乘法公式经典题型及拓展

乘法公式

一、复习:

(a+b)(a-b)=a2-b 2 (a+b)2=a2+2ab+b2 (a-b)2=a2-2ab+b2 (a+b)(a2-ab+b2)=a3+b3 (a-b)(a2+ab+b2)=a3－b 3 归纳小结公式的变式，准确灵活运用公式： ① 位置变化，(x +y )(-y +x )=x 2-y 2

② 符号变化，(-x +y )(-x -y )=(-x )2-y 2= x2-y 2 ③ 指数变化，(x 2+y 2)(x 2-y 2)=x 4-y 4 ④ 系数变化，(2a +b )(2a -b )=4a 2-b 2 ⑤ 换式变化，[xy +(z +m )][xy -(z +m )]

=(xy )2-(z +m )2 =x 2y 2-(z +m )(z +m ) =x 2y 2-(z 2+zm +zm +m 2) =x 2y 2-z 2-2zm -m 2

⑥ 增项变化，(x -y +z )(x -y -z )

=(x -y )2-z 2 =(x -y )(x -y )-z 2 =x 2-xy -xy +y 2-z 2 =x 2-2xy +y 2-z 2

⑦ 连用公式变化，(x +y )(x -y )(x 2+y 2)

=(x 2-y 2)(x 2+y 2) =x 4-y 4

⑧ 逆用公式变化，(x -y +z )2-(x +y -z )2

=[(x -y +z )+(x +y -z )][(x -y +z )-(x +y -z )] =2x (-2y +2z ) =-4xy +4xz 例1．已知a +b =2，ab =1，求a 2+b 2的值。

解：∵(a +b ) 2=a 2+2ab +b 2 ∴a 2+b 2=(a +b ) 2-2ab

∵a +b =2，ab =1 ∴a 2+b 2=22-2⨯1=2

例2．已知a +b =8，ab =2，求(a -b ) 2的值。

解：∵(a +b ) 2=a 2+2ab +b 2 (a -b ) 2=a 2-2ab +b 2

∴(a +b ) 2-(a -b ) 2=4ab ∴(a +b ) 2-4ab =(a -b ) 2 ∵a +b =8，ab =2 ∴(a -b ) 2=82-4⨯2=56

例3：计算19992-2000×1998

〖解析〗此题中2000=1999+1，1998=1999-1，正好符合平方差公式。解：19992-2000×1998 =19992-（1999+1）×（1999-1）

=19992-（19992-12）=19992-19992+1 =1

例4：已知a+b=2，ab=1，求a 2+b2和(a-b)2的值。 〖解析〗此题可用完全平方公式的变形得解。

1

解：a 2+b2=(a+b)2-2ab=4-2=2 （a-b) 2=(a+b)2-4ab=4-4=0

例5：已知x-y=2，y-z=2，x+z=14。求x 2-z 2的值。

〖解析〗此题若想根据现有条件求出x 、y 、z 的值，比较麻烦，考虑到x 2-z 2是由x+z和x-z 的积得来的，所以只要求出x-z 的值即可。

解：因为x-y=2，y-z=2，将两式相加得x-z=4，所以x 2-z 2=（x+z）(x-z)=14×4=56。

例6：判断（2+1）（22+1）（24+1）……（22048+1）+1的个位数字是几？

〖解析〗此题直接计算是不可能计算出一个数字的答案，故有一定的规律可循。观察到1=（2-1）和上式可构成循环平方差。

解：（2+1）（22+1）（24+1）……（22048+1）+1 =（2-1）（22+1）（24+1）……（22048+1）+1

4096

=2 =161024

因为当一个数的个位数字是6的时候，这个数的任意正整数幂的个位数字都是6，所以上式的个位数字必为6。

例7．运用公式简便计算

（1）1032 （2）1982 解：（1）1032=(100+3)2 =1002+2⨯100⨯3+32 =10000+600+9 =10609 （2）1982=(200-2)2 =2002-2⨯200⨯2+22 =40000-800+4 =39204

例8．计算

（1）(a +4b -3c )(a -4b -3c ) （2）(3x +y -2)(3x -y +2) 解：（1）原式=[(a -3c )+4b ][(a -3c )-4b ]=(a -3c )2-(4b )2=a 2-6ac +9c 2-16b 2 （2）原式=[3x +(y -2)][3x -(y -2)]=9x 2-( y2-4y +4)=9x 2-y 2+4y -4

例9．解下列各式

（1）已知a 2+b 2=13，ab =6，求(a +b )2，(a -b )2的值。 （2）已知(a +b )2=7，(a -b )2=4，求a 2+b 2，ab 的值。

a 2+b 2

（3）已知a (a -1)-(a -b )=2，求-ab 的值。

2

11

（4）已知x -=3，求x 4+4的值。

x x

2

分析：在公式(a +b )2=a 2+b 2+2ab 中，如果把a +b ，a 2+b 2和ab 分别看作是一个整体，

则公式中有三个未知数，知道了两个就可以求出第三个。 解：（1）∵a 2+b 2=13，ab =6

∴(a +b )2=a 2+b 2+2ab =13+2⨯6=25 (a -b )2=a 2+b 2-2ab =13-2⨯6=1 （2）∵(a +b )2=7，(a -b )2=4

∴ a2+2ab +b 2=7 ① a 2-2ab +b 2=4 ② ①+②得 2(a 2+b 2)=11，即a 2+b 2= ①-②得 4ab =3，即ab =

（3）由a (a -1)-(a 2-b )=2 得a -b =-2

2

11 2

34

a 2+b 211122

∴-ab =(a 2+b 2-2ab )=(a -b )=⨯(-2)=2

2222

1⎫11122

x -=9 （4）由x -=3，得⎛ 即 x +-2=9∴x +=11 ⎪

x ⎭x x 2x 2⎝1⎫11244

∴⎛ x +2⎪=121 即x +4+2=121 x +4=119 x ⎭x x ⎝

2

2

例10．四个连续自然数的乘积加上1，一定是平方数吗？为什么？ 分析：由于1⨯2⨯3⨯4+1=25=52

2⨯3⨯4⨯5+1=121=112 3⨯4⨯5⨯6+1=361=192

…… 得猜想：任意四个连续自然数的乘积加上1，都是平方数。 解：设n ，n +1，n +2，n +3是四个连续自然数

则n (n +1)(n +2)(n +3)+1 =[n (n +3)][(n +1)(n +2)]+1 =(n 2+3n )2+2(n 2+3n )+1

=(n 2+3n )(n 2+3n +2)+1 =(n 2+3n +1)2

∵n 是整数，∴ n2，3n 都是整数 ∴ n2+3n +1一定是整数

∴(n 2+3n +1)是一个平方数 ∴四个连续整数的积与1的和必是一个完全平方数。

例11．计算 （1）(x 2-x +1)2 （2）(3m +n -p )2 解：（1）(x 2-x +1)2=(x 2)2+(-x )2+12+2⋅ x2⋅(-x )+2⋅x 2⋅1+2⋅(-x )⋅1=x 4+x 2+1-2x 3+2x 2-2x

=x 4-2x 3+3x 2-2x +1

（2）(3m +n -p )2=(3m )2+n 2+(-p )2+2⋅3m ⋅n +2⋅3m ⋅(-p )+2⋅n ⋅(-p )=9m 2+n 2+p 2+6mn -6mp -2np 分析：两数和的平方的推广

(a +b +c )2 =[(a +b )+c ]2 =(a +b )2+2(a +b )⋅c +c 2 =a 2+2ab +b 2+2ac +2bc +c 2 =a 2+b 2+c 2+2ab +2bc +2ac 即(a +b +c )2=a 2+b 2+c 2+2ab +2bc +2ac

几个数的和的平方，等于它们的平方和加上每两个数的积的2倍。

二、乘法公式的用法

(一) 、套用:这是最初的公式运用阶段，在这个环节中，应弄清乘法公式的来龙去脉，准确地掌握其特征，为辨认和运用公式打下基础，同时能提高学生的观察能力。

22442222

例1. 计算：5 解：原式= 5x -3y =25x -9y x +3y 5x -3y

()()

()()

2

2

(二) 、连用:连续使用同一公式或连用两个以上公式解题。

24例2. 计算：( 1-a a +1a +1a +1)()224解：原式= 1-a 1+a 1+a

()()

()()()=(1-a )(1+a )

4

4

8=1-a

3x +2y -5z +1-3x +2y -5z -1例3. 计算：( )()

2y -5z +3x +12y -5z -3x +1解：原式= ()()()()[][]

3

=2y -5z 3x +1()-()

2

2

2

22

=4y -9x +25z -20y z -6x -1

三、逆用:学习公式不能只会正向运用，有时还需要将公式左、右两边交换位置，

得出公式的逆向形式，并运用其解决问题。

例4. 计算：( 5ab +7-8c --5ab 7+8c )()

2

2

5a +7b -8c +5a -7b +8c 5a +7b -8c -5a -7b +8c 解：原式= ()()()()[][]

=10a 14b -16c ()

=140a b -160a c

四、变用: 题目变形后运用公式解题。

x +y -2z x +y +6z 例5. 计算：( )()

x +y +2z -+4z x y +2z +4z 解：原式= ()()[][]

=x +y +2z 4z ()-()

2

2

22

2

=x +y -12z +2x y +4x z +4y z

五、活用: 把公式本身适当变形后再用于解题。这里以完全平方公式为例，经过变形或重新组合，可得如下几个比较有用的派生公式：

1. (a +b )-2ab =a 2+b 22. (a -b )+2ab =a 2+b 23. (a +b )+(a -b )=2a +b

2

2

2

22

(

2

)

4. (a +b )-(a -b )=4ab

22

灵活运用这些公式，往往可以处理一些特殊的计算问题，培养综合运用知识的能力。

22例6. 已知a -b =4，ab =5，求a 的值。 +b

222

+b =a -b +24a b =+2⨯5=26解：a ()

2

例7. 计算：( a +b +c -+d b +c +d -a )()

22

2

b +c +a -d +b +c -a -d 解：原式= ()()()()[][]=2bc +ad -()+()

2222

=2a +2b +2c +2d +4b c -4a d

2

[

22

]

2例8. 已知实数x 、y 、z 满足xy ，那么x （ ） +2y +3z =+=5，z =x yy +-9

4

解：由两个完全平方公式得：ab =

2212

从而 z 5-x -y +-y 9()

4

1

(a +b )2-(a -b )2 4

[]

[]

2512

-(5-2y )+y -944

=-y 2+6y -9

2

=-y -6y +9=

()

=-(y -3)

2

∴z 2+(y -3)=0∴z =0，y =3∴x =2

∴x +2y +3z =2+2⨯3+0=8

2

三、学习乘法公式应注意的问题

（一）、注意掌握公式的特征，认清公式中的“两数”． 例1 计算(-2x 2-5)(2x 2-5) 分析：本题两个因式中“-5”相同，“2x 2”符号相反，因而“-5”是公式(a +b )(a -b )=a 2-b 2中的a ，而“2x 2”则是公式中的b ．

解：原式=(-5-2x 2)(-5+2x 2)=(-5)2-(2x 2) 2=25-4x 4．

例2 计算(-a 2+4b ) 2

分析：运用公式(a +b ) 2=a 2+2ab +b 2时，“-a 2”就是公式中的a ，“4b ”就是公式中的b ；若将题目变形为(4b -a 2) 2时，则“4b ”是公式中的a ，而“a 2”就是公式中的b ．（解略）

（二）、注意为使用公式创造条件 例3 计算(2x +y -z +5)(2x -y +z +5)．

分析：粗看不能运用公式计算，但注意观察，两个因式中的“2x ”、“5”两项同号，“y ”、“z ”两项异号，因而，可运用添括号的技巧使原式变形为符合平方差公式的形式．

解：原式=„(2x +5)+(y -z ) ‟„(2x +5)-(y -z ) ‟ =(2x +5)2-(y -z ) 2

=4x 2+20x +25-y +2yz -z 2．

例4 计算(a -1) 2(a 2+a +1)2(a 6+a 3+1)2

分析：若先用完全平方公式展开，运算十分繁冗，但注意逆用幂的运算法则，则可利用乘法公式，使运算简便．

解：原式=[(a -1)(a 2+a +1)(a 6+a 3+1)]2 =[(a 3-1)(a 6+a 3+1)]2

92189

=(a -1) =a -2a +1

5

例5 计算(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)．

分析：此题乍看无公式可用，“硬乘”太繁，但若添上一项（2-1），则可运用公式，使问题化繁为简．

解：原式=(2-1)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1) =(22-1)(22+1)(24+1)(28+1) =(24-1)(24+1)(28+1) =（28-1）（28+1） =216-1

（三）、注意公式的推广

计算多项式的平方，由(a +b ) 2=a 2+2ab +b 2，可推广得到：

(a +b +c ) 2=a 2+b 2+c 2+2ab +2ac +2bc ．

可叙述为：多项式的平方，等于各项的平方和，加上每两项乘积的2倍． 例6 计算(2x +y -3) 2

解：原式=(2x ) 2+y 2+(-3)2+2〃2x 〃y +2〃2x (-3)+2〃y (-3) =4x 2+y 2+9+4xy -12x -6y ．

（四）、注意公式的变换，灵活运用变形公式 例7 (1)已知x +y =10，x 3+y 3=100，求x 2+y 2的值； (2)已知：x +2y =7，xy =6，求(x -2y ) 2的值．

分析：粗看似乎无从下手，但注意到乘法公式的下列变形：x 2+y 2=(x +y ) 2-2xy ，x 3+y 3=(x +y ) 3-3xy (x +y ) ，(x +y ) 2-(x -y ) 2=4xy ，问题则十分简单．

解：(1)∵x 3+y 3=(x +y ) 3-3xy (x +y ) ，将已知条件代入得100=103-3xy 〃10， ∴xy =30 故x 2+y 2=(x +y ) 2-2xy =102-2×30=40． (2)(x -2y ) 2=(x +2y ) 2-8xy =72-8×6=1．

例8 计算(a +b +c ) 2+(a +b -c ) 2+(a -b +c )+(b -a +c ) 2．

分析：直接展开，运算较繁，但注意到由和及差的完全平方公式可变换出(a +b ) 2+(a -b ) 2=2(a 2+b 2) ，因而问题容易解决．

解：原式=[(a +b )+c ]2+[(a +b )-c ]2+[c +(a -b )]2+[c -(a -b )]2 =2[(a +b ) 2+c 2]+2[c 2+(a -b ) 2] =2[(a +b ) 2+(a -b ) 2]+4c 2 =4a 2+4b 2+4c 2

（五）、注意乘法公式的逆运用 例9 计算(a -2b +3c ) 2-(a +2b -3c ) 2．

分析：若按完全平方公式展开，再相减，运算繁杂，但逆用平方差公式，则能使运算简便得多．

解：原式=[(a -2b +3c )+(a +2b -3c )][(a -2b +3c )-(a +2b -3c )] =2a (-4b +6c )=-8ab +12ac ．

例10 计算(2a +3b ) 2-2(2a +3b )(5b -4a )+(4a -5b ) 2

分析：此题可以利用乘法公式和多项式的乘法展开后计算，但逆用完全平方公式，则运算更为简便．

解：原式=(2a +3b ) 2+2(2a +3b )(4a -5b )+(4a -5b ) 2 =[(2a +3b )+(4a -5b )]2

=(6a -2b ) 2=36a 2-24ab +4b 2．

6

四、怎样熟练运用公式：

（一）、明确公式的结构特征

这是正确运用公式的前提，如平方差公式的结构特征是：符号左边是两个二项式相乘，且在这四项中有两项完全相同，另两项是互为相反数；等号右边是乘式中两项的平方差，且是相同项的平方减去相反项的平方．明确了公式的结构特征就能在各种情况下正确运用公式．

（二）、理解字母的广泛含义

乘法公式中的字母a 、b 可以是具体的数，也可以是单项式或多项式．理解了字母含义的广泛性，就能在更广泛的范围内正确运用公式．如计算（x +2y －3z ）2，若视x +2y 为公式中的a ，3z 为b ，则就可用（a －b ）2=a 2－2ab +b 2来解了。

（三）、熟悉常见的几种变化

有些题目往往与公式的标准形式不相一致或不能直接用公式计算，此时要根据公式特征，合理调整变化，使其满足公式特点．

常见的几种变化是：

1、位置变化 如（3x +5y ）（5y －3x ）交换3x 和5y 的位置后即可用平方差公式计算了．

2、符号变化 如（－2m －7n ）（2m －7n ）变为－（2m +7n ）（2m －7n ）后就可用平方差公式求解了（思考：不变或不这样变，可以吗？）

2

3、数字变化 如98×102，992，912等分别变为（100－2）（100+2），（100－1），（90+1）2

后就能够用乘法公式加以解答了．

4、系数变化 如（4m +n ）（2m －n ）变为2（2m +n ）（2m －n ）后即可用平方差公

2

4

4

4

式进行计算了．

5、项数变化 如（x +3y +2z ）（x －3y +6z ）变为（x +3y +4z －2z ）（x －3y +4z +2z ）后再适当分组就可以用乘法公式来解了．

（四）、注意公式的灵活运用

有些题目往往可用不同的公式来解，此时要选择最恰当的公式以使计算更简便．如计算（a 2+1）2〃（a 2－1）2，若分别展开后再相乘，则比较繁琐，若逆用积的乘方法则后再进一步计算，则非常简便．即原式=[（a 2+1）（a 2－1）]2=（a 4－1）2=a 8－2a 4+1．

对数学公式只会顺向（从左到右）运用是远远不够的，还要注意逆向（从右到左）运用．如计算（1－

122

）（1－

1

32

）（1－

1

42

）…（1－

192

）（1－

1

102

），若分别算出各因式

的值后再行相乘，不仅计算繁难，而且容易出错．若注意到各因式均为平方差的形式而

逆用平方差公式，则可巧解本题．

即原式=（1－

2

2

3

3

12

）（1+

910

10

12

）（1－

2

10

=1×3×2×4×…××11 =1×11=

1

）（1+13311

． 20

）×…×（1－

110

）（1+

1

10

）

有时有些问题不能直接用乘法公式解决，而要用到乘法公式的变式，乘法公式的变式主要有：a 2+b 2=（a +b ）2－2ab ，a 2+b 2=（a －b ）2+2ab 等．

用这些变式解有关问题常能收到事半功倍之效．

如已知m +n =7，mn =－18，求m 2+n 2，m 2－mn + n 2的值．

7

面对这样的问题就可用上述变式来解，

即m 2+n 2=（m +n ）2－2mn =72－2×（－18）=49+36=85， m 2－mn + n 2= （m +n ）2－3mn =72－3×（－18）=103．

下列各题，难不倒你吧？！ 1、若a +1=5，求（1）a 2+

a

1a 2

，（2）（a －1）2的值．

a

2、求（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1）（264+1）+1的末位数字．

（答案：1. （1）23；（2）21．2. 6 ）

五、乘法公式应用的五个层次

乘法公式：(a＋b)(a－b)=a2－b 2，(a±b)=a2±2ab ＋b 2，

(a±b)(a2±ab ＋b 2)=a3±b 3．

第一层次──正用

即根据所求式的特征，模仿公式进行直接、简单的套用． 例1计算

(2)(－2x －y)(2x－y) ．

(2)原式=[(－y) －2x][(－y) ＋2x]=y2－4x 2．

第二层次──逆用，即将这些公式反过来进行逆向使用． 例2计算

(1)19982－1998〃3994＋19972；

解(1)原式=19982－2〃1998〃1997＋19972 =(1998－1997) 2

=1

第三层次──活用 ：根据待求式的结构特征，探寻规律，连续反复使用乘法公式；有时根据需要创造条件，灵活应用公式．

8

例3化简：(2＋1)(22＋1)(24＋1)(28＋1) ＋1．

分析直接计算繁琐易错，注意到这四个因式很有规律，如果再增添一个因式“2－1”便可连续应用平方差公式，从而问题迎刃而解．

解原式=(2－1)(2＋1)(22＋1)(24＋1)(28＋1) ＋1

=(22－1)(22＋1)(24＋1)(28＋1) ＋1=216． 例4计算：(2x－3y －1)(－2x －3y ＋5)

分析仔细观察，易见两个因式的字母部分与平方差公式相近，但常数不符．于是可创造条件─“拆”数：－1=2－3，5=2＋3，使用公式巧解．

解原式=(2x－3y －3＋2)(－2x －3y ＋3＋2)

=[(2－3y) ＋(2x－3)][(2－3y) －(2x－3)] =(2－3y) 2－(2x－3) 2=9y2－4x 2＋12x －12y －5．

第四层次──变用 ：解某些问题时，若能熟练地掌握乘法公式的一些恒等变形式，如a ＋b 2=(a＋b) 2－2ab ，a 3＋b 3=(a＋b) 3－3ab(a＋b) 等，则求解十分简单、明快．

2

例5已知a ＋b=9，ab=14，求2a 2＋2b 2和a 3＋b 3的值．

解： ∵a ＋b=9，ab=14，∴2a 2＋2b 2=2[(a＋b) 2－2ab]=2(92－2〃14)=106，

a 3＋b 3=(a＋b) 3－3ab(a＋b)=93－3〃14〃9=351

第五层次──综合后用 ：将(a＋b) 2=a2＋2ab ＋b 2和(a－b) 2=a2－2ab ＋b 2综合， 可得 (a＋b) 2＋(a－b) 2=2(a2＋b 2) ；(a＋b) 2－(a－b) 2=4ab；

等，合理地利用这些公式处理某些问题显得新颖、简捷．

例6计算：(2x＋y －z ＋5)(2x－y ＋z ＋5) ． 解：原式=

11

[(2x+y-z+5)+(2x-y+z+5)]2-[(2x+y-z+5)-(2x-y+z+5)]2 44

=(2x＋5) 2－(y－z) 2=4x2＋20x ＋25－y 2＋2yz －z 2

六、正确认识和使用乘法公式

1、数形结合的数学思想认识乘法公式：

对于学习的两种（三个）乘法公式：平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b 2、完全平方公式：(a+b)2=a2+2ab+b2；(a-b)2=a2-2ab+b2，可以运用数形结合的数学思想方法来区分它们。假设a 、b 都是正数，那么可以用以下图形所示意的面积来认识乘法公式。

如图1，两个矩形的面积之和（即阴影部分的面积）为(a+b)(a-b)，通过左右两图

9

的对照，即可得到平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b 2；图2中的两个图阴影部分面积分别为(a+b)2与(a-b)2，通过面积的计算方法，即可得到两个完全平方公式：(a+b)2=a2+2ab+b2与(a-b)2=a2-2ab+b2。

2、乘法公式的使用技巧：

①提出负号：对于含负号较多的因式，通常先提出负号，以避免负号多带来的麻烦。 例1、 运用乘法公式计算：

（1）(-1+3x)(-1-3x)； （2）(-2m-1)2 解：（1）(-1+3x)(-1-3x)=[-(1-3x)][-(1+3x)]=(1-3x)(1+3x)=12-(3x)2=1-9x2. （2） (-2m-1)2=[-(2m+1)]2=(2m+1)2= 4m2+4m+1.

②改变顺序：运用交换律、结合律，调整因式或因式中各项的排列顺序，可以使公式的特征更加明显.

例2、 运用乘法公式计算：

111a

（1）(b -（2）(x-1/2)(x2+1/4)(x+1/2)

3443111a 1111

解：（1）(b )(-b+ b -a )

34434343

[1**********]2

=(b- b +a )=(- (a) = b - 434343169

(2) (x-1/2)(x2+1/4)(x+1/2)= (x-1/2) )(x+1/2)(x2+1/4)

=(x2-1/4) (x2+1/4)= x2-1/16.

③逆用公式

将幂的公式或者乘法公式加以逆用，比如逆用平方差公式，得a 2-b 2 = (a+b)(a-b)，

10

逆用积的乘方公式，得a n b n =(ab)n , 等等，在解题时常会收到事半功倍的效果。

例3、 计算：

（1）(x/2+5)2-(x/2-5)2 ; （2）(a-1/2)2(a2+1/4) 2(a+1/2)2

解：（1）(x/2+5)2-(x/2-5)2 =[(x/2+5)+(x/2-5)] [(x/2+5)-(x/2-5)]

=(x/2+5+x/2-5)( x/2+5-x/2+5)=x〃10=10x.

（2）(a-1/2)2(a2+1/4) 2(a+1/2)2

=[(a-1/2)(a2+1/4) (a+1/2)] 2 =[(a-1/2 ) (a+1/2) (a2+1/4)] 2

=[(a2-1/4 ) (a2+1/4)] 2 =(a4-1/16 ) 2 =a8-a 4/8+1/256.

④合理分组：对于只有符号不同的两个三项式相乘，一般先将完全相同的项调到各因式的前面，视为一组；符号相反的项放在后面，视为另一组；再依次用平方差公式与完全平方公式进行计算。

计算：（1）(x+y+1)(1-x-y); （2）(2x+y-z+5)(2x-y+z+5).

解：（1） (x+y+1)(1-x-y)=(1+x+y)(1-x-y)= [1+(x+y)][1-(x+y)]=12-(x+y)2

=1-(x2+2xy+y2)= 1-x2-2xy-y 2.

（2）(2x+y-z+5)(2x-y+z+5)=(2x+5+y-z)(2x+5-y+z)

=[ (2x+5)+(y-z)][(2x+5)-(y-z)]

= (2x+5)2-(y-z)2 =(4x2+20x+25)-(y2-2yz+z2)

= 4x2+20x+25-y2+2yz-z2 = 4x2-y 2-z 2+2yz +20x+25 .

七、巧用公式做整式乘法

整式乘法是初中数学的重要内容，是今后学习的基础，应用极为广泛。尤其多项式乘多项式，运算过程复杂，在解答中，要仔细观察，认真分析题目中各多项式的结构特征，将其适当变化，找出规律，用乘法公式将其展开，运算就显得简便易行。

一. 先分组，再用公式

例1. 计算：( a -b +c -d ) (-a -b -c -d )

简析：本题若以多项式乘多项式的方法展开，则显得非常繁杂。通过观察，将整式

；将另一个整式(a -+-b c d ) 运用加法交换律和结合律变形为(-bd -) +(ac +)

，则从其中找出了特点，从而利用平方差公式即-bd -) -(ac +) (-a -b -c -d ) 变形为(

可将其展开。

(-b -d ) +(a +c ) -b -d -a +c 解：原式= ()()[][]

二. 先提公因式，再用公式

y ⎫⎛y ⎫⎛ 例2. 计算： 8x ⎪ 4x ⎪ ⎝2⎭⎝4⎭

简析：通过观察、比较，不难发现，两个多项式中的x 的系数成倍数，y 的系数也成倍数，而且存在相同的倍数关系，若将第一个多项式中各项提公因数2出来，变为

y ⎫⎛2 4x +⎪，则可利用乘法公式。 ⎝4⎭22=(-b -d ) -(a +c ) 222 =b +2b d +d -a -2a c -c 2

11

y y ⎛⎫⎛⎫ 解：原式=24x 4x ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭44

2⎡2⎛y ⎫⎤=2⎢(4x )- ⎪⎥⎝4⎭⎦⎢⎥ ⎣

y 2

2=32x -8

三. 先分项，再用公式

例3. 计算：( 2xy +3+22xy -3+6)()

简析：两个多项中似乎没多大联系，但先从相同未知数的系数着手观察，不难发现，x 的系数相同，y 的系数互为相反数，符合乘法公式。进而分析如何将常数进行变化。若将2分解成4与-2的和，将6分解成4与2的和，再分组，则可应用公式展开。

(2x +4) -(2-3y ) 2x +4+2-3y 解：原式=[ ()()][]

四. 先整体展开，再用公式

例4. 计算：( a +2b ) (a -2b +1)

简析：乍看两个多项式无联系，但把第二个整式分成两部分，即[，再(a -2b ) +1]将第一个整式与之相乘，利用平方差公式即可展开。

(a +2b ) (a -+2b ) 1 解：原式= []

=(a +2b ) (a -2b ) +(a +2b ) 22=a -4b ++a 2b

五. 先补项，再用公式

842 例5. 计算：3 ++(31) (3+1) (3+1) (3+1)

简析：由观察整式(3+1) ，不难发现，若先补上一项(3-1) ，则可满足平方差公式。多次利用平方差公式逐步展开，使运算变得简便易行。

842(31+) (31+) (31+) (3+1) (3-1) 解：原式= 2

(38+1)(34+1)(32+1)(32-1) =3+2

(38+1)(34+1)(34-1) =3+2

(38+1)(38-1) =3+ 2

(316-1) =3+2

5316

=+22

六. 先用公式，再展开

12 2=(2x +4) -2-3y ()222 =4x +16x +12+12y -9y

⎛1⎫⎛1⎫⎛1⎫⎛1⎫ 例6. 计算： ⎪ ⎪ ⎪ ⎪2222⎝2⎭⎝3⎭⎝4⎭⎝1⎭0

⎡2⎛1⎫2⎤1⎫⎛ 简析：第一个整式 1-2⎪可表示为⎢1- ⎪⎥，由简单的变化，可看出整式符合⎝2⎭⎥⎝2⎭⎢⎣⎦

平方差公式，其它因式类似变化，进一步变换成分数的积，化简即可。

⎛1⎫⎛1⎫⎛1⎫⎛1⎫⎛1⎫⎛1⎫⎛1⎫⎛1⎫ 解：原式 ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎝2⎭⎝2⎭⎝3⎭⎝3⎭⎝4⎭⎝4⎭⎝1⎭⎝1⎭00

[1**********] [1**********]0

七. 乘法公式交替用

2222 例7. 计算：( x +-z ) (xx 2z +-+z ) (x z ) (xx 2z +z )

简析：利用乘法交换律，把第一个整式和第四个整式结合在一起，把第二个整式与第三个整式结合，则可利用乘法公式展开。

2222 解：原式= ()x +z (x +2x z +z ) (x -2x z +z ) ()x -z [][

= (x +z ) (x +z ) (x -z ) (x -z ) [][]22]

=(x +z ) 3(x -z ) 3

=[(x +z )(x -z ) ]

=(x -z ) 2233

=x 6-3x 4z 2+3x 2z 4-z 6

八、中考与乘法公式

1. 结论开放

例1. （02年济南中考）请你观察图1中的图形，依据图形面积的关系，不需要添加辅助线，便可得到一个你非常熟悉的公式，这个公式是______________。

22x +y x -y =-x y 分析：利用面积公式即可列出( )()

2222-=y x +y x -y xy -x -2x yy +或x 或( ()())=2

在上述公式中任意选一个即可。

例2. （03年陕西中考）

13

如图2，在长为a 的正方形中挖掉一个边长为b 的小正方形（a >b ），把余下的部分剪成一个矩形，如图3，通过计算两个图形的面积，验证了一个等式，则这个等式是______________。

2222a +b a -ba =-b -=+b (a b a -b 分析：利用面积公式即可列出(或a )())()

2. 条件开放

例3. （03年四川中考）多项式9x 2+1加上一个单项式后，使它能成为一个整式的完全平方，则加上的单项式可以是____________（填上你认为正确的一个即可，不必考虑所有的可能情况）。

分析：解答时，可能习惯于按课本上的完全平方公式，得出

229x +1+6x =3x +1x +1-6x =3x -1() 或9()只要再动点脑筋，还会得出 22

81⎛9⎫9x 2+1+x 4= x 2+1⎪⎝2⎭ 4

9x 2+1-1=(3x )22

222 故所加的单项式可以是±9x +1-9x =16x ，或814x ，或-1，或-9x 2等。 4

3. 找规律

例4. （01年武汉中考） 观察下列各式：

(x -1)(x +1)=x 2-1

(x -1)(x 2+x +1)=x 3-1 (x -1)(x 3+x 2+x +1)=x 4-1

……

n n -1n -2由猜想到的规律可得(____________。 x -1x +x +x +…+x +1=)

n n -1n -2n +1分析：由已知等式观察可知 () x -1x +x +x +…+x +1=x -1()()

4. 推导新公式

2a +1a +2a +1例5. 在公式(中，当a 分别取1，2，3，……，n 时，可得下列)=2

n 个等式

14

(1+1)2=12+2⨯1+1

(2+1)2=22+2⨯2+1 22(3+1)=3+2⨯3+1

……

=n 2+2n +1(n +1)2

将这n 个等式的左右两边分别相加，可推导出求和公式：

12+++3…+=n __________（用含n 的代数式表示）

分析：观察已知等式可知，后一个等式的右边第一项等于前一个等式的左边，将已知等式左右两边分别相加，得：

22 移项，整理得： n +1=1+2⨯1+2⨯2+…+2⨯n +n ()

1123+++…n n n +1 ()2

例6. （04年临汾中考）阅读材料并解答问题：我们已经知道，完全平方公式可以用平面几何图形的面积来表示，实际上还有一些等式也可以用这种形式表示，例如：

222a ++b a baa =+23b +b 就可以用图4或图5等图表示。

()()

（1）请写出图6中所表示的代数恒等式____________；

（2）试画出一个几何图形，使它的面积能表示：

22a ++b a 3b =aa +43b +b ()()

（3）请仿照上述方法另写一个含有a ，b 的代数恒等式，并画出与之对应的几何图形。

222a +b 2b +aab =225++a b 解：（1）( )()

（2）如图7

15

（3）略 16