四面体对棱中点距离的一个不等式
30数学通讯 2001年第5期
四面体对棱中点距离的一个不等式
孔令恩
(青岛华侨学校, 山东 266061)
(山东静
中图分类号:O 123:A文章编号:0488-7395(2001) 05-0030-01 四面体A 23A 4, A i 所对面为s i , s i 的面积为S i . s i , s j θ4) , A i 到s i 距离ij (1≤i
A 2A 4, A 1A 4、A 2A 3的中点距离分别为m 1, m 2, m 3, 与面s i 相切的旁切球半径为r i (1≤i ≤4) . 内切
2θ
S 2sin
2
+S 3sin 2
S 3+S 4-S 1)
θθ(S 2++S 4sin 2=
222
(5)
此即
h 2
sin 2
θθθ+sin 2+sin 2=2h 32h 422r 1
4
2m 2
(6)
球半径为r , 体积为V . 则有以下定理.
定理2m 1
对(4) 两边取6, 即有(注意用(6) )
(1)
+
2m 2
+
2m 3
h i r i
, i =1, 2, 3, 4
4
2m 1
++
4
2m 3
≤
h 1h 2
sin 2
证 取四面体A 1A 2A 3A 4的重心G , 过G 作
GM ⊥s 1于M , GN ⊥s 2于N , 并作GP ⊥A 3A 4于P , 且记∠GPM =
α, ∠GPN =β, 则α+β=θ12.
θ+2h 1h 3
(7)
・sin 2
θθ+sin 2=2h 1h 422h 1r 1
2
m 1
此即(1) . 定理证毕.
, 由
由四面体重心性质易见GM =
GM =GP sin α, GN =GP sin β, 可见
h 4
, GN =
4
推论1+
2m 2
+
2m 324r (3V ) 2
(8)
证 由(7) 可见
αβ
2
2m 1
4
+
h 4
=GP (sin α+sin β) ≤2GP ・sin
+
2
m 2
+
2m 3
h 1r 1
=(2S 1) (S 2+S 3・
=2GP ・sin
θ. 2
2
+S 4-S 1) (3V )
2
[
则
θ2GP ・sin h 1h 2≤
2
() 2
]
2
(2)
=
4r 2
.
3
又易证m 1过G , 则GP 2
2
, 由(2) 即
(3)
h 1h 2≤m 1sin
θ2
3
≤6222, i =1m i i =1d i 4r
其中d i (1≤i ≤3) 为四面体A 1A 2A 3A 4三组对棱间
推论2[1] 6
对(3) 两边平方并变形, 可得
4m 21
的距离.
sin 2
h 1h 2
θ2
(4)
参考文献:
[1] 孔令恩. 四面体对棱距离的不等式. 中等数学,
θ由四面体各面间射影关系, 有S 2cos 12+S 3・θθcos 13+S 4cos 14=S 1, 此即
收稿日期:2000-10-24
1995(1) .