椭圆大题专练
乐文教育标准化讲义(数学)
椭圆解答题
1、(2011•陕西)设椭圆C:(Ⅰ)求C的方程;
(Ⅱ)求过点(3,0)且斜率为5的直线被C所截线段的中点坐标. 解答:解:(Ⅰ)根据题意,椭圆过点(0,4), 将(0,4)代入C的方程得又e=a=5a即1﹣
16a2c
3
c2a2﹣b2
a916b4x2a
+
y2b=1(a>b>0)过点(0,4),离心率为
5
3
=1,即b=4
=25;
=
925
,∴a=5
x2
y2
∴C的方程为25+16=1
(Ⅱ)过点(3,0)且斜率为的直线方程为y=(x﹣3),
5
5
4
4
设直线与C的交点为A(x1,y1),B(x2,y2), 将直线方程y=5(x﹣3)代入C的方程,得25+即x﹣3x﹣8=0,解得x1=∴AB的中点坐标==
y1+y22
2
x1+x22
2
4
x2
(x﹣3)
25
2
=1,
3﹣ 232
x2=
3+ 2
=
6
=5(x1+x2﹣6)=﹣5
32
65
即中点为(,﹣).
2、(2011•北京)已知椭圆G:a2+b2=1(a>b>0)的离心率为3右焦点为(2 ,0),斜率为I的直线l与椭圆G交与A、B两点,以AB为底边作等腰三角形,顶点为P(﹣3,2). (I)求椭圆G的方程; (II)求△PAB的面积.
解答:解:(I)由已知得,c=2 =
ac
, 3
x2
y2
解得a=2 b=a﹣c=4, 所以椭圆G的方程为12+
x2
y24
222
=1.
(II)设直线l的方程为y=x+m,
y=x+m
得4x2+6mx+3m2﹣12=0.① 由 x2y2
+=1
12
4
设A,B的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2)(x1<x2),AB的中点为E(x0,y0), 则x0=
x1+x22m
﹣
3m4
y0=x0+m=4,
因为AB是等腰△PAB的底边, 所以PE⊥AB, 所以PE的斜率k=解得m=2.
此时方程①为4x+12x=0. 解得x1=﹣3,x2=0, 所以y1=﹣1,y2=2,
所以|AB|=3 P(﹣3,2). 到直线AB:y=x+2距离1
9
2
m
﹣3+
4
2﹣
=﹣1,
=
3 2
所以△PAB的面积s=2|AB|d=2. 3、(2011•北京)已知椭圆G:A,B两点.
(I)求椭圆G的焦点坐标和离心率;
(II)将|AB|表示为m的函数,并求|AB|的最大值.
解答:解:(I)由题意得a=2,b=1,所以c= G的焦点坐标(﹣ 0)( 0)离心率e==
ac
. 2
x24
+y2=1.过点(m,0)作圆x+y=1的切线I交椭圆G于
2
2
(II)由题意知:|m|≥1,
当m=1时,切线l的方程为x=1,点A(1,2) 点B(1,﹣2) 此时|AB|= 当m=﹣1时,同理可得|AB|= ;
y=k(x﹣m)22222⇒当m≠±1时,设切线l的方程为:y=k(x﹣m),由 x2(1+4k)x﹣8kmx+4km+y2=1
4
﹣4=0,
设A(x1,y1),B(x2,y2)则x1+x2=1+4k2,x1•x2=
2
2
8k2m4k2m2﹣41+4k2
又由l与圆圆x+y=1相切∴圆心到直线l⇒m=1+k2k
所以|AB|= (x1﹣x2)+(y1﹣y2)= (1+k2)[(x1+x2)﹣4x1•x2] = (1+k2)•[
64k4m2
﹣
222
4(4k2m2﹣4)4 ∣m∣
1+4k(1+4k2)
m+3
m=±1时,|AB|=
当m≠±1时,|AB|=又|AB|=m2+3=
4 ∣m∣
∣m∣+
4 ∣m∣m2+3
m∈(﹣∞,﹣1]∪[1,+∞)
4 ≤2(当且仅当m=± 时,|AB|=2),
所以,|AB|的最大值为2. 故|AB|的最大值为2.
4、(2011•辽宁)如图,已知椭圆C1的中心在原点O,长轴左、右端点M,N在x轴上.椭圆C2的短轴为MN,且C1,C2的离心率都为e.直线l⊥MN.l与C1交于两点,与C2交于两点,这四点按纵坐标从大到小依次为A、B、C、D. (Ⅰ)e=2|BC|与|AD|的比值;
(Ⅱ)当e变化时,是否存在直线l,使得BO∥AN,并说明理由.
1
解答:解:(I)因为C1,C2的离心率相同, 故依题意可设C1:
x2a
2+
y2b2
=1,C2:
b2y2a4
+
x2a2
=1,(a>b>0)
设直线l:x=t(|t|<a),分别与C1,C2的方程联立,
ab
求得A(t, a2﹣t2),B(t, a2﹣t2)(4分)
b
a
当e=2b=
1
a,分别用2
2∣yB∣2∣yA∣
yA,yB表示的A,B的纵坐标,
b2a可知∣BC∣:∣AD∣===(6分)
4
3
(Ⅱ)t=0时的l不符合题意,t≠0时,
BO∥AN当且仅当BO的斜率kBO与AN的斜率kAN相等, 即
b
a2﹣t2a
a
a2﹣t2b
2
=
t﹣a
.a
解得t=
ab2a2﹣b2
=
1﹣e2e2
因为|t|<a,又0<e<1,所以所以当0<e<
1﹣e2e<1,解得2<e<1
时,不存在直线2
l,使得BO∥AN;
当2<e<1时,存在直线l,使得BO∥AN.
5、(2011•江苏)如图,在平面直角坐标系xOy中,M、N分别是椭圆4+x2
y22
=1的顶点,过
坐标原点的直线交椭圆于P,A两点,其中点P在第一象限,过P作x轴的垂线,垂足为C,
连接AC,并延长交椭圆于点B,设直线PA的斜率为k (1)若直线PA平分线段MN,求k的值; (2)当k=2时,求点P到直线AB的距离d; (3)对任意k>0,求证:PA⊥PB.
解答:解:(1)由题设知,a=2,b= ,
故M(﹣2,0),N(0,﹣ ),所以线段MN中点坐标为(﹣1,﹣ 2
). 由于直线PA平分线段MN,故直线PA过线段MN的中点,,又直线PA过原点, 所以k= 2.
(2)直线PA的方程为y=2x,代入椭圆方程得x2
4x22
4+2
=1,解得x=±3
因此P(2
4
2
4
33
,A(﹣3
,﹣3
)
于是C(23
0),直线AC的斜率为1,故直线AB的方程为x﹣y﹣2
3
.
2
2因此,∣4﹣∣=
2 3
.
(3)设P(x1,y1),B(x2,y2),则x1>0,x2>0,x1≠x2, A(﹣x1,﹣y1),C(x1,0). 设直线PB,AB的斜率分别为k1,k2. 因为C在直线AB上,所以k)y2=
0﹣(﹣y11k
x1﹣(﹣
x1)
=2x=2,
1
从而kk1+1=2k1k2+1=2•
y2﹣y1
x2﹣x1
•
y2﹣(﹣y1)x2﹣(﹣x1)
+1=
4﹣4
x22﹣x12
=0.
因此kk1=﹣1,所以PA⊥PB.
6、(2011•陕西)如图,设P是圆x+y=25上的动点,点D是P在x轴上的摄影,M为PD上一点,且|MD|=5(Ⅰ)当P在圆上运动时,求点M的轨迹C的方程
(Ⅱ)求过点(3,0)且斜率的直线被C所截线段的长度.
54
4
2
2
解答:解:(Ⅰ)设M的坐标为(x,y)P的坐标为(xp,yp) xp=x由已知得: 5
yp=y
4
∵P在圆上,
∴x2+(y)=25,即C的方程为
4
4
5
2
x225
+
y216
=1.
4
(II)过点(3,0)且斜率为5的直线方程为:y=5(x﹣3), 设直线与C的交点为A(x1,y1)B(x2,y2), 将直线方程y=5(x﹣3)代入C的方程,得25+
3﹣ 2
4
x2
(x﹣3)
25
2
=1即:x2﹣3x﹣8=0∴x1=
,x2=
3+ 2
2
2
2
16
∴线段AB的长度为|AB|= (x1﹣x2)+(y1﹣y2)= (1+25)(x1﹣x2)
=
41•414125
5
X2
Y2
7、(2011四川文)过点C(0,1)的椭圆a+b=1, (a>b>0)的离心率为2椭圆与x轴交于两点A(A,0)、B
(-a,0),过点C的直线l与椭圆交于另一点D,并与x轴交于点P,直线AC与直线BD交于点Q.
(I)当直线l过椭圆右焦点时,求线段CD的长; (Ⅱ)当点P异于点B时,求证: OPOQ为定值.
8、(2011年四川理)椭圆有两顶点A(-1,0)、B(1,0),过其焦点F(0,1)的直线l与椭圆交于C、D两点,并与x轴交于点P.直线AC与直线BD交于点Q. (Ⅰ)当|CD|=2 l的方程;
(Ⅱ)当点P异于A、B两点时,求证: 为定值.
OPOQ
3
9、(2011•天津)设椭圆2+2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2.点P(a,b)满足
a
bx2y2
|PF2|=|F1F2|.
(Ⅰ)求椭圆的离心率e;
(Ⅱ)设直线PF2与椭圆相交于A,B两点,若直线PF2与圆(x+1)+(y﹣ =16相交于M,N两点,且|MN|=|AB|,求椭圆的方程.
85
2
2
解答:解:(Ⅰ)设F1(﹣c,0),F2(c,0) (c>0).
cccc1由题得|PF2|=|F1F2|,即 (a﹣c)+b2=2c,整理得2()+﹣1=0,得=﹣1(舍),或=
a
a
a
a2
2
2
所以e=2
(Ⅱ)由(Ⅰ)知a=2c,b= c,可得椭圆方程为3x+4y=12c,直线方程PF2为y= (x﹣c).
3x2+4y2=12c2A,B的坐标满足方程组 ,
y= (x﹣c)消y并整理得5x﹣8xc=0,
x=5cx=08, 解得x=0,x=5c,得方程组的解为 c, 3 y=﹣ y=c
58
2
2
2
2
1
不妨设
A
(5c,
83 5
c),B(0,﹣ ).
83 165
所以|AB|= (5)+(5+ )=5c,于是|MN|=8|AB|=2c.
2
圆心(﹣1, PF2的距离d=因为d+(
2
∣﹣ ﹣ ﹣ ∣
2
2
,
267
∣MN∣2
)=4,所以(2+c)+c=16,整理得c=﹣(舍)或c=2.
4
x2y2
2
2
3
2
所以椭圆方程为+=1.
1612
10、(2011•天津)在平面直角坐标系xOy中,点P(a,b)(a>b>0)为动点,F1,F2分别
的左、右焦点.已知△F1PF2为等腰三角形.
by2
(Ⅰ)求椭圆的离心率e;
=-2,求点M(Ⅱ)设直线PF2与椭圆相交于A,B两点,M是直线PF2上的点,满足 AM∙BM的轨迹方程.
11、(2011•山东文)在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆CX23
+y2=1.如图所示,斜率
为k(k>0)且不过原点的直线l交椭圆C于A,B两点,线段AB的中点为E,射线OE交椭圆C于点G,交直线x=-3于点D(-3,m).
22
(Ⅰ)求m+k的最小值;
2
(Ⅱ)若|OG|=|OD|∙|OE|, (i)求证:直线l过定点;
(ii)试问点B,G能否关于x轴对称?若能,求出此时△ABG的外接圆方程;若不能,请说明理由.
12、(2011山东理)已知直线l与椭圆C:3+
2
x2
y22
=1交于P(x1,y1),Q(x2,y2)两不同
点,且△OPQ的面积S△OPQ=
,其中O为坐标原点. (Ⅰ)证明x12+x22和y12+y22均为定值;
(Ⅱ)设线段PQ的中点为M,求|OM|•|PQ|的最大值;
(Ⅲ)椭圆C上是否存在点D,E,G,使得S△ODE=S△ODG=S△OEG=2?若存在,判断△DEG的形状;若不存在,请说明理由.
13、(2011•上海)已知椭圆C:m+y2=1(常数m>1),P是曲线C上的动点,M是曲线C上的右顶点,定点A的坐标为(2,0) (1)若M与A重合,求曲线C的焦点坐标; (2)若m=3,求|PA|的最大值与最小值;
(3)若|PA|的最小值为|MA|,求实数m 的取值范围.
解答:解:(1)根据题意,若M与A重合,即椭圆的右顶点的坐标为(2,0); 则a=2;椭圆的焦点在x轴上; 则c=
则椭圆焦点的坐标为( 0),(﹣ 0); (2)若m=3,则椭圆的方程为=1;
9x2
2
x2
变形可得y=1﹣9
|PA|=(x﹣2)+y=x﹣4x+4+y=又由﹣3≤x≤3,
根据二次函数的性质,分析可得, x=﹣3时,|PA|=x=时,|PA|=
49
2
2
2
2
2
2
2
2
x2
8x29
4x+5;
8x29
4x+5取得最大值,且最大值为25;
12
8x29
4x+5取得最小值,且最小值为
的
则|PA|的最大值为5,|PA|最小值为2; (3)设动点P(x,y),
则|PA|=(x﹣2)+y=x﹣4x+4+y=当x=m时,|PA|取得最小值,且则
2m2m2﹣1
m2﹣1m2
2
2
2
2
2
m2﹣1mx﹣
2m2
m2﹣1
)+
2
4m2
m2﹣1
+5,且﹣m≤x≤m;
>0,
≥m,且m>1;
解得1≤m≤1+ 14、(2010•辽宁)设椭圆C:
x2a+
y2b=1(a>b>0)的左焦点为F,过点F的直线与椭圆C
→
→
相交于A,B两点,直线l的倾斜角为60°,AF=2FB. (1)求椭圆C的离心率;
(2)如果|AB|=4,求椭圆C的方程.
解答:解:设A(x1,y1),B(x2,y2),由题意知y1<0,y2>0. (1)直线l的方程为y= (x﹣c),其中c= a2﹣b2.
15
y= (x﹣c)
联立 x2y2得(3a2+b2)y2+2 b2cy﹣3b4=0
2+2=1
a
b
解得y1=
→
﹣ b2(c+2a)
,y2
3a+b→
=
﹣ b2(c﹣2a)
3a+b因为AF=2FB,所以﹣y1=2y2. 即
2(c+2a)
3a+b=2•
2
﹣ b2(c﹣2a)
3a+b得离心率e=a=3.(6分)
(2)因为∣AB∣= 1+∣y2﹣y1∣31
c
•
4 23a+b=
154
由=得b=
a
3
c2
5 a.所以a34x2
y25
=
154
,得a=3,b= .
椭圆C的方程为9+
=1.(12分)
15、(2010•辽宁)设F1,F2分别为椭圆C:
x2a
+
y2b=1(a>b>0)的左、右焦点,过F2的直
线l与椭圆C相交于A,B两点,直线l的倾斜角为60°,F1到直线l的距离为2 (Ⅰ)求椭圆C的焦距;
(Ⅱ)如果AF2=2F2B,求椭圆C的方程.
解答:解:(Ⅰ)设焦距为2c,由已知可得F1到直线l的距离 c=2 ,故c=2. 所以椭圆C的焦距为4.
(Ⅱ)设A(x1,y1),B(x2,y2),由题意知y1<0,y2>0,直线l的方程为y= (x﹣2). y= (x﹣2)
得(3a2+b2)y2+4 b2y﹣3b4=0. 联立 x2y2
2+2=1
a
b→
→
解得y1=
→
﹣ b2(2+2a)
,y2
3a+b→
=
﹣ 2(2﹣2a)
3a+b.
因为AF2=2F2B,所以﹣y1=2y2. 即
2(2+2a)
3a+b=2•
﹣ 2(2﹣2a)
3a+b.
得a=3.而a2﹣b2=4,所以b= 故椭圆C的方程为9+
x2
y25
=1.
16、(2010•安徽)椭圆E经过点A(2,3),对称轴为坐标轴,焦点F1,F2在x轴上,离心率e=2
(Ⅰ)求椭圆E的方程;
1
(Ⅱ)求∠F1AF2的角平分线所在直线的方程.
解答:解:(Ⅰ)设椭圆E的方程为
x2y2ab+=1
1
c
1
2
2
2
2
由e=2a=2b=a﹣c=3c,∴4c+3c=1 将A(2,3)代入,有2+
c1
3c2
x2y2
=1,解得:c=2,∴椭圆E的方程为
x2y2
+=1 (Ⅱ)由(Ⅰ)知F1(﹣2,0),F2(2,0),所以直线AF1的方程为y=x+2),
4
3
即3x﹣4y+6=0,直线AF2的方程为x=2,由椭圆E的图形知,∠F1AF2的角平分线所在直线的斜率为正数
设P(x,y)为∠F1AF2的角平分线所在直线上任一点,则有
∣3x﹣4y+6∣
5
﹣2|
若3x﹣4y+6=5x﹣10,得x+2y﹣8=0,其斜率为负,不合题意,舍去. 于是3x﹣4y+6=5x﹣10,即2x﹣y﹣1=0.
所以,∠F1AF2的角平分线所在直线的方程为2x﹣y﹣1=0
17、(2010•山东)如图,已知椭圆a+b=1(a>b>0)过点.(1,PF2与椭圆的交点分别为A、B和C、D,O为坐标原点. (1)求椭圆的标准方程;
(2)设直线PF1、PF2的斜线分别为k1、k2﹣
k11
3kx2
y2
),离心率为,22
左、右焦点分别为F1、F2.点p为直线l:x+y=2上且不在x轴上的任意一点,直线PF1和
=2;②问直线l上是否存在点
P,使得直线OA、OB、OC、OD的斜率kOA、kOB、kOC、kOD满足kOA+kOB+kOC+kOD=0?若存在,求出所有满足条件的点P的坐标;若不存在,说明理由.
解答:解:(1)∵椭圆过点(1,
),e2
=
, 2
∴a2=2b2,a= ,b=c=1, 故所求椭圆方程为
x22
+y2=1;
(2)①由于F1(﹣1,0)、F2(1,0),PF1,PF2的斜率分别是k1,k2,且点P不在x轴上, 所以k1≠k2,k1≠0,k2≠0.
又直线PF1、PF2的方程分别为y=k1(x+1),y=k2(x﹣1), x=12
k2﹣k1
联立方程解得 2k1k2,
y=
k2﹣k1k+k
所以P(所以
1
k1+k2k2﹣k1
,
2k1k2k2﹣k1
),由于点P在直线x+y=2上,
k1+k2
k2﹣k1
3
+
2k1k2k2﹣k1
=2,即2k1k2+3k1﹣k2=0,
故k﹣k=2
1
2
②设A(xA,yA),(xB,ByB),(xC,CyC),(xD,DyD),联立直线PF1和椭圆的方程得 化简得(2k1+1)x+4k1x+2k1﹣2=0, 因此xA+xB=﹣2k+1,xAxB=
124k1
2﹣22k1+12k1
2
2
2
2
y=k1(x+1),
x2+2y2=2
k1(xB+1)
xB
所以kOA+kOB=xA+xB=
A
B
yy
k1(xA+1)
xA
+
=2k1+k1
xA+xBxAxB
=k1(2﹣
24k1﹣22k1
)=
﹣
2k1
﹣1k1
,
2k2
﹣1k2
同理可得:kOC+kOD=﹣
故由kOA+k)B+kOC+kOD=0得k1+k2=0或k1k2=1,
当k1+k2=0时,由(1)的结论可得k2=﹣2,解得P点的坐标为(0,2) 当k1k2=1时,由(1)的结论可得k2=3或k2=﹣1(舍去),
此时直线CD的方程为y=3(x﹣1)与x+y=2联立得x=\frac{5}{4},y=4,
3
所以P(,),
4
4
53
综上所述,满足条件的点P的坐标分别为P(,),P(0,2).
4
4
53
18、(2010•天津)已知椭圆a+b=1(a>b>0)的离心率e=2到的菱形的面积为4. (Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)设直线l与椭圆相交于不同的两点A、B,已知点A的坐标为(﹣a,0). (i)若∣AB∣=
4 5
x2y2
,求直线l的倾斜角;
→
→
(ii)若点Q(0,y0)在线段AB的垂直平分线上,且QA•QB=4.求y0的值. 解答:解:(Ⅰ)由e=a=
2
2
2
c
,得2
3a=4c.
22
再由c=a﹣b,解得a=2b.
由题意可知2×2a×2b=4,即ab=2. a=2b解方程组 得a=2,b=1.
ab=2所以椭圆的方程为4+y2=1.
(Ⅱ)(i)解:由(Ⅰ)可知点A的坐标是(﹣2,0). 设点B的坐标为(x1,y1),直线l的斜率为k. 则直线l的方程为y=k(x+2).
y=k(x+2)
于是A、B两点的坐标满足方程组 x2
2
+y=1.4消去y并整理,得(1+4k)x+16kx+(16k﹣4)=0. 由﹣2x1=
16k2﹣41+4k2
2
2
2
1
x2
x1=
2﹣8k21+4k2
y1=1+4k
4k1+4k
)=
4k
2﹣8k
所以∣AB∣= (﹣2﹣)+(
1+4k
2
4 1+4k.
由∣AB∣=
4 5
4
,得
2
4 1+4k2
=
4 5
.
2
2
整理得32k﹣9k﹣23=0,即(k﹣1)(32k+23)=0,解得k=±1. 所以直线l的倾斜角为或.
4
4π
3π
(ii)设线段AB的中点为M,
由(i)得到M的坐标为(﹣1+4k,1+4k). 以下分两种情况:
(1)当k=0时,点B的坐标是(2,0),
8k2
2k
线段AB的垂直平分线为y轴,
于是QA=(﹣2,﹣y0),QB=(2,﹣y0). 由QA•QB=4,得y0=±2
(2)当k≠0时,线段AB的垂直平分线方程为 y﹣
2k1+4k2→
→→
→
=﹣(x+
k
1
8k21+4k26k
).
令x=0,解得y0=﹣
→
1+4k.
→
由QA=(﹣2,﹣y0),QB=(x1,y1﹣y0),
QA•QB=﹣2x1﹣y0(y1﹣y0)
==
﹣2(2﹣8k2)
1+4k→
→
+
6k1+4k(
4k1+4k+
6k1+4k)
4(16k4+15k2﹣1)
(1+4k2)
2
=4,
7
整理得7k=2.故k=±所以y0=±
2 5
2 5
综上,y0=±2 或y0=±
.
m22
19、(2010•浙江)已知m>1,直线l:x﹣my﹣的左、右焦点.
,椭圆C:+y=1,F1、F2分别为椭圆C
m
x2
2
(Ⅰ)当直线l过右焦点F2时,求直线l的方程;
(Ⅱ)设直线l与椭圆C交于A、B两点,△AF1F2,△BF1F2的重心分别为G、H.若原点O在以线段GH为直径的圆内,求实数m的取值范围. 解答:解:(Ⅰ)解:因为直线l:x﹣my﹣
m2
所以 m2﹣1=m=2,
2
2
m22
,经过F2( m2﹣1,0),
又因为m>1,所以m= 故直线l的方程为x﹣ ﹣1=0. (Ⅱ)解:设A(x1,y1),B(x2,y2). x=my+2
由 x2,消去x得 2
+y=1m2y+my+
2
m2
m24
1=0
则由△=m﹣8(
m2
2
m24
﹣1)=﹣m+8>0,知m<8,
m28
22
且有y1+y2=﹣y1y2=﹣.
2
1
由于F1(﹣c,0),F2(c,0),故o为F1F2的中点, 由AG=2GO,BH=2H0,可知G(3|GH|=
2
→→→→
x1y1
,3
),h(3,
x2
y,2,3
(x1﹣x2)
9
2
+
(y1﹣y2)
9
2
x1+x26
设M是GH的中点,则M(,
y1+y26
),
由题意可知2|MO|<|GH| 即4[(
x1+x26
)+(
2
y1+y26
]<
2
(x1﹣x2)
9
2
(y1﹣y2)
9
2
2
即x1x2+y1y2<0
8
而x1x2+y1y2=(my1+所以(
m28
1
m22
(my2+
2
m22
+y1y2=(m+1)(
m2
﹣)
2
1
﹣2)<0,即m<4
又因为m>1且△>0 所以1<m<2.
所以m的取值范围是(1,2).
20、(2010•福建)已知中心在坐标原点O的椭圆C经过点A(2,3),且点F(2,0)为其右焦点.
(1)求椭圆C的方程;
(2)是否存在平行于OA的直线l,使得直线l与椭圆C有公共点,且直线OA与l的距离等于4?若存在,求出直线l的方程;若不存在,说明理由.
解答:解:(1)依题意,可设椭圆C的方程为a+b=1(a>0,b>0),且可知左焦点为 c=2,解得c=2,a=4, F(﹣2,0),从而有
2a=∣AF∣+∣AF′∣=8又a=b+c,所以b=12,故椭圆C的方程为16+12=1. (2)假设存在符合题意的直线l,其方程为y=2, y=2x+t
得3x2+3tx+t2﹣12=0,
由 x2y2
+12=116
3
3
2
2
2
2
x2y2
x2y2
因为直线l与椭圆有公共点,所以有△=(3t)﹣4×3(t﹣12)≥0,解得﹣4 ≤t≤4 另一方面,由直线OA与l的距离22
t=±2
由于±2 [﹣4 ,4 ],所以符合题意的直线l不存在.
21、(2010•宁夏)设F1,F2分别是椭圆E:a+b=1(a>b>0)的左、右焦点,过F1斜率为1的直线ℓ与E相交于A,B两点,且|AF2|,|AB|,|BF2|成等差数列. (1)求E的离心率;
(2)设点P(0,﹣1)满足|PA|=|PB|,求E的方程
解答:解:(I)由椭圆定义知|AF2|+|BF2|+|AB|=4a,又2|AB|=|AF2|+|BF2|, 得∣AB∣=al的方程为y=x+c,其中c= a2﹣b2.
34
x2
y2
y=x+c
设A(x1,y1),B(x2,y2),则A、B两点坐标满足方程组 x2y2
+b2=1a2化简的(a+b)x+2acx+a(c﹣b)=0 则x1+x2=
﹣2a2c
2
2
2
2
2
2
2
,x1x2=a+b4
a2(c2﹣b2)
a+b4ab2
2
2
因为直线AB斜率为1,得3a=a+b,故a=2b 所以E的离心率e=
ca
=
a2﹣b2
a
=
2
x1+x22
(II)设AB的中点为N(x0,y0),由(I)知x0=由|PA|=|PB|,得kPN=﹣1, 即
y0+1x0
=
﹣a2ca2+b2
=﹣c,y0=x0+c=.
3
3
2c
=﹣1
得c=3,从而a=3 ,b=3 故椭圆E的方程为18+
x2
y29
=1.
22、(2010•北京)在平面直角坐标系xOy中,点B与点A(﹣1,1)关于原点O对称,P是动点,且直线AP与BP的斜率之积等于﹣3. (Ⅰ)求动点P的轨迹方程;
(Ⅱ)设直线AP和BP分别与直线x=3交于点M,N,问:是否存在点P使得△PAB与△PMN的面积相等?若存在,求出点P的坐标;若不存在,说明理由.
解答:解:(I)因为点B与A(﹣1,1)关于原点O对称,所以点B得坐标为(1,﹣1). 设点P的坐标为(x,y)
y﹣1y+11
•=x﹣1化简得x+3y=4(x≠±1).
2
2
1
故动点P轨迹方程为x+3y=4(x≠±1)
(II)解:若存在点P使得△PAB与△PMN的面积相等,设点P的坐标为(x0,y0) 则2∣PA∣•∣PB∣sin∠APB=2∣PM∣•∣PN∣sin∠MPN. 因为sin∠APB=sin∠MPN, 所以所以
∣PA∣∣PM∣1
1
22
=
∣PN∣∣PB∣
5
∣x0+1∣
∣3﹣x0∣
=
2
∣3﹣x0∣∣x﹣1∣
2
即(3﹣x0)=|x0﹣1|,解得x0=3 因为x0+3y0=4,所以y0=±
2
2
9
5
). 9
故存在点P使得△PAB与△PMN的面积相等,此时点P的坐标为(3,±
23、(2010•北京)已知椭圆C的左、右焦点坐标分别是(﹣ ,0),( 0),离心率是y=t椭圆C交与不同的两点M,N,以线段为直径作圆P,圆心为P. (Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)若圆P与x轴相切,求圆心P的坐标;
(Ⅲ)设Q(x,y)是圆P上的动点,当T变化时,求y的最大值. 解答:解:(Ⅰ)因为a=所以椭圆C的方程为
x23c
,且c3
3
= ,所以a= ,b= a2﹣c2=1
+y2=1
(Ⅱ)由题意知p(0,t)(﹣1<t<1) y=t
x=± 3(1﹣t2) 由 x2得2
+y=13所以圆P的半径为 3(1﹣t2) 解得t=±
2
P的坐标是(0,±
2
2
2
2
(Ⅲ)由(Ⅱ)知,圆P的方程x+(y﹣t)=3(1﹣t).因为点Q(x,y)在圆P上.所以y=t± 3(1﹣t2)﹣x2≤t+ 3(1﹣t2)
设t=cosθ,θ∈(0,π),则t+ 3(1﹣t2)=cosθ+ sinθ=2sin(θ+6) 当θ=3,即t=2x=0,y取最大值2.
24、(2009•宁夏)已知椭圆C的中心为直角坐标系xOy的原点,焦点在x轴上,它的一个顶点到两个焦点的距离分别是7和1 (1)求椭圆C的方程;
π
1
π
(2)若P为椭圆C的动点,M为过P且垂直于x轴的直线上的点,离心率,求点M的轨迹方程,并说明轨迹是什么曲线.
OP
∣OM∣
=e,e为椭圆C的
解答:解:(1)根据题意,椭圆的一个顶点到两个焦点的距离分别是7和1, 则这个顶点不会是短轴的端点,而是长轴的端点, 则有a+c=7,a﹣c=1; 解可得a=4,c=3; 则b=
故椭圆的方程为+=1;
16
7x2y2
(2)设M(x,y),P(x,y1), 椭圆的方程为167中,e=a=4;
又由椭圆方程为+=1,且P在椭圆上,即y1=
16
7x2y2
2
x2y2
c3
7(16﹣x2)
16
①;
根据题意得x+y=e=16②; ①②联立化简可得,y=即y=±
4 3
2
2x2+y1
2
9
1129
;
,(﹣4≤x≤4)
其轨迹是两条平行于x轴的线段.
25、(2009•安徽)已知椭圆a+b=1(a>b>0)的离心率为3,以原点为圆心,椭圆短轴长为半径的圆与y=x+2相切. (1)求a与b;
(2)设该椭圆的左、右焦点分别为F1和F2,直线l过F2且与x轴垂直,动直线l2与y轴垂直,l2交l1与点P.求PF1线段垂直平分线与l2的交点M的轨迹方程,并说明曲线类型. 解答:解:(1)e=3a3
b22
x2y2
又 ,∴a= ,b=
(2)由(1)知F1,F2分别为(﹣1,0),(1,0),
由题意可设P(1,t),(t≠0)那么线段PF1中点为N(0,,
2t
设M(x,y)是所求轨迹上的任意点,由MN=(﹣x,2y),PF1=(﹣2,﹣t)
t
则 MN•PF1=2x+t(y﹣)=0,
2y=t
→
→
→
t
→
消t得y=﹣4x(x≠0)其轨迹为抛物线除原点的部分.
26、(2009•浙江)已知椭圆C1:垂直长轴的弦长为1. (I)求椭圆C1的方程;
(II)设点P在抛物线C2:y=x+h(h∈R)上,C2在点P处的切线与C1交于点M,N.当线段AP的中点与MN的中点的横坐标相等时,求h的最小值. b=1
,∴ a=2, 解答:解:(I)由题意得 b2
2•a=1b=1所求的椭圆方程为4+x2=1,
(II)不妨设M(x1,y1),N(x2,y2),P(t,t+h), 则抛物线C2在点P处的切线斜率为y'|x=t=2t,
直线MN的方程为y=2tx﹣t+h,将上式代入椭圆C1的方程中, 得4x+(2tx﹣t+h)﹣4=0,
即4(1+t)x﹣4t(t﹣h)x+(t﹣h)﹣4=0, 因为直线MN与椭圆C1有两个不同的交点, 所以有△1=16[﹣t+2(h+2)t﹣h+4]>0, 设线段MN的中点的横坐标是x3, 则x3=
x1+x22
t(t2﹣ℎ)2(1+t2)
4
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
y2a+
x2b=1(a>b>0)的右顶点A(1,0),过C1的焦点且
y2
=,
设线段PA的中点的横坐标是x4, 则x4=
2
t+12
x3=x4,
即有t+(1+h)t+1=0,
其中的△2=(1+h)﹣4≥0,∴h≥1或h≤﹣3; 当h≤﹣3时有h+2<0,4﹣h<0,
因此不等式△1=16[﹣t+2(h+2)t﹣h+4]>0不成立; 因此h≥1,当h=1时代入方程t+(1+h)t+1=0得t=﹣1,
将h=1,t=﹣1代入不等式△1=16[﹣t+2(h+2)t﹣h+4]>0成立,因此h的最小值为1.
4
2
2
2
4
2
2
2
2
27、(2009•四川)已知椭圆a2+右准线方程为x=2. ( 1)求椭圆的标准方程;
(2)过点F1的直线l与该椭圆交于M、N两点,且∣F2M+F2N∣=
ca
→
→
2 3
x2
y2b
=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2,离心率e=
,2
l的方程.
解答:解:(1)由已知得 a2
c
=
2=2
,
解得a= ,c=1
∴b= a2﹣c2=1∴所求椭圆的方程为
x22
+y2=1
( 2)由(1)得F1(﹣1,0)、F2(1,0)
①若直线l的斜率不存在,则直线l的方程为x=﹣1, x=﹣1
得y=± 由 x2
2
+y2=12设M(﹣1,
→
)、N(﹣1,﹣), 22
)2
∴∣F2M+F2N∣=∣(﹣2,
→
+(﹣2,﹣
)2
∣=∣(﹣4,0)∣=4,这与已知相矛盾.
②若直线l的斜率存在,设直线直线l的斜率为k,则直线l的方程为y=k(x+1), 设M(x1,y1)、N(x2,y2),
y=k(x+1)2222联立 x2,消元得(1+2k)x+4kx+2k﹣2=0 2
+y=12∴x1+x2=
﹣4k21+2k
,x1x2=
2k2﹣21+2k
2k
∴y1+y2=k(x1+x2+2)=1+2k.
又∵F2M=(x1﹣1,y1),F2N=(x2﹣1,y2) ∴F2M+F2N=(x1+x2﹣2,y1+y2)
8k
∴∣F2M+F2N∣= (x1+x2﹣2)+(y1+y2)= (
→
→
2
2
2+2
→→
→→
1+2k
2)+(
2k1+2k
2)=
2
2 3
化简得40k﹣23k﹣17=0 解得k=1或k=﹣40(舍去) ∴k=±1
∴所求直线l的方程为y=x+1或y=﹣x﹣1
2
2
42
17
28、(2009•宁夏)已知椭圆C的中心为直角坐标系xOy的原点,焦点在x轴上,它的一个顶点到两个焦点的距离分别是7和1. (1)求椭圆C的方程;
(2)若P为椭圆C上的动点,M为过P且垂直于x轴的直线上的点,∣OM∣=λ,求点M的轨迹方程,并说明轨迹是什么曲线.
解答:解:(1)设椭圆长半轴长及半焦距分别为a、c, 由已知得 a﹣c=1,解得a=4,c=3,
a+c=7所以椭圆C的方程为16+
∣OP∣2
x2
y27
∣OP∣
=1.
(2)设M(x,y),其中x∈[﹣4,4]. 由已知
∣OM∣
及点P在椭圆C上,可得λ
2
2
22
2
9x2+112
16(x2+y2)
λ,
2
整理得(16λ﹣9)x+16λy=112,其中x∈[﹣4,4]. ①λ=49y=112. 所以点M的轨迹方程为y=±②λ≠4其中x∈[﹣4,4];
当0<λ<时,点M的轨迹为中心在原点、实轴在y轴上的双曲线满足﹣4≤x≤4的部分;
433
x2
16λ﹣9
3
2
4 3
(﹣4≤x≤4),轨迹是两条平行于x轴的线段.
y2
16λ+,
当4<λ<1时,点M的轨迹为中心在原点、长轴在x轴上的椭圆满足﹣4≤x≤4的部分; 当λ≥1时,点M的轨迹为中心在原点、长轴在x轴上的椭圆.
29、(2009•辽宁)已知,椭圆C过点A(1,),两个焦点为(﹣1,0),(1,0).
23
3
(1)求椭圆C的方程;
(2)E,F是椭圆C上的两个动点,如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数,证明直线EF的斜率为定值,并求出这个定值. 解答:解:(Ⅰ)由题意,c=1, 可设椭圆方程为1+b+4b=1, 解得b=3,b2=﹣4(舍去)
2
19
3
所以椭圆方程为4+
x2y23
=1.
3
(Ⅱ)设直线AE方程为:y=k(x﹣1)+2,
代入x24+y23=1得(3+4k2)x2+4k(3﹣2k)x+4(﹣k)﹣12=0 232
设E(xE,yE),F(xF,yF),
因为点A(1,)在椭圆上, 23所以xE=4(k)﹣12
3+4k232,yE=kxE+2﹣k.
323又直线AF的斜率与AE的斜率互为相反数, 在上式中以﹣K代K,可得xF=
所以直线EF的斜率KEF=yF﹣yE
xF﹣xE4(+k)﹣123+4k2,yF=﹣kxF+2+k =2 13=
12﹣k(xF+xE)+2kxF﹣xE即直线EF的斜率为定值,其值为
30、(2009•广东)已知椭圆G的中心在坐标原点,长轴在x轴上,离心率为别为F1和F2,椭圆G上一点到F1和F2的距离之和为12.圆Ck:x+y+2kx﹣4y﹣21=0(k∈R)的圆心为点Ak.
(1)求椭圆G的方程
(2)求△AkF1F2的面积
(3)问是否存在圆Ck包围椭圆G?请说明理由.
解答:解:(1)设椭圆G的方程为:+ax2y2b22 2=1(a>b>0),半焦距为c,
2a=12a=6则 c ,解得 =c=3 a2
∴b=a﹣c=36﹣27=9
所以椭圆G的方程为:36+x2y29222=1.
(2)由圆Ck的方程知,圆心AK的坐标为(﹣k,2),
∴S△AKF1F2=×F1F2×2=×6 ×2=6 . 2211(3)若k≥0,由6+0+12k﹣0﹣21=15+12k>0可知点(6,0)在圆Ck外,
若k<0,由(﹣6)+0﹣12k﹣0﹣21=15﹣12k>0可知点(﹣6,0)在圆Ck外; ∴不论k为何值圆Ck都不能包围椭圆G.
2222