解析几何的产生与数形结合的思想

解析几何的产生与数

形结合的思想

数

学

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书

报

告

目 录

一、解析几何的产生

二、解析几何的基本内容

三、解析几何的意义

四、数形结合思想的概念

五、运用数形结合思想的原则

六、运用数形结合思想的常见问题

七、运用数形结合思想的注意要点

八、数形结合思想的意义

一、解析几何的产生

十六世纪以后，由于生产和科学技术的发展，天文、力学、航海等方面都对几何学提出了新的需要。比如，德国天文学家开普勒发现行星是绕着太阳沿着椭圆轨道运行的，太阳处在这个椭圆的一个焦点上；意大利科学家伽利略发现投掷物体试验着抛物线运动的。这些发现都涉及到圆锥曲线，要研究这些比较复杂的曲线，原先的一套方法显然已经不适应了，这就导致了解析几何的出现。

从笛卡尔的《几何学》中可以看出，笛卡尔的中心思想是建立起一种“普遍”的数学，把算术、代数、几何统一起来。他设想，把任何数学问题化为一个代数问题，在把任何代数问题归结到去解一个方程式。

为了实现上述的设想，笛卡尔茨从天文和地理的经纬制度出发，指出平面上的点和实数对(x,y)的对应关系。x,y 的不同数值可以确定平面上许多不同的点，这样就可以用代数的方法研究曲线的性质。这就是解析几何的基本思想。

解析几何的产生并不是偶然的。在笛卡尔写《几何学》以前，就有许多学者研究过用两条相交直线作为一种坐标系；也有人在研究天文、地理的时候，提出了一点位置可由两个“坐标”（经度和纬度）来确定。这些都对解析几何的创建产生了很大的影响。

在数学史上，一般认为和笛卡尔同时代的法国业余数学家费尔马也是解析几何的创建者之一，应该分享这门学科创建的荣誉。

费尔马是一个业余从事数学研究的学者，对数论、解析几何、概率论三个方面都有重要贡献。他性情谦和，好静成癖，对自己所写的“书”无意发表。但从他的通信中知道，他早在笛卡尔发表《几何学》以前，就已写了关于解析几何的小文，就已经有了解析几何的思想。只是直到1679年，费尔马死后，他的思想和著述才从给友人的通信中公开发表。

二、解析几何的基本内容

在解析几何中，首先是建立坐标系。例如，取定两条相互垂直的、具有一定方向和度量单位的直线，叫做平面上的一个直角坐标系oxy 。利用坐标系可以把平面内的点和一对实数(x,y)建立起一一对应的关系。除了直角坐标系外，还有斜坐标系、极坐标系、空间直角坐标系等等。在空间坐标系中还有球坐标和柱面坐标。

坐标系将几何对象和数、几何关系和函数之间建立了密切的联系，这样就可以对空间形式的研究归结成比较成熟也容易驾驭的数量关系的研究了。用这种方法研究几何学，通常就叫做解析法。

解析几何的创立，引入了一系列新的数学概念，特别是将变量引入数学，使数学进入了一个新的发展时期，这就是变量数学的时期。解析几何在数学发展中起了推动作用。恩格斯对此曾经作过评价“数学中的转折点是笛卡尔的变数，有了变数，辩证法进入了数学；有了变数，微分和积分也就立刻成为必要的了。

三、解析几何的意义

1637年，笛卡儿发表了《几何学》，创立了直角坐标系。他用平面上的一点到两条固定直线的距离来确定点的距离，用坐标来描述空间上的点。他进而又创立了解析几何学，表明了几何问题不仅可以归结成为代数形式，而且可以通过代数变换来实现发现几何性质，证明几何性质。《几何学》卷Ⅱ讨论曲线的性质的内容，标志着解析几何的诞生。笛卡儿不仅在哲学领域里开辟了一条新的道路，而且在数学上也有非凡的成就，推动了数学发展的进程。 当时，代数还是一门比较新的科学，几何学的思维还在数学家的头脑中占有统治地位。 解析几何的出现，改变了自古希腊以来代数和几何分离的趋向，把相互对立着的“数”与“形”统一了起来，使几何曲线与代数方程相结合。笛卡儿的这一天才创见，更为微积分的创立奠定了基础，从而开拓了变量数学的广阔领域。恩格斯对此作了高度的评价，他说：“数学中的转折点是笛卡尔的变数。有了变数，运动进行了数学；有了变数辩证法进行了数学；有了变数，微分和积分也就立刻变成了必要，而它们也能立刻产生了„”

解析几何的创立使数学（当时主要是代数和几何）研究有了行之有效的方法。几何概念可以用代数表示，几何的目标可以通过代数去达到。反过来，给代数语言以几何解释，可以直观的掌握代数语言的意义，又可以得到启发去提出新的结论。

设直尺GL 的一端固定在G 点上，可以绕G 点旋转，AK ⊥GA ，有一个三角板CKB 的边BK 贴在AK 直线上，上下移动，使直尺通过三角板BK 边上的固定点L ，求GL 与三角板CK 边（或

延长线）交点C 的轨迹。

笛卡尔选直线AB 为量度点的位置标准，以A 为原点（即AB 为横坐标轴，A 为坐标原点），如图一所示。

作NL ⊥AK ，“因为CB 与BA 是两个位置的未知和未定的量（指变量），我们分别命它们为y 和x ”，

又设GA=a，KL=b,NL=c

∵c ：b=y：BK

b b y ,AL=x+y -b c c

b b 又CB ：BL=y：(y -b )=GA:AL=a(x+y -b ) c c

ab b y -ab =xy+y 2-by ∴c c

cx 2y +ay-ac 从而所求转变的方程是y =cy-b ∴BK=

参考文献：[1]朱家生《数学史》第二版，高等教育出版社2011.5

[2](美) 约翰·塔巴克《几何学》张红梅、刘献军译，商务印书馆2008.2

[3]汪晓琴、韩祥临《中学数学中的数学史》，科学出版社2002.7

[4]张红《数学简史》，科学出版社2008.1

四、数形结合思想的概念

包含“以形助数”和“以 数辅形”两个方面，其应用大致可分

为两种情形：一是借助形的生动性和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数作为目的，比如应用函数的图象来直观地说明函数的性质；二是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质。

五、运用数形结合思想的原则

（1）等价性原则. 在数形结合时，代数性质和几何性质的转换必须是等价的，否则解题将会出现漏洞. 有时，由于图形的局限性，不能完整的表现数的一般性，这时图形的性质只能是一种直观而浅显的说明，要注意其带来的负面效应.

（2）双方性原则. 既要进行几何直观分析，又要进行相应的代数抽象探求，仅对代数问题进行几何分析容易出错.

（3）简单性原则. 不要为了“数形结合”而数形结合. 具体运用时，一要考虑是否可行和是否有利；二要选择好突破口, 恰当设参、用参、建立关系，做好转化；三要挖掘隐含条件，准确界定参变量的取值范围，特别是运用函数图象时应设法选择动直线与定二次曲线.

六、运用数形结合思想的常见问题

（1）构建函数模型并结合其图象求参数的取值范围;

（2）构建函数模型并结合其图象研究方程根的范围；

（3）构建函数模型并结合其图象研究量与量之间的大小关系；

（4）构建函数模型并结合其几何意义研究函数的最值问题和证明不等式；

（5）构建立体几何模型研究代数问题;

（6）构建解析几何中的斜率、截距、距离等模型研究最值问题；

（7）构建方程模型，求根的个数；

（8）研究图形的形状、位置关系、性质等。

七、运用数形结合思想的注意要点

（1）准确画出函数图象，注意函数的定义域；

（2）用图象法讨论方程（特别是含参数的方程）的解的个数是一种行之有效的方法，值得注意的是首先要把方程两边的代数式看作是两个函数的表达式（有时可能先作适当调整, 以便于作图），然后作出

两个函数的图象，由图求解。

八、数形结合思想的意义

数形结合是研究数学和数学教学中的重要思维原则之一，其解法跨越了数学各分科知识的界限. 数形结合是沟通数形之间的联系，并通过这种联系所产生的感知或认知的作用，形成和谐完美的数学概念，寻找问题解决途径的一种有效方法. 数形结合是直观与抽象，感知与思维的结合。

数形结合思想采用了代数方法和几何方法最好的方面：几何图形形象直观，便于理解；代数方法的一般性，解题过程的程序化，可操作性强，数形结合的思想方法是学好中学数学的重要思想方法. 因此，研究数形结合思想是相当必要的。

已知实数x,y 满足x ·x+y·y=3(y≥0) ， m =

（1）求m 的取值范围； y +1, x +3b = 2x +y ,

（2）求证： b ∈[-23, ].

思维启迪 ：m 可以看作两点（x,y ）与(-3,-1)连线的斜率，b 可以看作直线y=-2x+b在y 轴上的截距.

解 (1)m可看作过半圆x2+y2=3(y≥0) 上的点

M（x,y ）和定点A （-3，-1）的直线的斜率.

由图可知k1≤m ≤k2(k1,k2分别为直线AM1，AM2的斜率) ，

k 1=13-=, 63+

圆心到切线k2x-y+3k2-1=0的距离为

3k -13±21 d =2=3, k 2=(舍去负值) ，26k 2+1

∴3-3+21≤m ≤. 6 6

(2)证明 b可看作斜率为-2, 过半圆x ·x+y·y=3(y≥0) 上一点P （x,y ）的直线在y 轴上的截距.

由图可知n2≤b ≤n1,P2C 的方程为 y =-2(x +3), 令x = 0, y =n 2=-2,

c ∵圆心到切线P1B ：2x+y+c=0的距离 d = , =

∴c =±, ∴n =, ∴-2≤b ≤. 1

探究提高 条件中的数量关系决定了几何图形的性质，反之，几何图形的性质反映了数量关系，数形结合思想能将抽象思维与形象思维有机地结合起来，恰当地运用可提高解题速度，优化解题过程。

已知实系数一元二次方程x ·x+ax+2b=0 有两个根，一个根在区间（0，1）内，另一个根 在区间（1，2）内，求：

（1）点（a,b ）对应的区域的面积；

（2

（3）(a-1)2+(b-2)2的值域.

解 方程x2+ax+2b=0的两根在区间（0，1）和

(1,2)上的几何意义分别是：函数 2b -2a -1 y=f(x)=x+ax+2b与x 轴的两个交点的横坐标分y 别在区间(0，1）和（1，2）内，由此可得不等式组

f(0)>0,

f(1)0, ,

⎧a +2b +1=0, ⎧a +b +2=0, ⎨ B (-2, 0), 由解得A (-3, 1). 由⎨解得

⎩a +b +2=0. ⎩b =0.

⎧a +2b +1=0, 由⎨解得C (-1, 0). ⎩b =0.

在如图所示的aOb 坐标平面内, 满足约束条件的点（a,b ）对应的平面区域为△ABC （不包括边界）. 11S ∆ABC =⨯BC ⨯h =22

（1）△ABC 的面积为 b -2（2的几何意义是点（a,b ）和点D （1，2）连线的斜率. a -1

2-112-0b -2 k AD ==, k CD ==1, 由图可知k AD

1

(h为A 到Oa 轴的距离). b -2b -21∴

(3)∵(a-1)2+(b-2)2表示区域内的点(a,b)与定点(1，2) 之间距离的平方,

∴(a-1)2+(b-2)2∈(8,17).

参考文献：[1] 袁桂珍. 数形结合思想方法及其运用[J]. 广西教育 , 2004,(15) .

[2] 张亮. 数形结合法的几个应用[J]. 井冈山师范学院学报 , 2003,(05) .

[3] 莫红梅. 谈数形结合在中学数学中的应用[J]. 教育实践与研究 , 2003,(12) .

[4] 施献慧. 数形结合思想在数学解题中的应用[J]. 云南教育 , 2003,(35) .

[5] 王银篷. 浅谈数形结合的方法[J]. 中学数学 , 2004,(12) .