x .

4

[随堂练习]

f (1＋Δx )－f (1)11

1．已知函数f (x ) x 3x 2＋6x ，当Δx →0时，A ，则A ＝________.

322Δx

3

13

2．一质点沿直线运动，如果由始点起经过t 秒后的位移为s ＝t 3－2＋2t ，那么速度为零

32

的时刻是__________

1秒或2秒末

3．若曲线f (x ) ＝ax 2＋ln x 存在垂直于y 轴的切线，则实数a 的取值范围是________．

a

1

解析 由题意可知该函数的定义域为{x |x >0}，且f ′(x ) ＝2ax 因为曲线存在垂直于

x

1

y 轴的切线，故此时斜率为0，问题转化为x >0范围内导函数f ′(x ) ＝2ax ＋x

11

2ax ＋＝0，即2ax 2＋1＝0，即x 2＝－a

x 2a 故实数a 的取值范围是a

4．求下列函数在x ＝x 0处的导数．

e x e x

(1)f (x ) ＝＋，x 0＝2；

1x 1x x －x 3＋x 2ln x

(2)f (x ) ＝，x 0＝1.

x

2e x (2e x )′(1－x )－2e x (1－x )′⎛解 (1)∵f ′(x ) ＝1－x ′＝⎝⎭(1－x )2(2－x )e x ＝∴f ′(2)＝0. ………………………………………………………(6分) (1－x )3

(2)∵f ′(x ) ＝(x ′－x ′＋(ln x ) ′

2

3513

－－1＋∴f ′(1)＝－. …………………………………………(12分)

22x 2

1

5．设函数f (x ) ＝ax ＋(a ，b ∈Z ) ，曲线y ＝f (x ) 在点(2，f (2))处的切线方程为y ＝3.

x ＋b

(1)求f (x ) 的解析式；

(2)证明：函数y ＝f (x ) 的图象是一个中心对称图形，并求其对称中心；

(3)证明：曲线y ＝f (x ) 上任一点的切线与直线x ＝1和直线y ＝x 所围三角形的面积为定值，并求出此定值．

1

(1)解 f ′(x ) ＝a －(2分)

(x ＋b )⎧于是⎨1

a －

⎩(2＋b )＝0.

12a ＋＝3，

2＋b

⎧⎪a ＝1，解得⎨

⎪b ＝－1，⎩

⎧a 4或⎨8

b ＝－⎩39

1

. ……………………………………………(6分) x －11

(2)证明 已知函数y 1＝x ，y 2＝

x

1

所以函数g (x ) ＝x ＋也是奇函数，其图象是以原点为中心的中心对称图形．而f (x ) ＝x

x

1

－1＋＋1.

x －1

可知，函数g (x ) 的图象按向量a ＝(1,1)平移，即得到函数f (x ) 的图象，

因为a ，b ∈Z ，故f (x ) ＝x ＋

故函数f (x ) 的图象是以点(1,1)为中心的中心对称图形．……………………(10分)

1⎛x ，x ＋(3)证明 在曲线上任取一点00x －1， ⎝⎭0

1由f ′(x 0) ＝1－知，过此点的切线方程为 (x 0－1)1x 2－x ＋1y ＝⎡1－(x －1)⎤(x －x 0) ．……………………………………(12分) ⎣⎦x 0－10

x 0＋1令x ＝1，得y ＝ x 0－1

⎛x 0＋1⎫； 切线与直线x ＝1的交点为 1，⎪⎝x 0－1⎭

令y ＝x ，得y ＝2x 0－1，

切线与直线y ＝x 的交点为(2x 0－1,2x 0－1) ；

直线x ＝1与直线y ＝x 的交点为(1,1)，

从而所围三角形的面积为

1⎪x 0＋1⎪12－1⎪|2x 0－1－1|＝⎪|2x －2|＝2. ⎪2⎪x 0－1⎪2⎪x 0－1⎪0

所以，所围三角形的面积为定值2. ………………………………………(16分)

[反思总结]

[课后检测]

见学生用书第249-250页