巧用赫尔德不等式求最小值
中等数学
巧用赫尔德不等式求最小值
李成章
（南开大学数学科学学院，!&&&$%）
!-求函设%、&
(’）.
这是数学奥林匹克小丛书《平均值不等
题目
式与柯西不等式》中的一道题目-书中是用带参数的柯西不等式证明的，而且用了两次，证明的难度之大、技巧性之强都是罕见的-本文介绍使用赫尔德不等式的简捷解法-需要说明的是，恰当地使用赫尔德不等式的关键在于选择好指数对（%，&）-因为本题表达式中已用字母%和&，故在下面的解法中改用（!，-
解：取!.
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由赫尔德不等式有%’&012’’340’.（012’（340’%，’
（012
**+-
（（%’&(’）.
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012’%
，.562’.340’
时，等号成立-*
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一般地，当甲队有#名队员，乙队有$命题组提供的标准答案给出了两个表达
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（#&，式
#
名队员（#、时，比赛过程为##$
而##’$.##’$/%’##’$/%可以表示甲队$
加上乙队获胜的过获胜的过程有##’$/%种，#
程有##’$/%种-这个情况还可以示意为#列
这反映了命题人对问题本质结构的认识-但这两个式子都可以化简为#$这是%*.!*!
…，乙队队员记甲队队员为!%，!
素的“有序”全排列，从左到右的顺序就是选手被淘汰的顺序，最后的元素是胜方未被击败或未参赛的选手-从这%*个位置中任取$个顺序排上!%，…，有#种排法，从!
更反映问可见，#$%*体现了问题的结构，题的本质关系-$
%*
“纵横路线图”（如图!），从端点!向$行的
上或向右走到端点
图!
右到达点
巧用赫尔德不等式求最小值
作者：作者单位：刊名：英文刊名：年，卷(期)：被引用次数：
李成章， LI Cheng-zhang南开大学数学科学学院,300071中等数学
HIGH-SCHOOL MATHEMATICS2007，
引证文献(1条)
1.孙建斌 构造
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