圆锥曲线经典题型1
1.(2012年长沙一中月考) 已知△ABC 的顶点B 、C 在椭圆+
3
x 2
y 2=1上,顶点A 是椭圆的一个焦点,且椭圆的另外一个焦点在BC
边上,则△ABC 的周长是( )
A .2C .4
2.(2012年北京东城模拟) 若双曲线-1的渐近线与圆(x
63-3) 2+y 2=r 2(r >0)相切,则r =( )
A.
3
B .2 D .6
3 B .6 3
D .12
x 2y 2
C .3
3.(2012年大同模拟) 已知抛物线y 2=2px (p >0)的准线与曲线x 2
+y 2-6x -7=0相切,则p 的值为( )
A .2 1C. 2
B .1 1D. 4
4.过双曲线-1(a >0,b >0)的右焦点F 作与x 轴垂直的直
x 2y 2
a 2b 2
线,分别与双曲线、双曲线的渐近线交于点M 、N (均在第一象限内) ,→=4MN →,则双曲线的离心率为( ) 若FM
5
A. 43C. 5.
5.(2012年高考山东卷) 已知双曲线C 1:-=1(a >0,b >0)
5B. 34D. 5
x 2y 2
a 2b 2
的离心率为2. 若抛物线C 2:x 2=2py (p >0)的焦点到双曲线C 1的渐近线的距离为2,则抛物线C 2的方程为( )
8
A .x 2=
33
163
B .x 2=y
3D .x 2=16y
C .x 2=8y
3
6.已知椭圆G 的中心在坐标原点,长轴在x 轴上,离心率为2且椭圆上一点到椭圆的两个焦点的距离之和为12,则椭圆G 的方程
为________.
7.(2012年高考辽宁卷) 已知双曲线x 2-y 2=1,点F 1,F 2为其两个焦点,点P 为双曲线上一点,若PF 1⊥PF 2,则|PF 1|+|PF 2|的值为________.
8.已知F 1,F 2为椭圆1(a >b >0)的两个焦点.P 为椭圆上
x 2y 2
a 2b 2
的任意一点,过F 2作∠F 1PF 2外角平分线的垂线,垂足为点M ,则M 的轨迹方程为______.
9.(2012年广州模拟) 设椭圆M :+=1(a >
a 22
x 2y 2
2) 的右焦点为
F 1,直线l :x =
为坐标原点) .
→1+2AF →1=0(其中O 与x 轴交于点A ,若OF
a 2-2
a 2
(1)求椭圆M 的方程;
(2)设P 是椭圆M 上的任意一点,EF 为圆N :x 2+(y -2) 2=1的→·PF →的最大值. 任意一条直径(E 、F 为直径的两个端点) ,求PE
10.已知椭圆C 的两焦点为F 1(-1,0) ,F 2(1,0) ,并且经过点
⎛3⎫M 1,⎪. ⎝2⎭
(1)求椭圆C 的方程;
(2)已知圆O :x 2+y 2=1,直线l :mx +ny =1,证明当点P (m ,
n ) 在椭圆C 上运动时,直线l 与圆O 恒相交;并求直线l 被圆O 所
截得的弦长的取值范围.
11.如图,已知F (2,0) 为椭圆+=1(a >b >0)的右焦点,AB
x 2y 2
a 2b 2
为椭圆的通径(过焦点且垂直于长轴的弦) ,线段OF 的垂直平分线与椭圆相交于两点C
、D ,且∠CAD =90°.
(1)求椭圆的方程;
(2)设过点F 斜率为k (k ≠0)的直线l 与椭圆相交于两点P 、Q . 若存在一定点E (m ,0) ,使得x 轴上的任意一点(异于点E 、F ) 到直线EP 、
EQ 的距离相等,求m 的值.
12. 已知椭圆a=5,b=4,直线L 与椭圆教于A,B 两点,且AB 中点为M (2,1),求直线L 的方程.
13.(13分)[2013·江门模拟] 已知直线x 3y 3=0经过椭
圆C :1(a >b >0)的一个顶点B 和一个焦点F .
x 2y 2
a 2b 2
(1)求椭圆的离心率;
(2)设P 是椭圆C 上动点,求||PF |-|PB ||的取值范围,并求||PF |-|PB ||取最小值时点P 的坐标.
.
1. 解析:根据椭圆定义可知,△ABC 的周长等于椭圆长轴长的二倍,即3.
2. 解析:双曲线-=1的渐近线为y =±,因为双曲线的
632
22
x 2y 22
渐近线与圆(x -3) 2+y 2=r 2(r >0)相切,故圆心(3,0) 到直线y =±
的距离等于圆的半径r ,则r =
2×3±2×0|2+4
3.
3. 解析:注意到抛物线y 2=2px 的准线方程是x =-x 2
2+y 2-6x -7=0,即(x -3) 2+y 2=16是圆心为(3,0) ,半径为4的圆.于是依题意有|+3|=4. 又p >0,因此有3=4,解得p =2,
22故选A.
4. 解析:由题意知F (c ,0) ,则易得M 、N 的纵坐标分别为p
p p
b 2bc a
a
→=4MN →得由FM
b 2a
bc b 2
c 5
) ,即c 2=a 2+b 2,则e == a a c 5a 3
x 2y 2
b 4
5. 解析:∵双曲线C 1:1(a >0,b >0)的离心率为2,
a 2b 2
∴=
c a 2+b 2a
a
=2,∴b =3a , 3x ±y =0,
∴双曲线的渐近线方程为
∴抛物线C 2:x 2=2py (p >0)的焦点(0,) 到双曲线的渐近线的距
2
p
|3×0±22
p
=2,∴p =8.∴所求的抛物线方程为x 2=16y .
6. 解析:设椭圆的方程为+1(a >b >0),根据椭圆定义知2a
x 2y 2
a 2b 2
3=12,即a =6,由,得c =3
a 2
c
3,b 2=a 2-c 2=36-27=9,
故所求的椭圆方程为
+=1. 369
x 2y 2
7. 解析:根据双曲线的定义列方程求解.
设P 在双曲线的右支上,|PF 1|=2+x ,|PF 2|=x (x >0),因为
PF 1⊥PF 2,
所以(x +2) 2+x 2=(2c ) 2=8,所以x 所以|PF 2|+|PF 1|=2
3.
3-1,x +23+1,
8. 解析:x 2+y2=a2 9. 解析:(1)由题设知,A (→1+2AF →1=0, 由OF
0) ,F 12a -2
a 2
a 2-2,0) ,
得 a 2-2=2(
-
2a -2
a 2
a 2-2) ,
解得a 2=6.
所以椭圆M 的方程为1. 62
x 2y 2
(2)设圆N :x 2+(y -2) 2=1的圆心为N , →·PF →=(NE →-NP →)·(NF →-NP →) 则PE
→-NP →)·(NF →-NP →) =(-NF →2-NF →2 =NP →2-1. =NP
→·PF →的最大值转化为求NP →2的最大值. 从而将求PE
因为P 是椭圆M 上的任意一点,设P (x 0,y 0) , =1,即x 20=6-3y 20. 62→2 因为点N (0,2) ,所以NP =x 20+(y 0-2) 2=-2(y 0+1) 2+12. 因为y 0∈[-
→2取得最大值12. 22],所以当y 0=-1时,NP
x 2y 200
→·PF →的最大值为11. 所以PE 10.解:(1)
椭圆C 的方程为1. 43
(2)因为点P (m ,n ) 在椭圆C 上运动,所以
x 2y 2
m 2n 2
4+3
=1,则m 2+
n 2>
m 2n 2
1, 43
从而圆心O 到直线l :mx +ny =1的距离d =所以直线l 与圆O 相交. 直线l 被圆O 所截的弦长为
1
m 2+n 2
=r ,
L =21-d 2=21-
1
m 2+2n
=21-
1
m 2+31-
m
2
=
4
2
1-
1
4
1
.
m 2+3
1
因为0≤m 2≤4,所以3≤m 2+3≤4,
411126≤,所以≤L ≤4133
2+34
3.
11. 解析:(1)F (2,0) ,则A (2) ,C (1,y 0) ,D (1,-y 0) ,其
b 2a
中y 0=
a 2-1
a
→=(-1,y 0) ,AD →=(-1,-y 0) . 所以AC
b 2a
b 2a
→⊥AD →,即AC →·AD →=0. 因为∠CAD =90°,所以AC 所以1=y 20-b 4a 2
b 2(a 2-1)b 4
a 2
=1,解得a 2=6,所以b 2
a 2
- 11 -
=2.
可得椭圆方程为1.
62
(2)设P (x 1,y 1) 、Q (x 2,y 2) ,直线l 的方程为y =k (x -2)(k ≠0).
x 2y 2
⎧⎪621由⎨得 ⎪⎩y =k (x -2)
x 2y 2
(1+3k 2) x 2-12k 2x +12k 2-6=0. 12k 2-6所以x 1+x 2=x 1·x 2=.
221+3k 1+3k
根据题意,x 轴平分∠PEQ ,则直线EP 、EQ 的倾斜角互补,即
12k 2
K EP +K EQ =0.
设E (m ,0) ,则有题意)
将y 1=k (x 1-2) ,y 2=k (x 2-2) 代入上式,得
y 1
x 1-m x 2-m
y 2
0.(当x 1=m 或x 2=m 时不合
k (x 1-2)x 1-m
+
k (x 2-2)x 2-m
=0.
又k ≠0,所以
x 1-2
x 1-m x 2-m
+
x 2-2
0.
- 12 -
(x 1-2)(x 2-m )+(x 2-2)(x 1-m )即0.
(x 1-m )(x 2-m )2x 1x 2-(m +2)(x 1+x 2)+4m 即=0,
(x 1-m )(x 2-m )2x 1x 2-(m +2)(x 1+x 2) +4m =0.
12k 2-6
将x 1+x 2=x 1x 2=
221+3k 1+3k 解得m =3. 12解:K=-32/25
13.解:(1)依题意,B (0,1) ,F (-
3,0) ,所以b =1,c 3,
12k 2
a =b 2+c 2=2,所以椭圆的离心率e ==.
a 2
(2)0≤||PF |-|PB ||≤|BF |,当且仅当|PF |=|PB |时,取到0,当且仅当P 是直线BF 与椭圆C 的交点时,||PF |-|PB ||=|BF |,|BF |=2,所以||PF |-|PB ||的取值范围是[0,2].
设P (m ,n ) ,由|PF |=|PB |2
c 3
3m +n +1=0,
83⎧m m =-,⎧⎪13⎪4n =1,⎧m =0,
由⎨解得⎨或⎨
n =-111⎩⎪⎪n =⎩3m +n +1=0,
⎩13
2
⎛8311⎫
所求点P 为P (0,-1) 和P -⎪
⎝1313⎭
- 13 -