小升初数学常考专项课件
刘sir 刘
第一讲 小升初专项训练 计算篇
一、小升初考试热点及命题方向
计算是小学数学的基础，近几年的试卷又以考察分数的计算和巧算为明显趋势（分值大体在6分～15分），学生应针对两方面强化练习：一 分数小数混合计算；二 分数的化简和简便运算；
二、考试常用公式
以下是总结的大家需要了解和掌握的常识，曾经在重要考试中用到过。 1．基本公式：1+2+3 n =2、1+2+ +n =
2
2
2
n (n +1)
2
n (n +1)(2n +1)
6
[讲解练习]：1⨯2+2⨯3+ +19⨯20
a n =n (n +1)=n 2+n ∴原式=1+2+ +19
3、1+2+ +n =(1+2+ n )
3
3
3
2
(
222
)+(1+2+ 19)
2
n 2(n +1) =
4
4、abcabc =abc ⨯1001=abc ⨯7⨯11⨯13
⇒如：77⨯78=7⨯11⨯13⨯6=1001⨯6=6006
[讲解练习]：2007×20062006-2006×20072007=____.
5、a 2-b 2=(a +b )(a -b )
[讲解练习]：8-7+6-5+4-3+2-1____. 6、
2
2
2
2
2
2
2
2
1 42857 . 285714 „„ 2=0=0. 177
1
化成小数后，小数点后面第2007位上的数字为____。 7
n
化成小数后，小数点后若干位数字和为1992，问n=____。 7
2
[讲解练习]：
7、1+2+3+4„（n-1）+n+（n-1）+„4+3+2+1=n
1 8、11⨯11=121 111⨯111=12321 111111=1234565432
2
-1-
9、12345679⨯9=111111111
[讲解练习]：12345679⨯450=12345679⨯9⨯50=111111111⨯50=5555555550
四、典型例题解析
1 分数，小数的混合计算
【例1】（7518－61115）÷［21415＋（4－21415
）÷1.35］
195+39【例2】
910-5. 22÷(1993⨯0. 41995⨯0. 5+1. 61995) 1959-62750
+5. 22 2 庞大数字的四则运算
【例3】19+199+1999+„„+199
9=_________。 1999个9
【例4】74480÷21934÷[***********]55
＝＿＿＿＿＿
-2-
3 庞大算式的四则运算（拆分和裂项的技巧）
【例5】1+2 【例6】 【例7】 4
121+31+41+ +201 61220420
365791113++++++ [1**********]
23456++++ 1⨯33⨯66⨯1010⨯1515⨯21
繁分数的化简
【例8】已知
11+2+
1x +4
=
8
，那么x=_________. 11
5 换元法的运用 【例9】
1⎫⎛111⎫⎛111⎫⎛111⎫⎛11
1+++ +⨯++ +-1+++ +⨯++ + ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
1999⎭⎝232000⎭⎝232000⎭⎝231999⎭⎝23
-3-
6 其他常考题型
【例10】小刚进行加法珠算练习，用1＋2＋3＋„„，当数到某个数时，和是1000。在验算时发现重复加了一个数，这个数是＿＿＿。
【拓展】小明把自己的书页码相加，从1开始加到最后一页，总共为1050，不过他发现他重复加了一页，请问是＿＿＿页。
作业题
3621、3÷15+323⨯[1**********]⨯(5. 6-42、39×＋148×＋48×5)
149149149
3、 ⎛621⎝126+739358+458⎫⎛739947⎪⎭⨯ ⎝358+458947+378⎫⎛[1**********]8⎫⎛739458⎫
207⎪⎭- ⎝126+358+947+207⎪⎭⨯ ⎝358+947⎪⎭
4、有一串数[**************]
4
、
它的前1996个数的和是多少？
5、将右式写成分数
1
2+
12+
12+
12
-4-
第二讲 小升初专项训练 几何篇（一）
一、小升初考试热点及命题方向
几何问题是小升初考试的重要内容，分值一般在12-14分（包含1道大题和2道左右的小题）。尤其重要的就是平面图形中的面积计算，几何从内容方面，可以简单的分为直线形面积（三角形四边形为主），圆的面积以及二者的综合。其中直线形面积近年来考的比较多，值得我们重点学习。从解题方法上来看，有割补法，代数法等，有的题目还会用到有关包含与排除的知识。
二、典型例题解析
1 等积变换在三角形中的运用
首先我们来讨论一下和三角形面积有关的问题，大家都知道，三角形的面积=1/2×底×高 因此我们有
【结论1】等底的三角形面积之比等于对应高的比 【结论2】等高的三角形面积之比等于对应底的比
【例1】如图，四边形ABCD 中，AC 和BD 相交于O 点，三角形ADO 的面积=5，三角形DOC 的面积=4，三角形AOB 的面积=15，求三角形BOC 的面积是多少？
【例2】将下图中的三角形纸片沿虚线折叠得到右图，其中的粗实线图形面积与原三角形面积之比为2:3。已知右图中3个阴影的三角形面积之和为1，那么重叠部分的面积为多少？
-5-
燕尾定理在三角形中的运用 下面我们再介绍一个非常有用的结论: 【燕尾定理】:
在三角形ABC 中，AD,BE,CF 相交于同一点O, 那么S △ABO:S△
ACO=BD:DC
【例3】在△ABC 中
BD AE OB
=2:1, =1:3，求=?
EC OE DC
2 差不变原理的运用 【例4】左下图所示的
ABCD 的边BC 长10cm ，直角三角形BCE 的直角边EC 长8cm ，已知两
2
块阴影部分的面积和比△EFG的面积大10cm ，求CF 的长。
【例5】如图, 已知圆的直径为20,S1-S2=12,求BD 的长度
?
-6-
3 利用“中间桥梁”联系两块图形的面积关系
【例6】如图，正方形ABCD 的边长是4厘米，CG=3厘米，矩形DEFG 的长DG 为5厘米，求它的宽DE 等于多少厘米？
【例7】如下图所示，四边形ABCD 与DEFG 都是平行四边形，证明它们的面积相等。
4 其他常考题型
【例8】用同样大小的22个小纸片摆成下图所示的图形，已知小纸片的长是18厘米，求图中阴影部分的面积和。
拓展提高：下图中，五角星的五个顶角的度数和是多少？
-7-
作业题
1、如右图所示，已知三角形ABC 面积为1，延长AB 至D ，使BD=AB；延长BC 至E ，使CE=2BC；延长CA 至F ，使AF=3AC，求三角形DEF 的面积。
2、如图，在三角形ABC 中，，D 为BC 的中点，E 为AB 上的一点，且BE=的面积是35，求三角形ABC 的面积.
3、右图是一块长方形耕地，它由四个小长方形拼合而成，其中三个小长方形的面积分别为15、18、30公顷，问图中阴影部分的面积是多少？
4、图中AB=3厘米，CD=12厘米，ED=8厘米，AF=7厘米. 四边形ABDE 的面积是多少平方厘米．
5、三角形ABC 中，C 是直角，已知AC ＝2，CD ＝2,CB=3,AM=BM，那么三角形AMN （阴影部分）的面积为多少？
1
AB, 已知四边形EDCA 3
-8-
第三讲 小升初专项训练 几何篇（二）
一、小升初考试热点及命题方向
圆和立体几何近两年虽然不是考试热点，但在小升初考试中也会时常露面。因为立体图形考察学生的空间想象能力，可以反映学生的本身潜能；而另一方面，初中很多知识点都是建立在空间问题上，所以可以说学校考察立体也是为初中选拔知识链接性好的学生。
二、典型例题解析
1 与圆和扇形有关的题型
【例1】如下图，等腰直角三角形ABC 的腰为10厘米；以A 为圆心，EF 为圆弧，组成扇形AEF ；阴影部分甲与乙的面积相等。求扇形所在的圆面积。
【例2】草场上有一个长20米、宽10米的关闭着的羊圈，在羊圈的一角用长30米的绳子拴着一只羊（见左下图）。问：这只羊能够活动的范围有多大？
【例3】如图，ABCD 是正方形，且FA=AD=DE=1，求阴影部分的面积。（取π＝3）
-9-
与立体几何有关的题型
小学阶段，我们除了学习平面图形外，还认识了一些简单的立体图形，如长方体、正方体（立方体）、直圆柱体，直圆锥体、球体等，并且知道了它们的体积、表面积的计算公式，归纳如下。见下图。
2 求不规则立体图形的表面积与体积
【例4】用棱长是1厘米的正方块拼成如下图所示的立体图形，问该图形的表面积是多少平方厘米？
【例5】如图是一个边长为2厘米的正方体。在正方体的上面的正中向下挖一个边长为1厘米的正方体小洞；接着在小洞的底面正中再向下挖一个边长为1/2厘米的小洞；第三个小洞的挖法与前两个相同，边长为1/4厘米。那么最后得到的立体图形的表面积是多少平方厘米？
-10-
3 水位问题
【例6】一个酒精瓶，它的瓶身呈圆柱形（不包括瓶颈），如下图．已知它的容积为26.4π立方厘米．当瓶子正放时，瓶内的酒精的液面高为6厘米．瓶子倒放时，空余部分的高为2厘米．问：瓶内酒精的体积是多少立方厘米？合多少升？
【例7】一个高为30厘米，底面为边长是10厘米的正方形的长方体水桶，其中装有
1
容积的2
水，现在向桶中投入边长为2厘米⨯2厘米⨯3厘米的长方体石块，问需要投入多少块这种石块才能使水面恰与桶高相齐？
4 计数问题
【例8】右图是由22个小正方体组成的立体图形，其中共有多少个大大小小的正方体？由两个小正方体组成的长方体有多少个？
拓展提高：有甲、乙、丙3种大小的正方体，棱长比是1：2：3。如果用这三种正方体拼成尽量小的一个正方体，且每种都至少用一个，则最少需要这三种正方体共多少？
-11-
作业题
1、右上图中每个小圆的半径是1厘米，阴影部分的周长是_______厘米. （ ＝3.14）
2、求下图中阴影部分的面积：
3、如右图，将直径AB 为3的半圆绕A 逆时针旋转60°，此时AB 到达AC 的位置，求阴影部分的面积（取π=3）.
4、有一个正方体，边长是5. 如果它的左上方截去一个边长分别是5、3、2的长方体（如下图），求它的表面积减少的百分比是多少？
5、如下图，在棱长为3的正方体中由上到下，由左到右，由前到后，有三个底面积是1的正
方形高为3的长方体的洞，求所得形体的表面积是多少？
-12-
第四讲 小升初专项训练 行程篇（一）
一、小升初考试热点及命题方向
行程问题是历年小升初的考试重点，各学校都把行程当压轴题处理，可见学校对行程的重视程度，由于行程题本身题干就很长，模型多样，变化众多，所以对学生来说处理起来很头疼，而这也是学校考察的重点，这可以充分体现学生对题目的分析能力。
二、基本公式
【基本公式】：路程＝速度×时间 【基本类型】
相遇问题：速度和×相遇时间＝相遇路程； 追及问题：速度差×追及时间＝路程差；
流水问题：关键是抓住水速对追及和相遇的时间不产生影响； 顺水速度＝船速＋水速 逆水速度＝船速－水速
静水速度＝（顺水速度＋逆水速度）÷2 水速＝（顺水速度－逆水速度）÷2 （也就是顺水速度、逆水速度、船速、水速4个量中只要有2个就可求另外2个） 其他问题：利用相应知识解决，比如和差分倍和盈亏； 【复杂的行程】 1、多次相遇问题； 2、环形行程问题；
3、运用比例、方程等解复杂的题；
三、典型例题解析
1 典型的相遇问题
【例1】甲、乙两人沿400米环形跑道练习跑步，两人同时从跑道的同一地点向相反方向跑去。相遇后甲比原来速度增加2米／秒，乙比原来速度减少2米／秒，结果都用24秒同时回到原地。求甲原来的速度。
-13-
【例2】小红和小强同时从家里出发相向而行。小红每分走52米，小强每分走70米，二人在途中的A 处相遇。若小红提前4分出发，且速度不变，小强每分走90米，则两人仍在A 处相遇。小红和小强两人的家相距多少米？
【例3】甲、乙两车分别从A 、B 两地同时出发相向而行，6小时后相遇在C 点。如果甲车速度不变，乙车每小时多行5千米，且两车还从A 、B 两地同时出发相向而行，则相遇地点距C 点12千米，如果乙车速度不变，甲车每小时多行5千米，且两车还从A 、B 两地同时出发相
向而行，则相遇地点距C 点16千米。甲车原来每小时向多少千米？
2 典型的追及问题
【例4】在400米的环行跑道上，A ，B 两点相距100米。甲、乙两人分别从A ，B 两点同时出发，按逆时针方向跑步。甲甲每秒跑5米，乙每秒跑4米，每人每跑100米，都要停10秒钟。那么甲追上乙需要时间是多少秒？
3 多次折返的行程问题
【例5】甲、乙两人同时从山脚开始爬山，到达山顶后就立即下山，他们两人的下山速度都是各自上山速度的1.5倍，而且甲比乙速度快。两人出发后1小时，甲与乙在离山顶600米处相遇，当乙到达山顶时，甲恰好到半山腰。那么甲回到出发点共用多少小时？
-14-
4 流水行船问题
关键是抓住水速对追及和相遇的时间不产生影响； 顺水速度＝船速＋水速 逆水速度＝船速－水速
静水速度＝（顺水速度＋逆水速度）÷2 水速＝（顺水速度－逆水速度）÷2 必须熟练运用：水速顺度、逆水速度、船速、水速4个量中只要有2个量求另外2个量 公式推导：
【例6】一艘轮船顺流航行120千米，逆流航行80千米共用16时；顺流航行60千米，逆流航行120千米也用16时。求水流的速度。
【例7】某河有相距45千米的上下两港，每天定时有甲乙两船速相同的客轮分别从两港同时出发相向而行，这天甲船从上港出发掉下一物，此物浮于水面顺水漂下，4分钟后与甲船相距1千米，预计乙船出发后几小时可与此物相遇。
【例8】一只小船从甲地到乙地往返一次共用2时，回来时顺水，比去时每时多行驶8千米，因此第2时比第1时多行驶6千米。求甲、乙两地的距离。
-15-
作业题
1、在环形跑道上，两人都按顺时针方向跑时，每12分钟相遇一次，如果两人速度不变，其中一人改成按逆时针方向跑，每隔4分钟相遇一次, 问两人各跑一圈需要几分钟？
2、甲、乙、丙三人行路，甲每分钟走60米，乙每分钟走67.5米，丙每分钟走75米，甲乙从东镇去西镇，丙从西镇去东镇，三人同时出发，丙与乙相遇后，又经过2分钟与甲相遇，求东西两镇间的路程有多少米？
3、甲、乙同时从 A， B两地相向走来。甲每时走 5千米，两人相遇后，乙再走10千米到A 地，甲再走1.6时到B 地。乙每时走多少千米？ 4千米。
4、甲、乙两车同时从A ，B 两地相向而行，它们相遇时距A ，B 两地中心处8千米，已知甲车速度是乙车的1.2倍，求A ，B 两地的距离。
5、客车和货车同时从甲、乙两城之间的中点向相反的方向相反的方向行驶，3小时后，客车到达甲城，货车离乙城还有30千米．已知货车的速度是客车的
3
，甲、乙两城相距多少千米？ 4
-16-
第五讲 小升初专项训练 行程篇（二）
一、小升初考试热点及命题方向
多次相遇的行程问题是近两年来各个重点中学非常喜爱的出题角度，这类题型往往需要学生结合六年级所学习的比例知识和分数百分数来分析题干条件，考查内容较为全面。
二、基本公式
【基本公式】：路程＝速度×时间 【基本类型】
相遇问题：速度和×相遇时间＝相遇路程； 追及问题：速度差×追及时间＝路程差；
流水问题：关键是抓住水速对追及和相遇的时间不产生影响； 顺水速度＝船速＋水速 逆水速度＝船速－水速
静水速度＝（顺水速度＋逆水速度）÷2 水速＝（顺水速度－逆水速度）÷2 （也就是顺水速度、逆水速度、船速、水速4个量中只要有2个就可求另外2个） 其他问题：利用相应知识解决，比如和差分倍和盈亏； 【复杂的行程】 1、多次相遇问题； 2、环形行程问题；
3、运用比例、方程等解复杂的题； 三、典型例题解析
1 直线型的多次相遇问题
如果甲乙从A ，B 两点出发，甲乙第n 次迎面相遇时，路程和为全长的2n-1倍，而此时甲走的路程也是第一次相遇时甲走的路程的2n-1倍（乙也是如此）。
-17-
【例1】湖中有A ，B 两岛，甲、乙二人都要在两岛间游一个来回。两人分别从A ，B 两岛同时出发，他们第一次相遇时距A 岛700米，第二次相遇时距B 岛400米。问：两岛相距多远？
2
【例2】甲、乙二人分别从A 、B 两地同时相向而行，乙的速度是甲的3, 二人相遇后继续行进，
甲到B 地、乙到A 地后立即返回。已知二人第二次相遇的地点距第一次相遇的地点是20千米，那么，A 、B 两地相距＿＿＿千米。
2 环形跑道的多次相遇问题
【例3】在一圆形跑道上，甲从A 点、乙从B 点同时出发反向而行，6分后两人相遇，再过4分甲到达B 点，又过8分两人再次相遇。甲、乙环行一周各需要多少分？ 。
【例4】右图中，外圆周长40厘米，画阴影部分是个“逗号”，两只蚂蚁分别从A ，B 同时爬行。甲蚂蚁从A 出发，沿“逗号”四周顺时针爬行，每秒爬3厘米；乙蚂蚁从B 出发，沿外圆圆周顺时针爬行，每秒爬行5厘米。两只蚂蚁第一次相遇时，乙蚂蚁共爬行了多少米？
-18-
3 与分数百分数相结合的行程问题
【例5】一辆车从甲地开往乙地。如果车速提高20%，可以比原定时间提前一小时到达；如果以原速行驶120千米后，再将车速提高25%，则可以提前40分钟到达。那么甲乙两地相距多
少千米？
【例6】学校组织春游，同学们下午一点出发，走了一段平坦的路，爬了一座山，然后按原路返回，下午七点回到学校。已知他们的步行速度平地为4千米／时，上山为3千米／时，下山为6千米／时。问：他们一共走了多少路？
作业题
1、客车和货车同时从甲、乙两地相向开出，客车行完全程需10时，货车行完全程需15时。两车在中途相遇后，客车又行了90千米，这时客车行完了全程的80％，求甲、乙两地的距离。
2、甲、乙两车分别从A 、B 两地出发，相向而行。出发时，甲、乙的速度比是5：4，相遇后，甲的速度减少20%，乙的速度增加20%，这样，当甲到达B 地时，乙离A 地还有10千米。那么A 、B 两地相距多少千米？
-19-
3、一位少年短跑选手，顺风跑90米用了10秒钟，在同样的风速下，逆风跑70米，也用了10秒钟。问：在无风的时候，他跑100米要用多少秒？
4、甲、乙两人同时从山脚开始爬山，到达山顶后就立即下山。他们两人下山的速度都是各自上山速度的2倍。甲到山顶时，乙距山顶还有400米；甲回到山脚时，乙刚好下到半山腰。求从山脚到山顶的距离。
5、甲，乙两人在一条长100米的直路上来回跑步，甲的速度3米/秒，乙的速度2米/秒。如果他们同时分别从直路的两端出发，当他们跑了10分钟后，共相遇多少次？
6、如图，ABCD 是一个边长为6米的模拟跑道，甲玩具车从A 出发顺时针行进，速度是每秒5厘米，乙玩具车从CD 的中点出发逆时针行进，结果两车第二次相遇恰好是在B 点，求乙车每秒走多少厘米?
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第六讲 小升初专项训练 找规律篇
一、小升初考试热点及命题方向
找规律问题在小升初考试中几乎每年必考，但考题的分值较低，多以填空题型是出现。在刚刚结束的14年小升初选拔考试中，一八、经纬、郑州中学偶有考察。
二、典型例题解析
1 与周期相关的找规律问题 【例1】n
7
化小数后，小数点后若干位数字和为1992，求n 为多少？
【例2】、观察下列算式：
31=3, 32=9, 33=27, 34=81,
35
=243, 36
=729, 37
=2187, 38
=6561,
„„
用你所发现的规律写出32004的末位数字是__________。
2 图表中的找规律问题
【例3】自然数如下表的规则排列：
求：（1）上起第10行，左起第13列的数；
（2）数127应排在上起第几行，左起第几列？
-21-
【例3】下面是A , B , C 三行按不同规律排列的, 那么当A =32时, B +C =______.
【例4】用同样规格的黑白两种颜色的正方形瓷砖按下图方式铺地板，则第（3）个图形中有黑色瓷砖 块，第个图形中需要黑色瓷砖 块（用含n 的代数式表示）.
3 较复杂的数列找规律
【例5】下面两个多位数1248624„„、6248624„„，都是按照如下方法得到的：将第一位
数字乘以2，若积为一位数，将其写在第2位上，若积为两位数，则将其个位数字写在第2位。对第2位数字再进行如上操作得到第3位数字„„，后面的每一位数字都是由前一位数字进行如上操作得到的。当第1位数字是3时，仍按如上操作得到一个多位数，则这个多位数前100位的所有数字之和是多少？
【例6】数学家泽林斯基在一次国际性的数学会议上提出树生长的问题：如果一棵树苗在一
年以后长出一条新枝，然后休息一年。再在下一年又长出一条新枝，并且每一条树枝都按照这个规律长出新枝。那么，第1年它只有主干，第2年有两枝，问15年后这棵树有多少分枝（假设没有任何死亡）？
-22-
【例7】把棱长为a 的正方体摆成如图的形状，从上向下数，第一层1个，第二层3个„„
按这种规律摆放，第五层的正方体的个数是
【例8】下面是按规律列的三角形数阵: 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 „„„„„„
那么第1999行中左起第三个数是______.
[**************]12
, , , , , , , , , , , ..... , , ,......, 其中的第2000【例9】一串分数：,
33, [**************]11
个分数是 .
拓展提升：小明每分钟吹-次肥皂泡，每次恰好吹出100个. 肥皂泡吹出之后，经过1分钟有-半破了，经过2分钟还有20没有破，经过2分半钟全部肥皂泡都破了·小明在第20次吹出100
个新的肥皂泡的时候，没有破的肥皂泡共有 个.
-23-
作业题
1、有一堆火柴共 10根，如果规定每次取 1～3根，那么取完这堆火柴共有多少种不同取法？
2、已知一串有规律的数：1，2/3，5/8，13/21，34/55，„。那么，在这串数中，从左往右数，第10个数是________。
3、用黑白两种颜色的正方形纸片，按黑色纸片数逐渐加1的规律拼成一列图案：
第1个第2个第3个
（1）第4个图案中有白色纸片 张；（2）第n 个图案中有白色纸片 张.
4、如图所示, 在正六边形A 周围画出6个同样的正六边形(阴影部分), 围成第1圈; 在第1圈外面再画出12个同样的正六边形, 围成第2圈; „„. 按这个方法继续画下去, 当画完第9圈时, 图中共有______个与A 相同的正六边形.
5、用火柴棒按下图中的方式搭图形，按照这种方式搭下去，搭第____________根
火柴棒．
（第一个图形） （第二个图形） （第三个
图
6、一个人从中央(标有0) 的位置出发, 向东、向北各走1千米, 再向西、向南各走2千米, 再向东、向北走3千米, 向西、向南各走4千米, „„, 如此继续下去. 他每走1千米, 就把所走的路程累计数标出(如图), 当他走到距中央正东100千米处时, 他共走了______千米.
-24-
第七讲 小升初专项训练 工程篇
一、小升初考试热点及命题方向
罗巴切夫斯基是俄国数学家。曾经有一位承包商向他请教过一个工程问题：
某项工程，若甲、乙单独去做，甲比乙多用4天完成；若甲先做2天后，再和乙一起做，则共用7天可完成，问甲、乙两人单独做此工程各需多少天完成？ 答案：
设甲、乙两人每人完成该项工程的一半，以题意，甲、乙两人单独完成，甲比乙多用4天，所以每人单独完成一半时，甲比乙多用2天。
另外，已知甲先做2天，然后与乙合作，7天完成，这就是说，甲、乙共同完成全部工作时（每人做一半），相差刚好2天，那么很明显，甲在7天中正好完成了工程的一半，而乙在5天中也完成了工程的一半。
这样，甲单独完成要14天，乙单独完成要10天。
工程问题在历届考试中之所以难，是因为工程问题中比例和单位“1” 综合。还有就是学生欠缺一些固定的条件的理解和转化能力。
二、知识要点
在工程问题中，一般要出现三个量：工作总量、工作时间（完成工作总量所需的时间）和工作效率（单位时间内完成的工作量）。
【基本公式】：这三个量之间有下述一些关系式：
工作效率×工作时间＝工作总量； 工作总量÷工作时间＝工作效率； 工作总量÷工作效率＝工作时间。
为叙述方便，把这三个量简称工量、工时和工效。
三、典型例题解析
1 涉及二者的工程问题
【例1】一项工程，甲单独做6天完成，乙单独做12天完成。现两人合作，途中乙因病休息了几天，这样用了4.5天才完成任务。乙因病休息了几天？
-25-
【例2】一项工程，甲、乙两人合作4天后，再由乙单独做5天完成，已知甲比乙每天多完成1
这项工程的 。甲、乙单独做这项工程各需要几天？
30
【例3】某项工程，甲单独做需要20天，如果与乙合作，12天就可以完成。现在由甲单独做16天，然后由乙继续做完，还需要几天时间？
2 涉及三者的工程问题
【例4】一项工程，甲队单独做24天完成，乙队单独做30天完成。现在甲、乙两队先合做8天，剩下的由丙队单独做了6天完成了此项工程。如果从开始就由丙队单独做，需要几天？
3 涉及多者的工程问题
【例5】一项工程，45人可以若干天完成。现在45人工作6天后，调走9人干其他工作。这样，完成这项工程就比原来计划多用了4天。原计划完成这项工程用多少天？
4 水箱注水的工程问题
【例6】水池安装A 、B 、C 、D 、E 五根水管，有的专门放水，有的专门进水。如果每次用两根水管同时工作，注满一池水所用时间如下表所示：
如果选用一根水管注水，要尽快把空池注满，问应选用哪根水管？
-26-
【例7】有甲、乙两根水管，分别同时给两个大小相同的水池A 和B 注水，在相同时间内甲、乙两管注水量之比7：5。经过2时，A 、B 两池中已注入水之和恰好是一池水。此后，甲管的注水速度提高25％，乙管的注水速度降低 30％。当甲管注满A 池时，乙管还需多长时间注满B 池？
【拓展】“牛吃草”问题
例题选讲：有一片牧场，草每天匀速生长，如果牧民在此放24只羊，则6天吃完草；如果放牧21只羊，则8天吃完，每天吃草的量都是相等的．问：
1、如果放牧16只羊，则几天可以吃完牧草？ 2、要是牧草永远吃不完，最多放几只羊？
1
3
作业题
1、某工程限期完成，甲队单独做正好按期完成，乙队单独做误期3天才能完成，现在两队合作2天后，余下的工程再由乙队独做，也正好按期完成。那么该工程限期是多少天？
2、一批零件，张师傅独做20时完成，王师傅独做30时完成。如果两人同时做，那么完成任务时张师傅比王师傅多做60个零件。这批零件共有多少个？
3、某项工程，甲单独做需要20天，如果与乙合作，12天就可以完成。现在由甲单独做16天，然后由乙继续做完，还需要几天时间？
-27-
4、甲、乙二人同时开始加工一批零件，每人加工零件总数的一半，甲完成任务的1/3时乙加工了50个零件，甲完成3/5时乙完成了一半。问：这批零件共多少个？
第八讲 小升初专项训练 比例百分数篇
一、小升初考试热点及命题方向
分数百分数是小学六年级重点学习的知识点，也是小升初重点考察的知识点，这一部分主要考察三大块，分百应用题；比和比例；经济浓度问题；三块的地位是均等的，在考试中都有可能出现。
二、知识要点
分数百分数应用题
比和比例 经济浓度
三、典型例题解析
1 分数百分数应用题
【例1】某班有学生48人，女生占全班的37.5％，后来又转来女生若干人，这时人数恰好是占全班人数的40％，问转来几名女生？
【例2】把一个正方形的一边减少 20％，另一边增加2米，得到一个长方形. 它与原来的正方形面积相等. 问正方形的面积是多少？
-28-
2 比和比例
【例3】一个长方形长与宽的比是14：5，如果长减少13厘米，宽增加13厘米，则面积增加182平方厘米，那么原长方形面积是多少平方厘米？
【例4】某学校入学考试，参加的男生与女生人数之比是4∶3. 结果录取91人，其中男生与女生人数之比是8∶5. 未被录取的学生中，男生与女生人数之比是3∶4. 问报考的共有多少人？
3 经济浓度问题
【例5】某商店进了一批笔记本，按 30％的利润定价. 当售出这批笔记本的 80％后，为了尽早销完，商店把这批笔记本按定价的一半出售. 问销完后商店实际获得的利润百分数是多少？
【例6】仓库运来含水量为90％的一种水果100千克。一星期后再测，发现含水量降低到80％。现在这批水果的质量是多少千克？
【例7】甲、乙两车从A 、B 两地同时相对开出，当甲车到达两地中点时，乙车离中点还有20千米，如果甲、乙两车的速度的比是5:4，A 、B 两城相距多少千米？
-29-
【例8】制鞋厂生产的皮鞋按质量共分10个档次，生产最低档次（即第1档次）的皮鞋每双利润为24元。每提高一个档次，每双皮鞋利润增加6元。最低档次的皮鞋每天可生产180双，提高一个档次每天将少生产9双皮鞋。按天计算，生产哪个档次的皮鞋所获利润最大？最大利润是多少元？
作业题
1、成本 0.25元的练习本 1200本，按 40％的利润定价出售。当销掉80％后，剩的练习本打折扣出售，结果获得的利润是预定的 86％，问剩下的练习本出售时是按定价打了什么折扣？
1
2，如果甲给乙20本，那么乙
41
比甲多的数量恰好是两人总数的 。那么他们共有多少本书？
6
3、100千克刚采下的鲜蘑菇含水量为99%，稍微晾晒后，含水量下降到98%，那么这100千克的蘑菇现在还有多少千克呢？
1
4、甲、乙两车从A 、B 两地同时相对开出，当甲车行了全程3时，乙车行了16千米；当甲车4
到达B 地时，乙车行了全程的5。A 、B 两城相距多少千米？
-30-
第九讲 小升初专项训练 数论篇
一、小升初考试热点及命题方向
数论是历年小升初的考试难点，各学校都把数论当压轴题处理。由于行程题的类型较多，题型多样，变化众多，所以对学生来说处理起来很头疼。数论内容包括：整数的整除性，同余, 奇数与偶数, 质数与合数, 约数与倍数, 整数的分解与分拆等。作为一个理论性比较强的专题，数论在各种杯赛中都会占不小的比重，而且数论还和数字谜, 不定方程等内容有着密切的联系, 其重要性是不言而喻的。
二、基本知识
三、典型例题解析
【例1】某班学生不超过60人，在一次数学测验中，分数不低于90分的人数占89分的人数占
1
，得80～7
11
，得70～79分得人数占，那么得70分以下的有________人。 23
【例2】从一张长2002毫米，宽847毫米的长方形纸片上，剪下一个边长尽可能大的正方形，如果剩下的部分不是正方形，那么在剩下的纸片上再剪下一个边长尽可能大的正方形。按照上面的过程不断的重复，最后剪得的正方形的边长是多少毫米？
【例3】一根木棍长100米，现从左往右每6米画一根标记线，从右往左每5米作一根标记线，请问所有的标记线中有多少根距离相差4米？
-31-
【例4】03 年101中学招生人数是一个平方数，04年由于信息发布及时，04年的招生人数比03年多了101人，也是一个平方数，问04年的招生人数？
【例5】一个数减去100是一个平方数，减去63也是一个平方数，问这个是多少？ 【例6】
[**************]
++=＿＿。
[***********]21
【例7】一个数除以3余2，除以5余3，除以7余4，问满足条件的最小自然数____.
【例 8】有15位同学，每位同学都有编号，它们是1号到15号。1号同学写了一个自然数，2号说：“这个数能被2整除”，3号说“这个数能被3整除”，„„，依次下去，每位同学都说，这个数能被他的编号数整除，1号作了一一验证，只有编号相邻的两位同学说得不对，其余同学都对，
问：（1）说得不对的两位同学，他们的编号是哪两个连续自然数？
（2）如果告诉你，1号写的数是五位数，请求出这个数。（写出解题过程）
-32-
作业题
222 2
1、
2、从1到2008的所有自然数中，乘以72后是完全平方数的数共有多少个？
3、在一根长木棍上，有三种刻度线，第一种刻度线将木棍分成10等份，第二种刻度线把木棍分成12等份，第三种刻度线把木棍分成15等份，如果沿每条刻度线把木棍锯断，木棍总共被锯成多少段？
4、教室里面有标有1到200的标号200盏灯，每个灯小面站了一个小朋友，他们的背后都标上1到200的数字，然后依次让小朋友按下是他们倍数的灯的开关；假设刚开始灯都是开着的那么所有人按完后有几盏灯是亮的的？
2000个" 2"
除以13所得余数是_____.
第十讲 小升初名校真题专项测试-----列方程解应用题
一、小升初考试热点及命题方向
应用题是数学和实际联系最密切的问题，它的内容丰富，形式多样，是培养学生分析能力和解决问题能力的重要内容，14年小升初考试郑州各个名校在次章节考察较多。列方程解应用题就是常用的方法之一。
列方程解应用题的一般步骤是：
-33-
二、典型例题解析
【例1】 5-(x -3) = 7-2(x +1) = 【例2】 解方程：
111
(8x +5) -(2x -) = 422
4x -6=3x +5 7(2x -1) -3(4x -1) =5(3x +2) -1
x -24-3x 3-4x 5x
-=1 = 4624
【例3】商店在销售二种售价一样的商品时，其中一件盈利25%，另一件亏损25%，卖这两件商品总的是盈利还是亏损.
【例4】某化肥厂装运一批化肥，如果每辆车装7吨，这批化肥就有2吨不能运走；如果每辆车装8吨，则装完这批化肥后，还可以装其它货物2吨。问：这批化肥有多少吨？
【例5】甲队人数是乙队人数的2倍，从甲队调12人到乙队后，甲队剩下来的人数是原乙队人数的一半还多15人。求甲、乙两队原有人数各多少人？
-34-
【例6】有一个三位数，个位数字为百位数字的2倍，十位数字比百位数字大1，若将此数个位与百位顺序对调（个位变百位）所得的新数比原数的2倍少49，求原数。
【例7】某车间有28名工人生产螺栓和螺母，每人每小时平均能生产螺栓12个或螺母18个，应如何分配生产螺栓和螺母的工人，才能使螺栓和螺母正好配套（一个螺栓配两个螺母）？
【例8】朝阳建筑公司有甲乙两种型号的水泥，甲种水泥的数量是乙种水泥数量的3倍，计划修建住宅若干套。如果每套住宅使用甲种水泥70袋，乙种水泥20袋，那么，甲种水泥缺少10袋，乙种水泥30袋。问：“朝阳建筑公司计划修建多少套住宅？”
【例9】有一队工人搬一堆砖，每人搬7块，还剩12块，每人搬8块，最后一人只搬4块，这队工人共有多少人？ 、
【例10】甲、乙两车间各有工人若干，如果从乙车间调100人到甲车间，那么甲车间的人数是乙车间剩余人数的6倍；如果从甲车间调100人到乙车间，这时两车间的人数相等，求原来甲乙车间的人数。
-35-
作业题
1、有一队工人搬一堆砖，每人搬7块，还剩12块，每人搬8块，最后一人只搬4块，这队工人共有多少人？
2、两个水池共贮水45吨，甲池注进6吨，乙池放出9吨，甲池水的吨数与乙池水的吨数相等，两个水池原来各贮水多少吨？
3、小刚和小明参加一个会议，在会议室中小刚看到不戴眼镜的同学是戴眼镜同学的2倍，小
2
明看到戴眼镜的同学是不戴眼镜的3，会议室中共有多少名同学？
4、某商店想进饼干和巧克力共444千克，后又调整了进货量，使饼干增加了20千克，巧克力减少5%，结果总数增加了7千克。那么实际进饼干多少千克？（02年人大附中入学测试题）
5、某城市规定：出租车起步价允许行驶的最远路程为3千米，超过3千米的部分按每千米另收费. 甲说：“我乘这种出租车走了11千米，付了17元”；乙说：“我乘这种出租车走了23千米，付了35元”. 请你算一算这种出租车的起步价是多少元？以及超过3千米后，每千米的车费是多少元？
-36-
第十一讲 小升初专项训练 计数原理篇
一、小升初考试热点及命题方向
“数学来源自生活又高于生活”，本讲所讨论的计数原理在随后学习的概率以及排列组合知识上有很大应用，在历届小升初考试中本章节考察分值也较大，今年小升初考试可能分值会有所增加。
二、典型例题解析
【例1】有11阶台阶，每次可以走1阶或者2阶或者3阶，则一共能有几种走法？
【例2】有数字1，2，3，4，5，6共可组成多少个没有重复数字的四位奇数？
【例3】有两个相同的正方体，每个正方体的六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6。将两个正方体放在桌面上，向上的一面数字之和为偶数的有多少种情形？
【例4】
1、在1～1000的自然数中，一共有多少个数字1？ 2、在1～500的自然数中，不含数字0和1的数有多少个？
【例5】在2，3，5，7，9这五个数字中，选出四个数字，组成被3除余2的四位数，这样的四位数有多少个？
-37-
【例6】从学校到少年宫有4条东西的马路和3条南北的马路相通（如图），小明从学校出发到少年宫（只许向东或向南行进），最后有多少种走法？
A D 1
1B 2E 3H 4S
136
C F M
G 1N 1
10少年宫
T
【例7】某区的街道非常整齐（如图），从西南角A 处走到东北角B 处，要求走最近的路，一共有多少种不同的走法？
【例8】如图有6个点，9条线段，一只小虫从A 点出发，要沿着某几条线段爬到F 点。行进中，同一个点或同一条线段只能经过一次，这只小虫最多有多少种不同的走法？
B
A
作业题
1、 在1，3，6，8这四个数字中，能够组成几个两位的质数？
2、在1，4，5，6，7这五个数字中，选出四个数字组成被3除余1的四位数，这样的四位数有多少个？
-38-
3、由数字1，2，3，4，5，6，7，8，可组成多少个：
①三位数；②三位偶数；③没有重复数字的三位偶数；④百位是8的没有重复数字的三位数；⑤百位是8的 没有重复数字的三位偶数。
4、十把钥匙开十把锁，但不知道哪把钥匙开哪把锁，问最多试开多少次，就能把锁和钥匙配起来？
5、在2，3，5，7，9这五个数字中，选出四个数字，组成被3除余2的四位数，这样的四位数有多少个？
第十二讲 小升初专项训练 逻辑推理篇
一、小升初考试热点及命题方向
“数学是锻炼思维的体操”，本讲所讨论的逻辑推理问题趣味性很强，不需要专门的数学知识，而是考察大家的思维能力，判断能力。14年小升初考试本专题知识考察不是太多，一般以填空形式出现，以后小升初考试本专题分值趋于平稳。
二、典型例题解析
【例1】徐、王、陈、赵四位师傅分别是工厂的木工、车工、电工和钳工，他们都是象棋迷。 （1）木工只和车工下棋，而且总是输给车工； （2）王、陈两位师傅是邻居； （3）陈师傅与电工下棋互有胜负； （4）徐师傅比赵师傅下的好； （5）木工的家离工厂最远。
问：徐、王、陈、赵四位师傅各是什么工种？
-39-
【例2】甲乙丙丁四人进行了四次百米赛跑。站在终点的小赵说：“甲胜乙三次，乙胜丙三次，丙胜丁三次，丁胜甲三次”。小赵的说法能否成立？
【例3】甲、乙、丙、丁四人比赛乒乓球，每两人都要赛一场，结果甲胜了丁，并且乙、丙、丁三人胜的场数相同。问：甲胜了几场？
【例4】甲、乙、丙、丁在谈论他们及他们的同学何伟的居住地。
甲说：“我和乙都住在北京，丙住在天津。”
乙说：“我和丁都住在上海，丙住在天津。”
丙说：“我和甲都不住在北京，何伟住在南京。”
丁说：“甲和乙都住在北京，我住在广州。”
他们每个人都说了两句真话，一句假话。问：不在场的何伟住在哪？
【例5】甲、乙、丙三人中有一人打坏了杯子，他们都说是除自己外的另两个人中的一人打的，但说法不一，于是就发生了争吵。甲说乙说谎，乙说丙说谎，丙说甲、乙都说谎。现在只知道丙说杯子是乙打坏的，你能判断出杯子是谁打坏的吗？
【例6】学校新来了一位老师，五个学生分别听到如下的情况：
（1）是一位姓王的中年女老师，教语文课；
（2）是一位姓丁的中年男老师，教数学课；
（3）是一位姓刘的青年男老师，教外语课；
（4）是一位姓李的青年男老师，教数学课；
（5）是一位姓王的老年男老师，教外语课。
他们听到的情况各有一项正确，请问：真实情况如何？
-40-
【例7】用红、黄、蓝、黑、白、绿六种颜色分别涂在正方体的各面上（每个面
只涂一种颜色），现在涂色方式完全一样的相同的四块小正方体，把它们拼成
一长方体，如图所示。试回答：每个小正方体红色面的对面涂的是________色，
黄色面的对面涂的是________色，黑色面的对面涂的是________色。
【例8】A ，B ，C ，D 四个足球队进行循环比赛，赛了若干场后，A ，B ，C 三队的比赛情况如下：
问：D 赛了几场？D 赛的几场的比分各是多少？
作业题
1、刘刚、马辉、李强三个男孩各有一个妹妹，六个人进行乒乓球混合双打比赛。事先规定：兄妹二人不许搭伴。
第一盘：刘刚和小丽对李强和小英；
第二盘：李强和小红对刘刚和马辉的妹妹。
问：三个男孩的妹妹分别是谁？
2、A ，B ，C ，D 四人分别要到甲、乙、丙、丁四个单位办事。已知甲单位星期一不接待，乙单位星期三不接待，丙单位星期四不接待，丁单位只在星期二、四、六接待，星期日四个单位都不办公。一天，他们议论起哪天去办公——
A 说：“你们可别像我前天那样，在人家不接待的日子去。”
B 说：“我今天必须去，明天人家就不接待了。”
-41-
C 说：“我和B 正相反，今天不能去，明天去。”
D 说：“我从今天起，连着四天哪天去都行。”
问：这天是星期几？他们分别去哪个单位办事？
3、A 、B 、C 、D 、E 、F 六人赛棋，采用单循环制。现在知道：A 、B 、C 、D 、E 五人已经分别赛
过5．4、3、2、l 盘。问：这时F 已赛过 盘。
4、甲、乙、丙三人比赛象棋，每两人赛一盘. 胜一盘得2分．平一盘得1分，输一盘得0分.
比赛的全部三盘下完后，只出现一盘平局．并且甲得3分，乙得2分，丙得1分. 那么，甲 乙，甲 丙，乙 丙（填胜、平、负）。
5、A 、B 、C 、D 、E 、F 六个选手进行乒乓球单打的单循环比赛(每人都与其它选手赛一场) ，每天同时在三张球台各进行一场比赛，已知第一天B 对D ，第二天C 对E ，第三天D 对F ，第四天B 对C ，问：第五天A 与谁对阵? 另外两张球台上是谁与谁对阵?
六年级小升初专项训练---综合测试题
一、填空题 （每题6分）
1. 72006个位数字是________.
2. 某商品按定价的 80％（八折）出售，仍能获得40％的利润，定价时期望的利润百分数是______.
3. 一个数与396的积是完全平方数，那么这个数最小是_______.
14. ，如果甲给乙20本，那么乙比4
1甲多的数量恰好是两人总数的 。那么他们共有 本书。 6
5. 一块合金内铜和锌的比是2∶3，现在再加入16克铜，共得新合金36克，求新合金内铜和锌的比是_____.
-42-
6. 有一个三位数，其中个位上的数是百位上的数的3倍。且这个三位数除以5余4，除以11余3。这个三位数是_________.
7. 从写有7、1、4、0、9的五张卡片中取出四张，组成若干个能被3整除的四位数．把这些数按从小到大的顺序排列起来，第三个数是_______．
8. 在100名学生中，有10人既不会骑自行车又不会游泳，有65人会骑自行车，有73人会游泳，既会骑自行车又会游泳的有____人.
9. 1与一个数的倒数之差为4，这个数是________. 7
10. 一个小于200的数，它除以11余8，除以13余10，那么这个数是____.
二、解答题（每题10分）
1. 一项工程，甲单独做6天完成，乙单独做12天完成。现两人合作，途中乙因病休息了几天，这样用了4.5天才完成任务。乙因病休息了几天？
2. 某商店进了一批笔记本，按 30％的利润定价. 当售出这批笔记本的 80％后，为了尽早销完，商店把这批笔记本按定价的一半出售. 问销完后商店实际获得的利润百分数是多少？
3. 一个数减去100是一个平方数，减去63也是一个平方数，问这个是多少？
-43-
4. 乒乓球单打决赛在甲、乙、丙、丁四位选手中进行，赛前，有些人预测比赛结果，A 说：甲第4；B 说：乙不是第2，也不是第4；C 说：丙的名次在乙的前面；D 说：丁将得第1．比赛结果表明，四个人中只有一人预测错了．那么，请排出甲、乙、丙、丁四位选手的名次。
三、附加题（两道选做一道 20分）
1. 如右图，单位正方形ABCD ，M 为AD 边上的中点，求图中的阴影部分面积。
2. 某球迷协会组织36名球迷乘车去比赛场地，为首次打入世界杯决赛圈的 国家足球队加油。可租用的汽车有两种：一种每辆可乘8人，另一种每 辆可乘4人，要求租用的车子不留空座，也不超载。⑴请你给出不同的租车方案（至少3种），⑵若8个位子的车子的租金是300元每天，4个位 子的车子的租金是200元每天，请你设计出费用最少的租车方案，并说明理由。
-44-