教学是一门遗憾的艺术

教学是一门遗憾的艺术

——对两节小学数学课的点评

由于我从事高中数学教育教学研究工作，所以听的课大都是高中的数学课，很少到小学去听课。前几天因为工作之需，到几所小学检查教育教学工作，听了几节小学数学课，感到很新鲜，给我从事的高中教研工作很多启示。现就两节比较典型的课堂教学，谈一下我的理解和认识，同时也和这两位做课的老师做个交流。

时间：2010年12月2日 学校：头道实验小学 课题：试商 讲课教师：何丽娟

1、在“试商”中培养学生的估算能力

运算能力是四大数学能力之一，运算能力的主要要的标志就是估算能力的高低，无论在义务教育阶段，还是高中教等院校招生考试，估算能力都是数学教学重点培养的能力之一。何老师在课前复习、例题讲解、变式练习中以培养学生估算能力为主线为组织教学，体现了她对课标和教材的深入理解和对学科教学的整体把握。

2、设计开放性问题，培养学生的思维能力

问题是思维的起点，思维能力是数学能力的核心，在每个学段的数学教学中，都必须体现这一点。何老师在课堂上设计了一个开放性问题：

（大意）学校准备新买140个腰鼓，每个班可以分到26个，根据这些信息，你能提出什么问题。然后让学生思考并讨论。学生经过讨论，提出：可以分给几个班？还剩多少个？经过“试商”计算，得出结论：可以分给5个班，还剩10个腰鼓。

3、在小组合作交流中的过程中，培养学生的合作意识，体会“逼近”方法

一个数学问题往往有很解法，每个解法都源于不同的思维。“试商”的方法也很多，如上面的问题，有的学生把除数26近似看为25，也有的学生看为30。在试商的过程中，有的商大了，有的商小了，有的正好。何教师让学生进行小组合作交流，看看哪些方法比较简单，然后学生说出各自的思维过程。这既培养了学生的合作意识，又体会了数学“逼近”方法，这种做法的意义是深远的。

当然本课也有一些不足之处，如根据提供的信息“学校准备新买140个腰鼓，每个班可以分到26个”，让学生思考并讨论，能提出什么问题。这个活动没有充分展开，学生提出的问题也只限于一个（教师预设的）。显然这个题目没有完全达到利用开放题培养学生思维能力的目的。实际上，当有的学生试商为6后，应立即追问：由这个结果，你还能提出什么问题？

1、用问题引入新课

创设问题情境，是引入新课的常用方法之一，也是新课程的教学理

念的体现。石老师在《三角形的面积》一节的教学中一节的教学中就充

分利用了这一理念。她首先出示一个并提出问题，现在要制做一个交通

警示图片（如上图），如果每平方米120元，那么制做这样一个交通警

示牌需要多少元？显然，要解决这个问题，必须要求出这个三角形的面积。从而创设问题情境，激发了学生的求知欲。

2、用类比引导思考

类比法是数学学习常用的方法之一，是数学发现的重要方法。石教师在本节教学中讲道：同学们，我们知道平行四边形的的面积=底×高，得到这个公式的方法是，把平行四边形转化为长方形。也就是把不熟悉的图形转化为熟悉的图形，那么三角形的面积是什么？我们是否能把三角形的转化为我们原来熟悉的图形呢？然后学生分组合作，利用课前准备好的三角形纸片，进行“实验”，来发现三角形的面积公式。

3、由实验进行探索发现

由于小学数学的特点所限，很多结论都是通过动手“实验”方法得到的。石老师充分利用这一方法，把学生分组，利用课前准备好的三角形纸片，进行“实验”，并填写“实验报告单”有点像科学家做实验的味道。学生把三角形分为三类：锐角三角形、直角三角形和钝角三角形，通过实验，得出结论三角形面积=（底×高）÷2。如果说在学生的学习过程要强调重视其主体地位，那么石老师这一作法就是学生主体地位的重要体现。

4、用数学思想来体现数学

数学思想是数学教学的精髓，化未知为已知，化复杂为简单是数学教学常用的方法。平行四边形化为长方形，本节求三角形面积，又把三角形转化为平行四边形，就是这一思想的重要体现。 一位小学教师对数学教学能理解到这一点，实在难得。

和上一节一样，石老师这一节课，也有遗憾之处：一是在标记三角形的底和高时不能像下图（左）那样，而应像下图（右）那样才行；二是让学生课前准备三角形纸片过于特殊，都是正三角形、直角三角形或等腰三角形，为了体现其一般性，还应该有一般三角形。

教学是一门遗憾的艺术，任何人上的课都

不可能完美无缺。正是每一节课存在的这些

“遗憾”，来促使我们反思，从而改进我们的

教学，任何事物的发展都是这样一个道理。

最后，笔者引用荀子《劝学》中的话，与二

位老师共勉：

积土成山，风雨兴焉；积水成渊，蛟龙生

焉；积善成德，而神明自得，圣心备焉。故不

积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海。骐骥一跃，不能十步；驽马十驾，功在不舍。锲而舍之，朽木不折；锲而不舍，金石可镂。

看”还是主要的，透过眼睛的观察，既有语言和行为，又有课堂的情境和氛围，还有课堂的故事和细节，师生的状态与精神等等，而且不仅仅是感官的感受，还有心灵的体悟。

吴正宪是一个重感情、充满人情味的老师。课堂上，她不仅是用数学的真谛来拨亮孩子们的心灵，更是用她对孩子的爱心和真情来感染他们，用自己人格的魅力来塑造他们。她的课，知情交融，师生互动，她的课，充满了童趣、乐趣。课伊始，趣已生，课继续，情更深，课已完，意未尽。40分钟的数学课，像磁铁那样把每一个孩子的心紧紧地吸在一起，把时空有限的课堂变为人人参与、个个思考的无限空间。

巧妙地创设各种问题情境，最大限度地激发孩子的求知欲，这是吴老师课堂教学的一大特色。 “商不变性质”课上，一开始她就给大家讲述了“猴王分桃”的故事：花果山上风景秀丽，气候宜人。一天，猴王给小猴们分桃子。猴王说：“给你6个桃子，平均分给3只小猴吃。”小猴听了连连摇头说：“太少了，太少了！”猴王又说：“好！给你60个桃子，平均分给30个小猴，怎么样？”小猴子还得寸进尺，试探地说：“大王，再多给点行吗？”猴王一拍桌子，显得很慷慨大度地样子说：“那好吧！给你600个桃子，平均分给300只小猴，你总满意了吧！”小猴子高兴地笑了，猴王也笑了。听完故事，班上的孩子们也情不自禁地笑了。此时此刻，吴老师意味深长地问大家：“你们说，谁的笑是聪明的一笑？为什么？”抓住契机，恰到好处地引导学生自己去“发现”商不变性质的奥秘。

师善于把一些枯燥的数学内容变为情趣多而意味深的故事或游戏，以情导知，以知促情。在“求平均数”课刚一开始，她便别开生面地向全班提出：“咱们分两组来做拍球比赛好吗？”孩子们自然喜出望外。“怎么比？”眼看每人都来拍球时间来不及，大家提议“选代表”，于是每组派4人（这里蕴含着统计中的“抽样”），并当场根据每一代表的拍球个数作了统计。不一会儿，甲组发现本组拍球总数超过乙组，高兴地欢呼起来。此时，吴老师自告奋勇也参加比赛，并把她的拍球数加入乙组之中，顿时乙组的总数明显增多，孩子们很不服气，喊道：“这不公平！”（甲组4人，乙组5人）那么，怎样才能公平呢？有的说：“甲组也再加1人。”如果不允许加人呢？矛盾激化了，有个孩子站起来用手比划着说：“把每组几个人拍球的个数匀乎匀乎……。”这一“匀乎”，表明孩子们已从实际问题的困惑中产生了“求平均数”的迫切需求，吴老师便水到渠成地引入了“平均数”，随即与大家共同探索求平均数的方法。这种创造性的教学，使学生能真正感悟到平均数的统计意义（当然还是初步的，但是是有价值的），充分体现了数学课程改革的新理念。

数学，对小学生说来，是自己对生活经验中数学现象的一种“解读”。在一次“年、月、日”的课上，当吴老师知道学生对这一内容并不陌生时，就提出了挑战性的问题：“你们能结合自己的生活经验，说一说一年有多长？一个月有多长吗？”有的说“我今年过生日，到明年再过生日正好是一年”，有的说“爸爸这个月领工资，到下次再领工资正好是一个月”。多好的“解读”！把十分抽象的时间观念，通过学生自己的贴身经验活生生地“物化”出来，让他们来体验，来感受，从而感到生活中处处有数学。 充分信任学生、尊重学生，把学习的主动权交给学生，这是吴老师课堂教学的又一特色。

教是为学服务的。在吴老师的课中，教师的指导作用是潜在而深远的，学生的主体作用是外显而巨大的。她为学生创设各种不平衡的问题情境，放手让他们自己去尝试、探究、猜想、思考，给学生留下了足够的思维空间。例如学习分数时，一开始就鼓励学生用自己喜欢的方法表示“半个”（有的用“一半”、“0.5”等，还有的用画图表示），让学生尝试给分数命名（有把分数叫“均分线”的，有受分母名称的影响把分子叫“分父”的）……吴老师放手让学生自己去探索，她“放”得那么真心，那么实在。探索，往往是要走弯路的，但是毕竟是学生亲自经历和体验了学习过程，这就是他们用自己理解的方式实现数学的“再创造”。

吴老师很了解儿童的心理特点。在她的课上有疑问，有沉思，有比喻，有赞许，有笑声，还有争辩。争辩是思维最好的触媒剂，我们看到过孩子们对“被除数与除数之间的变化是同扩同缩还是同增同减”，争得面红耳赤，也看到对问题“小明身高130厘米，跳进平均水深120厘米的小河中去游泳，有危险吗？”辩得不可开交。伴随着这些波澜迭起的教学过程，全体学生自始至终地参与了学习的全过程，通过交流、发现、辨析、整合，大家终于获得了共识。值得一提的是，争辩和交流的过程，同时也使学生学会倾听、接纳与评析，这对完善学生的人格，意义是深远的。

吴老师尊重每一个学生，她允许学生用不同的速度去探索和获取知识，允许学生用自己喜欢的方法学数学，她从不轻易否定学生的选择和判断，也从不强迫学生去认同。正如有的孩子说：“我们最喜欢上数学课，上课时想说就说，说错了也没关系。” 吴老师总是这样，以热情的鼓励、殷勤的期待、巧妙的疏导与孩子们思维共振，情感共鸣。她用那真诚的爱心感染了孩子们，贴近了孩子们的心。在先进的教育思想引导下，她以自己独特的教学艺术，把学生推到自主学习的舞台上，使他们真正成为学习的小主人

特级教师吴正宪“平均数”课堂教学实录及赏

析（一）

在仙桃市教科院举办的

一、课前谈话，流露真情

师：小朋友们好！（深深地鞠躬）

生：（学生可能好奇和陌生，也可能等的时间稍长了些，一时没反应。）

师：（诚挚地，真情地）亲爱的小朋友们，你们好！（再次深深地鞠躬）

生：老师好！

师：终于睡醒了，小朋友们，我姓吴，来自北京，见你们的第一句话应该说，对不起了，原谅我。

生：没关系！

师：这么宽宏大量！谢谢你们！今天吴老师上午从北京赶过来，北京的天气大雾蒙蒙，所以飞机稍稍延迟了一会才起飞，到这里晚了，让你们等这么久，这是不应该出现的事，请你们原谅我！

生：好！

师：谢谢,让我跟老师们说一句话。尊敬的各位老师,大家好，非常高兴能有这样一个机会能应我们仙桃市教科院的邀请,特别是秦院长多次电话跟我联系, 让我来向老师作汇报,那么今天呢,不管是什么原因,迟到了,真的对不起,我再说一次,原谅我吧! （深深地鞠躬）谢谢老师们,谢谢!

[赏析：作为一位全国著名的特级教师，吴老师展现在我们面前的是谦逊，平和，真情，看不出丝毫的娇柔做作，一切发自内心，令听者强烈感受到大师高尚的人格魅力。而对孩子们，更是一种平等的态度。]

师:上课的铃声马上就要拉响了,大声地告诉老师们,上课好,还是玩好?

生:上课好.

师:好,玩好不好?

生:不好.

师:你们说的是实话吗?(不相信的看着学生微笑)让我说呀,玩最好,上课好不好呢,这事我们得体验体验,40分钟以后你再来谈你的体会,好吗?

生: 好.

师:

时间已经很晚了,我就不再多介绍了，那么一会呢,小朋友就会了解吴老师,吴老师呢也会认识我们

在座的每一位小朋友,那么现在,我们商量商量，可以上课了吗？

生: 可以.

师：批准啦？

生：(面带笑容,高兴地说)批准了!

师: 上课!

生：老师好!

师: 小朋友们好!(深深的鞠躬)请坐。

[赏析：多新鲜的事！老师和学生商量，可以上课了吗？还要批准呢！学生心中是如何的喜悦和自豪。寥寥数语，体现了老师“以人为本”的理念，把学生看成发展中的人来看待，师、生、听课者都感受到：学生是课堂的主体。]

二、创设情景，激发兴趣

师：我们从这里一分为二,这边的算一队,这边的同学算一队.（用手示意左边3行同学）这边的同学是甲队，甲队的同学向老师挥挥手！

师：好极了！（用手示意右边3行同学）那这边的同学是乙队，乙队的同学向老师点点头！

板书： 甲队 乙队

师：记住了，好啦。我们首先要举行一个拍球比赛，在规定的时间里看看哪一队拍的球的总数最多，哪一个队为胜利队。听清楚了吗？

生：听清楚了。

师：假如把球给了你，你拍完了怎么办？

生：我拍完了给我后面一位同学。

师：就传呀传呀，然后把你们的总数怎么办？

生：加起来。

师：求出来，对吗？（面露困惑）可是小朋友们，一节课只有40分钟，但是这样拍呀拍，时间可就不够用了，有没有更好的办法？

师：你有什么办法？

生：可以选一个人拍。

师：你看看，选代表，可以吗？

生：可以。

[赏析：老师巧妙地在问题的生成中拉开学生思维的帷幕，既帮助学生明确了活动规则，又找到了解决问题的办法，让我们看到课堂教学师生互动的动态生成过程。] 师：我建议每边出3个代表，好吗？谁愿意来？

（甲队选3人，乙队选3人，每队再选1人作裁判，为对方队员记数，每位选手时间只有5秒钟，老师拿秒表帮助记时，在黑板上记录，学生兴致盎然地开始拍球活动） 根据拍球情况教师板书：

甲队 乙队

5 11 9 8 4 7

[赏析：数学是数学活动的教学。怎样让活动有趣，有序，有效，是一线教师苦苦追寻的问题。从吴老师的教学中可以看到，教师作为教学活动的组织者，让学生明确活动的规则，程序等非常重要，这样能保证活动有序开展，从而达成实效。]

三、引发问题，促使探究

师：同学们用最快的速度把自己队的总数求出来。甲队多少个？

生：25个。

师：乙队多少个？

生：19个。

师：（板书）通过比总数，甲队拍了25个，乙队拍了19个，那我来宣布，胜利队为我们的甲队。甲队同学欢呼！

师：同学们，吴老师有个小小的请求，我特别想加入乙队，不知你们是否欢迎啊？乙队同学高兴地说欢迎。

师：好，那我也拍5秒钟，我请这个小姑娘来帮我数。开始！师拍球9个，学生看老师努力拍球的样子开心地笑。

师：9个就跑了，是不是？那乙队再加上9个，看看一共多少个了？板书：8+4+7+9=28

[赏析：没有老师的高高在上，充当活动的首席法官。老师是其中的一员，参与到活动中来，真正体现了教师是教学活动的组织者，是学生学习的引导者和合作者，当然，也为后面矛盾的激发作好准备。]

师：我重新宣布，比比总数，乙队拍了28个，甲队拍了25个，吴老师宣布，胜利队为我们的乙队，祝贺你们！（乙队同学欢呼雀跃，高喊“耶！”。师看甲队同学。） 师：什么想法都没有？甲队有学生不服气地举起手。

师：这位小朋友，你有什么想法？

生1：我觉得您不跟乙队拍，为什么不替甲队拍呢？

师：对我提出质疑！对这个结果，你有什么意见？

生2：我觉得应该不必帮助，要靠自己的实力。

师：哎哟,靠自己的实力！那你们说，我这样比，你们觉得怎么样？

生：我觉得不公平！

四、感受概念，建立模型

师：好厉害也！向吴老师说不公平。但是在我们生活中，学习中，经常遇到这样的事情，比如说，三（1）班和三（2）班人数并不相等，那我们就没有办法比较出这两个班某一项成绩的高低吗？你有没有更好的招？

生：那就可以到里面同样选几个人出来。

师：我明白了，你还是要让人数一样多。听懂老师的问题。人数同样多的时候，用总数进行比较，大家心服口服，人数不一样，比总数不行了，还有没有别的比较方法？ 生：就是把它们平均分成。

师：你说的怎么平均分？譬如？

生：分成他有几人来打，就分成几人。

师：那么你说，28分成几份？

生：分成4份。

师：那你的意思是把28要平均分成4份。板书：28 4

师：是这个意思吗？

生：（大声）是。

师：那么25怎么办呢？

生：平均分成3份。

甲队 乙队

5+11+9 8+4+7=25 ÷3 =28 ÷ 4

师：好，这是你的意见。我们一起来看算式，用等号连接，25除以3了，上面这几个

数的和怎么办？

生：上面把他们平均分了。

师：你补充！怎么平均分？

生：我觉得不应该平均分，到算式后面加上等于，然后把得数写出来，再到下面列一个算式。

师：我明白你的意思。你再列个算式来算是吗？那个小朋友你有什么意见？ 生：把5+11+9 加上括号再除以3。

师：那现在上下能不能用等号连接了？

生：可以。

师：那这边怎么办？ （指向8+4+7）

生：（齐）括号除以4。

[赏析：教师怎样做一个引导者，做学生学习的促进者，吴老师用具体的课堂作了很好的解释。当学生表达不够明确，表达有困难时，教师要善于捕捉学生闪现的灵感火花，予以引导，帮助学生理清思路，从而掀起学生思维的高潮。]

师：好，我们先不说这个结果是什么意思。我先请同学们用最快的速度把结果算出来，好不好？开始吧！

师：带计算器了，太好了。出现问题了，是不是？（师巡查）

生：有余数。

师：有余数了。得到多少？

生：25 3=8.333......

师：哎呀，别着急，那么多的3，我们没有碰到过它对吗，我告诉你，这个结果是个小数，你们现在还没有学，没有关系的。8.333......，那你说，它是接近8这个整数呢，还是接近9这个整数？

生：接近8。

师：好，那我们就说它大约是8个，可以吗？

生：可以。

师：好,用了约等号来表示。28除以4？

生：7个。

师：口算也可以出来了。同学们，我们以乙队这个题为例，（手指向28 4的得数7）这个7何许人也？

师：是谁拍的呀？那个同学出了个主意，28除以4了，那这个7是什么？ （学生面露疑惑。过了一会，有人举起手。）

生：是每个人拍的数。

师：好，（指着8）我请乙队1号选手起立。你拍了几个？

生：我拍了8个。

师：你的同学说你只拍了7个，他说你们每人拍了7个呢！

生：（接着）我知道了，他是把数平均分。

师：怎么平均分？你多的那一个哪里去了？

生：（继续）就是给后面几个少的同学了。

师：2号选手请站起来，你拍了几个？

生：我拍了4个 。

师：那你现在你的同学说你拍了7个，（手势）你那上面的那几个哪里来的？ 生：是其他的，其他的。

师：你很着急，别激动！

生：是其他同学剩下几个给我，变成我的了。

师：变成你的了！其中还有我的一份呢！我拍了9个，那我就把我多的那部分给了。

生：我！

师：那你应当说一声。

生：谢谢！

师：这时候，我可你们长的一边。（鼓励学生大声说出自己的想法）

[赏析：教师热情的鼓励学生说出自己的想法，小心的呵护学生的情感，细心捕捉学生思维跳跃的火花。]

生：就一条船了。

师：（伸出大拇指）就一条船了，语言好丰富啊！那你们的意思就是说，把多的给了少的，少的说，给我吧！我就慢慢涨高了，我和你们就一条船了，（向发言的那个同学）是这个意思吧？一条船了，也就是我们拍的数量„„

生：（大声齐）一样了。

师：用今天的新词来说，就是„„

生：平均分。

师：平均了，对吗？同学们的理解和感受非常到位，我告诉大家，7就是8、4、7、9这一组数的平均数。板书：平均数

师：叫什么名字？

生：平均数。

师：这个平均数它就比较好的反映了这一组数据的一个总体的水平，（指向板书）就是同学们刚才讲的，平均每个人拍了多少个呢？

师：那你看看，甲队平均每个人拍了几个？

生：8个。

师：比一比，甲队和乙队哪个队的总体水平稍稍的高一些呀？

生：甲队。

师：哎呀，尽管吴老师很努力了，我也在使劲地拍呀拍，但是我并没有挽救我们乙队失败的下场。你们想一想，如果吴老师怎样，我们就有可能战胜他们？你设想一下！ 生1：可能不拍就会比他们。

师：（不服气地神情）你算了吧，你！（笑）不拍的时候你们比人家少多了呀！ 师：你设想设想，如果吴老师怎么样。

生2：乙队也除以3那就好了。

师：哪有这么好的便宜事啊！4人拍除以3！你说呢？

生3：吴老师至少还要拍2个。

师：听一听，听她说的话，至少还要拍几个？你的意思我明白，就是吴老师如果拍的再多一点，说不定我们就有可能战胜了甲队。

生：还可以要后面的两个同学多拍几个就行了。

师：后面的同学再加点油，我们的平均数也就„„

生：（插嘴）长高了！

[赏析：“等待是尊重,等待是艺术,等待是策略。”吴老师是这样说，也是这样做的。] 师：平均数就长高了，（向插嘴的同学）真可爱也！你要说什么？

生：平均数就应该升高了。

师：平均数就应该升高了，我们能战胜他们了，好极了，同学们。太聪明了，吴老师真的喜欢你们！刚才我们比总数，大家认为当人数不相等的时候，还来比总数，不公平！这个小姑娘跟老师抗议了，那么在这种情况下，你们说，是谁，来到了我们中间？ 生：（齐）平均数。

师：平均数来了，帮我们解决了这个难题，此时此刻，你不想面对平均数跟他说两句你赞美的话吗？平均数啊，平均数，谁想跟他说一句？平均数帮我们解决了问题，你不想对平均数说什么吗？

生1：平均数，你太伟大了！帮了我们一个大忙！

师：哎呀，太伟大了，帮了我们一个大忙！你想说什么？

生2：平均数可以帮助人类解决问题。

师：她发现了平均数能帮我们解决问题，你说呢？

生3：平均数，你早不来，晚不来，不然我们就胜了。

师：你早不来，晚不来，就在我们需要他的时候，他来了！

[赏析：平均数有了生命力，它成了孩子们的朋友，成为课堂的一员。构建富有生命活力的课堂，让学生成为全面发展的人，凸现三维目标的培养，吴老师不光给学生，也给听课者上了很好的一课。]

师：但是我问同学们，你们说，是谁把平均数带进了我们的课堂？

生：吴老师。

师：不对，不对。这个主意可不是我出的。什么28除以4啊，25除以3呀。在座的有一个非常重要的人物！我们把他呼出来，一起喊他的名字！

生（齐）：刘圣！

师：刘圣在哪里？过来过来，哎呀，我们比总数不公平，大家都急了，是刘圣同学首先提出来，能不能把它除以3，把它除以4，提出了一个新的解决问题的办法，我说象刘圣这样的学习就叫做„„

生：平均数。

师：（假装不屑地，生也开心的笑）你们真会说话！叫什么学？

生1：我觉得不叫什么学，应该叫公道人。

生2：我觉得他是一个认真听课，爱学习的人。

师：爱学习的人，老师还没有讲呢，他就自己创造新的办法解决问题，我建议我们把最热烈的掌声送给刘圣。（生鼓掌）

师：说句什么？

刘圣：（自信的笑）谢谢！

[赏析：老师用一颗真诚地爱心，鼓励学生创新，帮助学生建立自信，让学生体验到探究的乐趣，感受到数学的美妙。]

师：不客气！好了，同学们，平均数就在我们需要的时候，他来了！想一想，在过去的学习中，你在哪碰到过他，什么时候需要算平均数啊？

生：比如说，两个绘画班，它们要人数一样，可是一个多，一个少。

师：在绘画班，见到了平均数，是这个意思吗？

生：在除法中。

师：平均数用除法求得的，好极了！

生：有25个苹果，有5个人，就用平均数来除。

五、联系生活，拓展延伸

师：好，你说把25平均分成5，这是不是我们今天研究的平均数呢？你带着这个问题继续走进我们的课堂，我们再慢慢体会，好不好？那么有的同学一时还想不起，没有关系，吴老师为你们提供了一些素材。

1、浦东机场日平均起降航班架次

师：你来看，这是哪里？

生：飞机场。

师：这就是浦东机场日平均起降航班达到了379架次。（屏幕出示：（1）浦东机场日均起降航班达379架次。）

师：你能用自己的语言说说什么叫 “日均起降航班达379架次”呢？用自己的话来说说！

生：就是用379„„（摸脑袋笑了，说忘记了）

师：忘记了，没关系，那么我请问，每天不多不少，准得来379次，是这样吗？ 生：是的。

师：是的，这是你的认识，有没有不同意见？

生：就是每天起降379架。

师：对，我同意你的意见。什么叫 “日均起降航班达379架次”呢？

生：就是一天起379架，第2天还是起379架。

师：这是你的理解，那我们的平均数是这样得来的吗？都得是每人拍7个7个7个7个，是这样的吗？（生摇头）那你理解理解，平均来了379架次是什么意思？设想设想，今天有可能怎么样？

生：有可能比甲队强。

师：哎哟，还想着比赛的事呢。

生1：有可能有一天比较少。

师：她说有有可能有一天比较少，那么还有可能有一天。。。。。。

生：比较多。

师：但是这些天把它们（作拉平的手势）平均了，平均每天达多少次？

生：379次。

师：哎呀，这个小朋友他用自己的语言谈感受，非常好！我明白了你的意思，也就是说，不见得每天正好来379架次，对不对？有可能比它。有可能比它。（师做手势，生齐答）但是这些天平均起来，每天起降多少次？

生：379次。

师：就象这里，有的比7多，有的比7少，但是这4个数（8、4、7、9）平均起来，是多少？

生：7个。

师：我们再来看。

[赏析：多次运用体态语言，帮助学生理解“平均数”概念的本质。]

2、上海磁悬浮列车周一至周五的日均客流量

（屏幕出示，师读题：上海磁悬浮列车周一至周五的日均客流量为4000余人次。） 师：你怎么理解这句话？每天不多不少，整4000吗？

生1：可能有些天比4000多，也有些天比4000少，因为那上面还有“余”，就是除法中的余数。

师：可能比它多，可能比它少，但是。。。。。。

生：平均了.

师：平均起来大约是4000余人，对吗？越感受越到位了。好，其实在我们的网上，你看看，还有好多关于平均数的介绍呢，平均数就在我们的身边。那么接下来呢，这里有这样一个问题，想和你们一起来讨论。屏幕出示下图：

3、五一期间北京自然博物馆门票

五一期间北京自然博物馆日均门票数

师：看到这副统计图，你知道了什么？

生：我知道了2日的人数最多。

师：观察的太仔细了！

师：你还知道了什么？

生：我知道了5日的人数最少。

师：你观察也很细心哟！

师：那么1日来了多少人？

生：1100人。

师：2日来了多少人？

师：3日呢？

生：1300人。

师：4日？

生：9000人。

师：哇！（其他学生纠正900人）没关系的。5日来多少人？一起来说。

生：700人。

师：小朋友们好厉害呀！这样的一副统计图，你们读懂了这么多的信息，这写的是五一期间北京自然博物馆门票售出的统计图。看到这些信息，你还想知道什么？

生：我想知道他们总共加起来有多少人。

师：他想知道这5天卖了多少张票啊？你想知道什么？

生：我想知道星期六和星期天还有多少人。

师：你还想往下知道呢，你很好奇，好极了！你还想知道什么？

生：我还想知道为什么2日的人数多一些，5日的人数少一些？

师：看看，你们想知道这么多的内容。你还想知道什么数？

生：我还想知道最多的人数减去最少的人数的得数是多少？

生：我还想知道这5天加起来平均分，每天有多少人？

师：看看，同学们，有这么多问题要了解呢！你还想知道什么？

生：我还想知道下个星期二的比这个星期二的多还是少？

师：会怎么样？你想预测预测，是不是？好极了，同学们。想了解的东西这么多，同学们有这么多问题，那我先提个要求，

师：不许计算，估一估，看看这副图，请你估计一下这5天平均每天售门票大约多少张呢？同学们，估计就可以不准，只报你猜的那个数，好不好，大点声音报。

生1：1000多人。

生2：我估计是5300人。

生3：我估计是4000多人。

师：平均每天来了多少人？估计估计。

生4：我估计是700左右。

生5：我估计是4900人。

师：我可问的是平均每一天啊。

生6：2000多人。

生7：差不多是1000人吧。

师：他说差不多是1000人吧。

生8：我估计的是5000人。

师：好，这是你估计的。

生9：我觉得大概是4000左右。

师：好了，这样吧，你们都把你估计的那个数悄悄地藏在自己的心里，好吗，藏好了吗？

生：藏好了。

师：估计的准不准？有什么办法吗？

生：用计算器算一算。

师：听一听，他说我们自己算一算，自己试一试！这是很好的学习办法。那么接下来，我们自己真的算一算，好不好，开始！先拿出笔来，列出算式，你们愿意直接用计算器也可以。我来说数，第一个数，1100，第二个数1300，第三个数1000，第四个数900，最后一个700。你算完了，好快呀，一会要介绍你怎么算的。开始吧。平均这5天每天来了多少人？每天卖了多少张票？开始。（巡视，与生个别交流）

师：你怎么这么快呀！悄悄的告诉我，你是怎么算的？哦，你用计算器算的，好极了！有没有没用计算器算的？

生：老师，我有别的好办法！

师：看看谁的办法最好？

师：你算完了，多少？请问你是怎么算的？

生1（曾格）：我是把这几个数全都加起来，再除以5 。

生2（彭沐）：2日多一些给5日，1日多一些给4日。（师屏幕演示“移多补少”） 师：曾格法是什么法？彭沐法是什么法？与生一起复述生1、生2的方法。

师：你们看看，条条道路通北京啊！我们选择哪一条路，都是可取的。给自己掌声！ 师：谁刚才估计的那个数，1000，900多，800多，1100，1200，都算比较准确。因为我们说了，估计嘛，就可以不准，对不对？估计的差不多的同学把手举起来！ （生举手示意，有生小声说自己对了。）

师：你估计对了，祝贺你！3000那位同学在哪儿呢？没关系，来来，过来，过来。5000多是谁？4900的那位在哪里？（请4名估计不够准确的同学上前.）我们一起讨论问题嘛，学习嘛就允许我们出问题，他们估计的都是900多，1000，1100，你估计的是5000，（生：4900）那好了，你们不想跟同学们交流交流吗？你们怎么估计的那个数跟我们验证的结果差不多呀！请他们把经验介绍给咱们，好吗？

生：请你们把你们的经验介绍给我们，好吗？

师：你找个你最信任的人。

生：我想吧，1日，2日，3日，4日，5日，加起来就应该有5000多，可是人家说是平均，平均„„

师：平均数，对不对。你的意思是说，平均数不可能比那总数还多，对吗？ 生：对！

师：这是你的意见，你们听懂了吗？还有什么意见？

师：你怎么不估计3000,4000呢?

生：最多的才1300。

师：（认真听的动作）你说什么？

生：最多的才1300。还要平均分，那更加不行了。

师：那就不行了，最多的才1300，那你的意思是说，怎么着，这平均数也不会比1300。 生：（齐）高。

师：估计300行不行?

生七嘴八舌，不行！不行！也不能估这么低呀!

师：怎么不行?

生: 1日1300了.

生：5日700呀！

生：不行,最少还是700。

师：你们听出点味来了吗？他们的意思就是说，平均数。

生：平均数要比最少的数多一些，最多的数少一些。

师：人家猜的都在最低和最高的里面来回转悠，可是你们却跑到它的上边去想了，知道平均数怎么找了吗？

生：知道。

师：同学们，吴老师非常佩服一次就能猜得那么准的人，说明这些同学思考问题有根有据。譬如说，这个同学，她说平均数不能比总数高，那个同学说，平均数不能比最高的那个数多，这个同学说，还不能比最低的那个数少，他们思考问题有根有据，理应受到大家的表扬，但是我告诉大家，吴老师更佩服这三位，尽管人家第一次跑到外面去（生：转悠），但是他们学会了碰到问题和同学们进行（生：讨论，交流）讨论，交流，而且你们三个人特

别会倾听别人的发言，还能够接纳别人的意见,来修正自己，我说象这3位小朋友这样学习,一定会进步得更快。欢迎他们回座。

师：同学们，问题讨论到这，我还有个问题呢，如果你是馆长，你一看，从2日来的人越来越少了，没有人来参观了，馆长同志,你有什么更好的办法?

生1：我可以发票让他们来，打个广告。

生2：我可以把票价优惠一点。

师：好个女馆长！把票价降低下来。还有什么办法？

生3：为穷的人不要钱，免费演出，那人就变多了。

师：多有爱心哪！让有困难的人来参观我们的自然博物馆。

生4：送一些票给别人。

生5：可以把节目准备更精彩一些。

[赏析：时时处处以学生为本位的教学策略让学生的创新成为现实，让学生的错误变得美丽，让课堂变得鲜活。]

师：提高我们的办馆质量，把更多的自然标本引进来。当然，你们还有更多的智慧火花，（学生兴致勃勃）行了，行了，我会把你们的想法带到北京去，谢谢你们。同学们，接下来，还有这样一个信息呢！（屏幕出示：严重缺水地区每人每天用水量约3千克） 师：看懂了什么没有？

生：看懂了。

师：接下来往下看。屏幕分步出示下图：

4、2002年小刚家各季度用水量中的平均数

2002年小刚家各季度用水量情况统计表

平均每月用水多少吨?

(1) (16+24+35+21) ÷ 4

(2) (16+24+35+21) ÷ 12

(3) (16+24+35+21) ÷ 365

师：一季度用了多少吨？二季度？三季度？四季度？

生看图回答

师：现在我们想求“平均每月用水多少吨？”莫急，不需要计算，老师在这里给了三个不同的算式，每个同学独立思考，拿出你个人的意见，要想求“平均每月用水多少吨？”，你是选择1、2、3哪个算式呢？想好了，用手势告诉大家！预备，开始！

生用手势示意自己选择哪个答案。大多数同学选1。

师：人家有选2的，别着急！请选2的同学上前。

师：同学们选几？

生：1。

师：同学们不支持你们，还坚持吗？

生：还坚持。

师：选1的出两个代表。（请生上前）一场辩论会马上就要开始了，到底选1对，还是选2对，我也糊涂了，你们能不能互相问问问题，好吗？谁先开始？两队辩论: 生：请问题目中问的是什么问题？（师：回答）

生：题目问的是“平均每月用水多少吨？”（师：接着问）

生：那一个季度有多少个月？

生：一个季度3个月。（师：那一年呢？接着问。）

生：那一年有多少个月呢？

生：12个月。

生：既然有12个月，为什么要除以4呢？（师：不除以）而不除以12呢？ 生：因为他有4个季度，所以除以4。

生：（迫不及待）因为问的是平均每个月，（师：谁要你求？）

生：谁要你求每个季度啊？

师：那你同意就可以到那边去。

生：我还是在这边。（拍自己胸脯）

生：人家要你求每个季度了吗？人家是要你求一个月的。

师：是啊，人家要你求平均每个月的，你们说，应该除以几啊？

生：（齐）12。

师：我同意大家的意见，应该除以12。他们除以4了，有没有道理呢？那么你们求的是什么？

生：平均每个季度用水情况。

师：是吧，可惜人家根本就„„

生：人家根本就没问平均每个季度用水多少吨。

师：人家问你们了吗？那你们还求！听懂了吗，同学们。

生：听懂了。

师：有道理，你除以4，求的是平均每个季度的，除以12个月，是平均每个„„除以365天是平均每„„（生一起回答）

师：明白了吗？是几个人平均每天的呀？

生：3个人。

[赏析：辩论活动改变了学生的学习方式，关注学生的学习过程，让生生互动达到了高潮。]

师: 老师告诉你，如果想求平均每人每天哪，再除以3，吴老师帮你们算出来了。 （屏幕出示：小刚家平均每人每天用水量约88千克，严重缺水地区每人每天用水量约3千克）

师：面对着这副图画，你们最想说的一句话是什么？

生：我觉得他们一天用的水非常多。

师：那我们就去指责小刚吧，怎么那么浪费水呢？你们最想说的一句话是什么？ 生：我们最想说的一句话是他们最好平均每天少用一点水。

师：那你去批评他们吧！你想说什么？

生：我想说，他应该珍惜每一滴水。

师：他（重音）应该珍惜每一滴水。你想说什么？

生：我想说，他应该把洗衣服，洗澡的水留下来冲厕所。

师：那你就去说他吧！他应该怎样！还有没有想说别人的？

生：我想对他说，小刚，我希望你捐一点水到严重缺水地区去。

师：你们知道我最想说的是什么吗？

生：不知道。

师：节约用水，从我自己做起！好的，小朋友们，回到座位上，不知不觉，下课的铃声已经拉响了，你们告诉我，上课有意思吗？

生：（响亮地）有！

师：还研究吗？

生：研究！

[赏析：吴老师运用生活中的事例，引导学生展开探究，既训练了学生的思维能力，语言表达能力，又让学生在情感态度与价值观方面获得进一步发展，更体现了数学的价值和作用]

师：下课不下课？上课真的好？好，尊重你们的意见，还研究一个问题。

5、小明会遇到危险吗?

屏幕出示画面，师配以画外音:一条弯弯曲曲的小河，穿过了一片土地，平均水深110

厘米，你们看，谁来呢？小明来了！哈哈，我不会游泳，但是我告诉大家，我的身高可是135厘米呀，如果我在这条河里面玩耍，我有没有可能会遇到危险?

生：（异口同声）有可能。

师：为什么有可能?谁这节课还没有发言的？你来给我们解释解释！为什么有可能会遇到危险?你知道平均水深是什么意思吗？

生：（在老师的提示下）说明有的地方很深，有的地方很浅。但是平均起来是110厘米。 师：如果小明到了？

生：到了深的地方，他就会淹下去。

师：你们听懂她的话了吗？

生：听懂了。

师：这个小姑娘一节课没捞到发言，但是最后的解释精彩吗？

生：精彩。

师：金口玉言哪！你还想说什么？

生：我觉得小明没有危险,因为他带一个游泳圈就够了。

师：哎呀，你好聪明！带个游泳圈就淹不死了。

生：我觉得小明还是有危险，他如果这样呢？（将头低下去）

师：有可能栽跟头。你们想的问题挺全面，我们还可以下课后接着讨论！下课不下课？

[赏析：数学来源于生活，又应用于生活。吴老师的课，让我们看到了“人人学有价值的数学，不同的人在数学上获得不同的发展”这一理念。]

生：不下课！

师：上课真的很好吗？

生：真的很好！

六、回顾总结，余味无穷

师：能告诉我这节课你最大的收获? 你最开心的事?还有遗憾的地方?

生：我最开心的事我学会了求平均数。

师：有所收获。还有什么遗憾的地方吗？

生：因为时间不够，所以我们还没有学到更多的知识。

师：时间这么短就下课了！还想跟吴老师说什么吗？

生：我觉得我很遗憾，因为我有一题答错了。

师：没关系！还有再努力的机会！

生：我觉得我很快乐，因为我学会了用除法求平均数。

师：他学会了求平均数的方法。你呢？

生：我有遗憾。我就是对创造下课的人，我觉得他不对，为什么不让我们多学一点呢？ 师：就是啊！怎么一节课这么短就拉铃了。同学们，吴老师也有收获，我认识了在座的每一位，是吴老师最大的收获，我也有遗憾，这节课还有哪个小朋友没有请你来回答问题？举起手来！尽管我很努力了，但是还没有照顾到你，原谅我！有机会上课，我一定再请你回答，好吗？我建议我们一起谢谢这两位老师，她们一直坐在那里为我们递话筒，让我们一起说谢谢！

[赏析：学生感受到学习数学的快乐，这源于吴老师的教学艺术。《人民教育》在2004年第17期“呼唤教育的诗篇——追踪吴正宪的课堂”一文中提到：吴正宪的数学课，就是一个个美丽的“陷阱”，是一首首美丽的诗，学生听了不由自主“深陷”其中；教师听了也不禁留恋往返，把上出这样的课作为自己的梦想和追求。的确，听完吴老师的课，在激动和感动之余，在一遍又一遍的品味之中，我们每次都会有全新的感受。让我们再次为吴老师精湛的教学艺术、近乎完美的课堂教学、创新与务实的专业引领喝彩！]

教师怎样评课

教学目标是教学的出发点和归宿，它的正确制订和达成，是衡量课好坏的主要尺度。所以分析课首先要分析教学目标。

（1）从教学目标制订来看，要看是否全面、具体、适宜。依据《课标》，教学目标中的要求，全面是指要从知识、能力、思想感情、学习策略、文化策略等五个方面来确定教学目标；具体是指知识目标要有量化要求，能力、思想情感目标要有明确要求，体现学科特点（参见课标）；适宜是指确定的教学目标，能以大纲为指导，体现年段、年级、单元教材特点，符合学生年龄实际和认识规律，难易适度。

（2）从目标达成来看，要看教学目标是不是明确地体现在每一教学环节中，教学手段是否都紧密地围绕目标，为实现目标服务。要看课堂上是否尽快地接触重担内容，重点内容的教学时间是否得到保证，重点知识和技能是否得到巩固和强化。

2、从处理教材上分析：

评析老师一节课上的好与坏不仅要看教学目标的制定和落实，还要看教者对教材的组织和处理。评析教师一节课时，既要看教师知识教授的准确科学，更要注意分析教师教材处理和教法选择上是否突出了重点，突破了难点，抓住了关键。

3、从教学程序上分析（教学程序评析包括以下几个主要方面）：

（1）看教学思路设计：

教学思路是教师上课的脉络和主线，它是根据教学内容和学生水平两个方面的实际情况设计出来的。它反映一系列教学措施怎样编排组合，怎样衔接过渡，怎样安排详略，怎样安排讲练等。

教师课堂上的教学思路设计是多种多样的。为此，评课者评教学思路，一要看教学思路设计符不符合教学内容实际，符不符合学生实际；而看教学思路的设计是不是有一定的独创性，超凡脱俗给学生以新鲜的感受；三看教学思路的层次，脉络是不是清晰；四看教师在课堂上教学思路实际运作效果。

（2）看课堂结构安排

教学思路与课堂结构既有区别又有联系，教学思路侧重教材处理，反映教师课堂教学纵向教学脉络，而课堂结构侧重教学技法，反映教学横向的层次和环节。它是指一节课的教学过程各部分的确立，以及它们之间的联系、顺序和时间分配。课堂结构也称为教学环节或步骤。

计算授课者的教学时间设计，能较好地了解授课者授课重点、结构。安排授课时间设计包括：①计算教学环节的时间分配,看教学环节时间分配和衔接是否恰当.看有无前松后紧或前紧后松现象,看讲与练时间搭配是否合理等。②计算教师活动与学生或殴打能够时间分配，看是否与教学目的和要求一致，有无教师占用时间过多，学生活动时间过少现象。③计算学生的个人活动时间与学生集体活动时间的分配。看学生个人活动，小组活动和全般活动时间分配是否合理，有无集体活动过多，学生个人自学、独立思考、独立完成作业时间太少现象。④计算优差生活动时间。看优中差生活动时间分配是否合理。有无优等生占用时间过多，差等生占用时间太少的现象。⑤计算非教学时间，看教师在课堂上有无脱离教学内容，做别的事情。浪费宝贵的课堂教学时间的现象。

4、从教学方法和手段上分析：

教学方法：是指教师在教学过程中为完成教学目标、任务而采取的活动方式的总称。包括教师“教”的方式，还包括学生在教师知道下“学”的方式，是“教”的方式与“学”的方式的统一。

评析教学方法与手段包括以下几个主要内容：

（1）看是不是量体裁衣，优选活用？教学有法，但无定法，贵在得法。教学是一种复杂多变的系统工程，不可能有一种固定不变的万能方法。一种好的教学方法总是相对而言的，它总是因课程，因学生，因教师自身特点而相应变化的。也就是说教学方法的选择要量体裁衣，灵活运用。

（2）看教学方法的多样化。教学方法最忌单调死板。教学活动的复杂性决定了教学方法的多样性。所以评课既要看教师是否能够面向实际恰当地选择教学方法，同时还要看教师能否在教学方法多样性上下一番功夫，使课堂教学超凡脱俗，常教常新，富有艺术性。

（3）看教学方法的改革与创新。评析教师的教学方法既要评常规，还要看改革与创新。尤其是评析一些素质好的骨干教师的课。既要看常规，更要看改革和创新。要看课堂上的思维训练的设计，要看创新能力的培养，要看主题活动的发挥，要看新的课堂教学模式的构建，要看教学艺术风格的形成等。

（4）看现代化教学手段的运用。现代化教学呼唤现代教育手段。教师还要适时、适当运用投影仪、录音机、计算机、电视、电影、电脑等现代化教学手段。

5、从教师教学基本功上分析：

教学基本功是教师上好课的一个重要方面，所以评析课还要看教师的教学基本功。

（1）看板书：设计科学合理；言简意赅；条理性强；富有艺术性（字迹工整美观，板画娴熟等）

（2）看教态：教师课堂上的教态应该是明朗、快活、庄重，富有感染力。仪表端庄，举止从容，态度热情，热爱学生，师生情感交融。

（3）看语言：教学也是一种语言的艺术。教师的语言有时关系到一节课的成败。教师的课堂语言，要准确清楚，精当简练，生动形象有启发性。教学语言的语调要高低适宜，快慢适度，抑扬顿挫，富于变化。

（4）看操作：看教师运用教具，操作投影仪、录音机、微机等熟练程度。

6、从教学效果上分析：

“分析一节课，既要分析教学过程和教学方法方面，又要分析教学结果方面。”看课堂教学效果是评价课堂教学的重要依据。课堂效果评析包括以下几个方面：

一是教学效率高，学生思维活跃，气氛热烈。

二是学生受益面大，不同程度的学生在原有基础上都有进步。知识、能力、思想情操目标达成。

三是有效利用40分钟，学生学得轻松愉快，积极性高，当堂问题当堂解决，学生负担合理。

课堂效果的评析，有时也可以借助于测试手段。即当上完课，评课者出题对学生的知识掌握情况当场做测试，而后通过统计分析来对课堂效果做出评价。