高中物理相遇和追击问题

相遇和追及问题分析

1. 相遇和追及问题的实质:研究的两物体能否在相同的时刻到达相同的空间位置的问题。

2. 画出物体运动的情景图，理清三大关系（1）时间关系：t A =t B ±t 0（2）位移关系：s A =s B ±s 0

（3）速度关系：两者速度相等。它往往是物体间能否追上或（两者）距离最大、最小的临界条件，也是分析判断的切入点。

3. 两种典型追及问题

（1）速度大者（匀减速）追速度小者（匀速）

①当v 1=v2时，A 末追上B ，则A 、B 永不相遇，此时两者间有最小距离；②当v 1=v2时，A 恰好追上B ，则A 、B 相遇一次，也是避免相撞刚好追上的临界条件；③当v 1>v2时，A 已追上B ，则A 、B 相遇两次，且之后当两者速度相等时，两者间有最大距离。

（2）同地出发，速度小者（初速度为零的匀加速）追速度大者（匀速）

①当 v1=v2 时，A 、B 距离最大；②当两者位移相等时, 有 v1=2v2且A 追上B 。A 追上B 所用的时间等于它们之间达到最大距离时间的两倍。

4. 相遇和追及问题的常用解题方法:画出两个物体运动示意图，分析两个物体的运动性质，找出临界状态，确定它们位移、时间、速度三大关系。 1)基本公式法—根据运动学公式，把时间关系渗透到位移关系和速度关系中列式求解2) 图像法—正确画出运动的v-t 图像, 根据图像的斜率、截距、面积的物理意义结合三大关系求解3) 相对运动法—巧妙选择参考系，简化运动过程、临界状态，根据运动学公式列式求解4) 数学方法—根据运动学公式列出数学关系式（要有实际物理意义）利用二次函数的求根公式中Δ判别式求解。

5. 追及和相遇问题的求解步骤

两个物体在同一直线上运动，往往涉及追及，相遇或避免碰撞等问题，解答此类问题的关键条件是：两物体能否同时达到空间某位置。基本思路是：①分别对两物体进行研究；②画出运动过程示意图；③列出位移方程④找出时间关系，速度关系 ⑤解出结果，必要时进行讨论。

(1)追及问题：追和被追的两物体的速度相等（同向运动）是能否追上及两者距离有极值的临界条件。 第一类：速度大者减速（如匀减速直线运动）追速度小者（如匀减速直线运动）

① 当两者速度相等时, 追者位移追者位移仍小于被追者位移, 则永远追不上, 此时两者之间有最小距离。 ② 若两者位移相等, 且两者速度相等时, 则恰能追上, 也是两者避免碰撞的临界条件。

③ 若两者位移相等时, 追着速度仍大于被追者的速度, 则被追者还有一次追上追者的机会,

当速度相等时

两者之间距离有一个最大值。

在具体求解时, 可以利用速度相等这一条件求解, 也可以利用二次函数的知识求解，还可以利用图象等求解。

第二类：速度小者加速（如初速度为零的匀加速直线运动）追速度大者（匀速直线运动）。

① 当两者速度相等时有最大距离②当两者位移相等时，则追上

具体的求解方法与第一类相似，即利用速度相等进行分析还可利用二次函数图象和图象图象。

(2)相遇问题

① 同向运动的两物体追及即相遇②相向运动的物体，当各自发生的位移大小之和等于开始时两物体间的距离时相遇

6. 分析追及，相遇问题时要注意

(1)分析问题是，一个条件，两个关系。一个条件是：两物体速度相等时满足的临界条件，如两物体的距离是最大还是最小及是否恰好追上等。两个关系是：时间关系和位移关系。

时间关系是指两物体运动时间是否相等，两物体是同时运动还是一先一后等；而位移关系是指两物体同地运动还是一前一后等，其中通过画运动示意图找到两物体间的位移关系是解题的突破口，因此在学习中一定要养成画草图分析问题的良好习惯，对帮助我们理解题意，启迪思维大有好处。

(2)若被追赶的物体做匀减速直线运动，一定要注意，追上前该物体是否已停止运动。仔细审题，注意抓住题目中的关键字眼，充分挖出题目中的隐含条件，如“刚好”，“恰巧”，最多“，”至少“等。往往对应一个临界状态，满足相应的临界条件。

7. 追及问题的六种常见情形

(1)匀加速直线运动的物体追匀速直线运动的物体：这种情况定能追上，且只能相遇一次；两者之间在追上前有最大距离，其条件是V 加 = V匀

(2)匀减速直线运动追匀速直线运动物体：当V 减 = V匀时两者仍没到达同一位置，则不能追上；当V 减 = V 匀时两者正在同一位置，则恰能追上，也是两者避免相撞的临界条件；当两者到达同一位置且V 减 ＞ V 匀时，则有两次相遇的机会。

(3)匀速直线运动追匀加速直线运动物体：当两者到达同一位置前，就有V 加 = V 匀，则不能追上；当两者到大同位置时V 加 = V匀，则只能相遇一次；当两者到大同一位置时V 加 ＜ V匀则有两次相遇的机会。

(4)匀速直线运动物体追匀减速直线运动物体：此种情况一定能追上。

(5)匀加速直线运动的物体追匀减速直线运动的物体：此种情况一定能追上。

(6)匀减速直线运动物体追匀加速直线运动物体：当两者在到达同一位置前V 减 = V 加，则不能追上；当V 减 = V 加时两者恰到达同一位置，则只能相遇一次；当地一次相遇时V 减 ＞ V 加，则有两次相遇机会。（当然，追及问题还有其他形式，如匀加速追匀加速，匀减速追匀减速等，请同学们独立思考）。

8. 典型例题

例1.A 火车以v 1=20m/s速度匀速行驶, 司机发现前方同轨道上相距100m 处有另一列火车B 正以v 2=10m/s速度匀速行驶，A 车立即做加速度大小为a 的匀减速直线运动。要使两车不相撞,a 应满足什么条件？

解1：（公式法）两车恰好不相撞的条件是两车速度相同时相遇。由A 、B 速度关系： v 1-at =v 2由

12(v 1-v 2) 2(20-10) 2

A 、B 位移关系： v 1t -at =v 2t +x 0 a ==m /s 2=0. 5m /s 2∴a >0. 5m /s 2 22x 02⨯100

解2：（图像法）在同一个v-t 图中画出A 车和B 车的速度时间图像图线，根据图像面积的物理意义，两车位移之差等于图中梯形的面积与矩形面积的差，当t=t0时梯形与矩形的面积之差最大, 为图中阴影部分三角形的面积. 根据题意, 阴影部分三角形的面积不能超过100.

1⨯(20-10) t 0=100 ∴t 02=20s a =tan α=20-10=0. 5

20

∴a >0. 5m /s 2 物体的v-t 图像的斜率表示加速度, 面积表示位移。 解3：（相对运动法）以B 车为参照物， A

车的初速度为v 0=10m/s，以加速度大小a 减速，行驶x=100m后“停下”，末速度为

v t =0。

2v t 2-v 0=2ax 0 a =v t 22-v 00-102

=m /s 2=-0. 5m /s 2

2x 02⨯100（由于不涉及时间，所以选用速度位移

∴a >0. 5m /s 2备注：以B 为参照物, 公式中的各个量都应是相对于B 的物理量. 注意物理量的正负号。 解4：（二次函数极值法）若两车不相撞，其位移关系应为v 1t -1at 2-v 2t

1124⨯a ⨯100-(-10) 2 ∴a at -10t +100>0其图像(抛物线) 的顶点纵坐标必为正值, 故有>024⨯a 2>0. 5m /s 2把

物理问题转化为根据二次函数的极值求解的数学问题。

例2. 一辆汽车在十字路口等候绿灯，当绿灯亮时汽车以3m/s的加速度开始加速行驶，恰在这时一辆自行车以6m/s的速度匀速驶来，从后边超过汽车。试求：汽车从路口开动后，在追上自行车之前经过多长时间两车相距最远？此时距离是多少？

解1：（公式法）当汽车的速度与自行车的速度相等时，两车之间的距离最大。设经时间t 两车之间的距离最大。则 2

v 汽=at =v 自 ∴t =v 自6=s =2s

a 3

∆x m =x 自-x 汽=v 自t -11at 2=6⨯2m -⨯3⨯22m =6m 22

解2：（图像法）在同一个v-t 图中画出自行车和汽车的速度时间图像，根据图像面积的物理意义，两车位移之差等于图中梯形的面积与矩形面积的差，当t=t0时矩形与三角形的面积之差最大。

v-t 图像的斜率表示物体的加速度 ∴t 06=t an α=3t 0=2s

当t=2s时两车的距离最大为图中阴影三角形的面积∆x m =1⨯2⨯6m =6m 动态分析随着时间的推

2

移, 矩形面积（自行车的位移）与三角形面积（汽车的位移）的差的变化规律.

解3：（相对运动法）选自行车为参照物，以汽车相对地面的运动方向为正方向，汽车相对自行车沿反方向做匀减速运动v 0=-6m/s，a=3m/s，两车相距最远时v t =0

对汽车由公式v t =v 0+at （由于不涉及位移，所以选用速度公式）t =2v t -v 00-(-6) =s =2s a 3

2对汽车由公式 ：v t 2-v 0=2as （由于不涉及“时间”，所以选用速度位移公式。 ）

2v t 2-v 00-(-6) 2

s ==m =-6m 表示汽车相对于自行车是向后运动的, 其相对于自行车的位

2a 2⨯3

移为向后6m.

解4：（二次函数极值法）设经过时间t 汽车和自行车之间的距离Δx ，则

13∆x =v 自t -at 2=6t -t 2当t =-226

2⨯(-) 2=2s 时，∴∆x m =-6234⨯(-) 2=6m

思考：汽车经过多少时间能追上摩托车? 此时汽车的速度是多大? 汽车运动的位移又是多大？

∆x =6t -32t =0 ∴T

2=4s v 汽=aT =12m /s s 汽=1aT 2＝24m 2

例3. 一小圆盘静止在桌布上，位于一方桌的水平桌面的中央。桌布的一边与桌的AB 边重合，如图。已知盘与桌布间的动摩擦因数为μ1，盘与桌面间的动摩擦因数为μ2。现突然以恒定加速度a 将桌布抽离桌面，加速度方向是水平的且垂直于AB 边。若圆盘最后未从桌面掉下，则加速度a 满足的条件是什么？(以g 表示重力加速度)

解：设圆盘的质量为m ，桌长为l ，在桌布从圆盘上抽出的过程中，盘的加速度为a 1，有 μ1mg =ma 1桌布抽出后，盘在桌面上作匀减速运动，以a 2表示加速度的大小，有 μ2mg =ma 2设盘刚离开桌布时的速度为v 1，移动的距离为x 1，离开桌布后在桌面上再运动距离x 2后便停下，

22有 v 1=2a 1x 1 v 1=2a 2x 2 盘没有从桌面上掉下的条件是 x 1+x 2≤l 2

设桌布从盘下抽出所经历时间为t ，在这段时间内桌布移动的距离为x ，有

x =121l μ+2μ2at x 1=a 1t 2 而 x =+x 1由以上各式解得 ：a ≥1μ1g 222μ2

例4. 一辆汽车在十字路口等待绿灯，当绿灯亮时汽车以a ＝3 m/s2的加速度开始行驶，恰在这时一辆自行车以v 0＝6 m/s的速度匀速驶来，从后边超过汽车，试问：(1)汽车从路口开动后，在追上自行车之前

经过多长时间两车相距最远？最远距离是多大？(2)当汽车与自行车距离最近时汽车的速度是多大？

解析： 法一：用临界条件求解．

v (1)当汽车的速度为v ＝6 m/s时, 二者相距最远，所用时间为t ＝＝2 s,最a

1远距离为Δs ＝v 0t at 2＝6 m. 2

1(2)两车距离最近时有v 0t ＝at 2 解得t ＝4 s 汽车的速度为v ＝at ＝12 m/s. 2

法二:用图象法求解．

(1)汽车和自行车的v t 图象如图所示，由图象可得t ＝2 s 时，二者相距最远．最

1远距离等于图中阴影部分的面积，即Δs ＝6×2 m＝6 m. 2

(2)两车距离最近时，即两个v t 图线下方面积相等时，由图象得此时汽车的速度为v ＝12 m/s.

法三:用数学方法求解．

－v 01(1)由题意知自行车与汽车的位移之差为Δs ＝v 0t －at 2因二次项系数小于零，当t ＝＝2 s 时21⎫2×⎛⎝－2⎭

11有最大值，最大值Δs m ＝v 0t －at 2＝6×2 m－3×22 m＝6 m. 22

1 (2)当Δs ＝v 0t －2＝0时相遇得t ＝4 s，汽车的速度为v ＝at ＝12 m/s. 2

分析追及、相遇问题的常用方法1) 物理分析法：抓好“两物体能否同时到达空间某位置”这一关键，认真审题，挖掘题中的隐含条件，在头脑中建立起一幅物体运动关系的图景2) 相对运动法：巧妙地选取参考系, 然后找两物体的运动关系3) 极值法：设相遇时间为t , 根据条件列方程，得到关于t 的一元二次方程，用判别式进行讨论, 若Δ>0，即有两个解，说明可以相遇两次；若Δ＝0，说明刚好追上或相遇；若Δ

一道“追及和相遇问题”试题的思考和引申

A 、B 两列火车在同一轨道上同向行驶，A 在前，速度为v A ＝10m/s，B 在后，速度为v B ＝30m/s，因大雾能见度低，B 车在距A 车500m 时，才发现前方有A 车，这时B 车立即刹车，但要经过1800mB 车才能停下，问：(1)车若要仍按原速前进，两车是否相撞？试说明理由。(2)B在刹车的同时发出信号，A 车司机在收到信号1.5s 后加速前进，A 车加速度为多大时，才能避免事故发生？（不计信号从A 传到B 的时间）

第一问的解法如下：

解：先求B 车从刹车到停下来所需时间t B

由s B =1v B ·t B 得 tB =2sB =2×1800s=120s 2vB 30

再求在相同的时间内A 车通过的位移s A , sA =vA ·t B =10×120m=1200m 最后比较s A +s0和s B 的大小关系即可判断结果. 由于s A +s0=(1200+500)m=1700m故s A +s0＜s B 由位置关系图可知两车会相撞。

提问1：通过上面的计算我们知道两车能相撞，试问它们何时相撞？

解：设B 车刹车后经过时间t 两车相遇，依题意有s A +s0=sB 而s A =vA ·t ，s B =vB ·t+1at 2（其中a 为

B

2

车刹车过程中的加速度，根据已知条件很易求出a ＝-0.25m/s2），将s A 、s B 的表达式代入上式解得t 1=31s， t 2=129s

提问2：为什么有两个解？t 2是否有意义？

答：A 、B 两车相撞两次，第一次是B 车追上A 车，第二次是A 车追上B 车。两车只能相撞一次，故t 2没有意义。

提问3：B 车追上A 车时，哪车的速度大？

-30s=80s，因答：B 车的速度大， 因为B 车从减速到和A 车的速度相等所需的时间为：t ’=vA -vB =10a

为t ’＞ t1，故B 车的速度大。

提问4：若A 、B 两车相遇但不会相撞，A 车又追上B 车时，B 车的速度是多大？从B 车开始减速到两车第二次相遇共需多少时间？

答：由于B 车刹车后经过120s 后就停下来，故129s 时它的速度仍为零。由于B 车停止后不能往后倒，故第二次相遇所需时间为：

t 2’=sB -s 0 =1800-500s=130s。这是一个实际问题，要注意解的合理性。 vA 10

提问5：若开始两车相距700m ，试问两车是否会相撞？

答：由于s A +s0=1200+700m=1900m，而s B =1800m，即s A +s0＞s B ，故两车不会相撞。

提问6：若用第二种方法，即设B 刹车后经过时间t 两车相撞，方程是否有解呢？

答：由s A +s0=sB 得 vA ·t+ s0=vB ·t+1at 2即10t+700=30t-0.125t2移项并整理得 t2-160t+5600=0 该方程的2

判别式为△=1602-4×5600=3200＞0，故该方程有解，即相撞，并且有相遇两次的可能。原来先是B 超过A ，后来A 又超过B ，我们不能认为开始时A 在B 的前面，后来A 仍在B 的前面，就得出两车不相撞的结论。由此可见用简单的位移关系是得不出正确结果的。

提问7：试问：若要使两车不相撞，开始时两车间的距离s 0至少为多少？

解：设两车经过时间t 后相撞，由位置关系易得出：v A ·t+ s0=vB ·t +1at 2即10t+s0=30t-0.125t2移项并2

整理得t 2-160t+8s0=0 要使两车不相撞，即要使该方程无解，即△＜０即 1602-4×8s 0＜0故s 0＞800m ，即开始时两车间的距离至少为800m 。

提问8：若两车刚好能相撞，相撞时两车的速度有何关系？

答：应该刚好相等，刚开始时B 车的速度比A 车的速度大，两车之间的距离减小，当两车的速度达到相等时，距离最小，之后两车之间的距离将变大，若速度相等时还没有相遇，则两车不会再相遇。若s 0=800m时，解得t=80s，此时B 车的速度为v B ’ =v B +at=30+(-025)×80m/s=10m/s=v A 。

规律总结：求追及、相遇或相撞问题时，若问两物体能否相撞，一般是设经过时间t 后两物体相撞，根据位移关系列出方程，它一般是关于t 的二次方程，然后根据判别式的正、负或零来判断，若△≥０，则二者能相撞，若△＜０，则不能相撞；若问二者何时相撞，解法同上，但要注意解是否合理，是否是实际问题；若问能相遇几次，解出相遇所需的时间，有几个解，就能相遇几次，同样要注意解是否合理；若求两者之间的最大或最小距离，通常求出两物体速度达到相等时各自的位移，两位移之差即为两物体之间

的最大或最小距离；也可设经过时间t 后两者相距△S ，根据位置关系写出△S 的表达式，然后根据二次函数求极值的方法可以求出（一般用配方的方法来求）。

这样，该题第二问的解法很易得出：设B 车刹车后经过ts 两车刚好相撞，则应有：s B = s A+s0

即v B·t+1a B t2=v A ·t 0+ v A (t-t0)+ 1a A (t-t0) 2+s0 ，30t-1t 2=15+10(t-1.5)+ 1a A (t-1.5)2+500刚好相撞，2282

则△=0，解得a A =0.16m/s2

9. 总结

一. 物理模型：同一直线，同向（反向）运动。

二. 时间关系

1.同时出发，在俩者运动中追及，t A =t B 。 2.同时

出发，在一个运动中，一个静止追及，t A =t B +∆t 。 3. 根据物体运动的特点，核对其运动的时间：确定有无运动的多过程问题。

三. 出发地点关系

1.同地追及，同一地点出发，最后追及相遇x A =x B 2. 异地追及，不在同一地点，最后追及相遇

x A =x B +∆x

四. 位移关系：A 为汽车B 为自行车，俩物体的相距∆x ，追上时A 走过的位移x A ， B走过的位移x B ，x A =∆x +x B 。

五. 追及过程的距离极值问题： 在追及过程中，当v A =v B ，A ，B 俩物体之间达到距离的极值，可能为最大或最小，具体问题具体分析。

六. 追及过程中的恰好不相碰问题

1.追上的瞬间位移关系：x A =∆x +x B 2. 追上的瞬间速度关系：v A =v B

七. 追上的瞬间比较加速度，分析二次追及问题

1. 追上的瞬间位移关系：x A =∆x +x B 2. 追上的瞬间速度关系：v A ≥v B ，

⎧a A ≥a B , 不会发生二次追击 3.追上时的加速度关系：⎨ a

八. 讨论有无二次追及的可能: 已知A ，B 俩物体相距x 0，A 追及B ，讨论追及可能发生的相关问题。

1. 当A 的瞬时速度v A 1与B 的瞬时速度v B 1相等时，即v A 1=v B 1，A 的位移为x A ，B 的位移为x B ，则∆x =x A -x B

2. 讨论x 0与∆x 的关系，

⎧⎧a A ≤a B , AB 不会发生追击问题。⎪∆x a B , AB 会发生追击问题, 且一次。⎪⎪ ⎨∆x =x 0，AB 会发生追击问题, 且一次。

⎪⎪∆x >x ⎧a A

0⎨⎪⎩a A ≥a B , AB 会发生追击问题, 且一次。⎩

九. 会使用图像法解决追及相遇问题

1. 找到v A =v B 相等的时刻2. 比较面积发现x A 与x B 的关系3. 根据斜率比较加速度a A 与a B 的关系4. 确定解题方法

十. 追及问题的解题步骤

1. 分析两物体运动过程及规律，画出两物体运动的示意图2. 核实运动的时间关系，以及出发的地点关系3. 要注意两点，一是速度相等两者的位置关系, 二是位置相同（即相遇）时两者的速度关系, 及加速度关系4. 由运动示意图找出两物体位移间关系的方程，或画出运动图像，这是关键5. 联立方程求解，并对结果进行简单分析．

关于图象问题

1. 直线运动的s-t 图象(1)意义：反映了直线运动的物体位移随时间变化的规律．(2)图

线上某点切线的斜率的意义①斜率大小：表示物体速度的大小②斜率的正负：表示物体速度

的方向．

(3)两种特殊的s-t 图象①若s-t 图象是一条平行于时间轴的直线，说明物体处于静止状

态(如图甲所示) ②若s-t 图象是一条倾斜的直线，说明物体在做匀速直线运动(如图乙所示)

2. 直线运动的v-t 图象(1)意义：反映了直线运动的物体速度随

变化的规律(2)图线上某点切线的斜率的意义①斜率的大小：表示物时间体加

速度的大小②斜率的正负：表示物体加速度的方向(3)两种特殊的v-t 图象①匀速直线运动的v-t 图象是与横轴平行的直线(如图甲所示) ②匀变速直线运动的v-t 图象是一条倾斜的直线．(如图乙所示)(4)图线与坐标轴围成的“面积”的意义①图线与坐标轴围成的“面积”表示相应时间内的位移②若此面积在时间轴的上方，表示这段时间内的位移方向为正；若此面积在时间轴的下方，表示这段时间内的位移方向为负．

温馨提示：(1)s-t图象、v-t 图象都不是物体运动的轨迹，图象中各点的坐标值是s 、v 与t 一一对应(2)s-t图象、v-t 图象的形状由s 与t 、v 与t 的函数关系决定(3)无论是s-t 图象还是v-t 图象，所描述的运动情况都是直线运动．

3. 运动学图象“五看”

⎧⎪st 图象上倾斜直线表示匀速直线运动一看“线”⎨⎪vt 图象上倾斜直线表示匀变速直线运动⎩ ⎧⎪st 图象上斜率表示速度二看“斜率”⎨⎪vt 图象上斜率表示加速度⎩

st 图象上面积无实际意义⎧⎪三看“面积”⎨vt 图象上图线和时间轴围成的“面积”表示

⎪⎩ 位移 ⎧st 图象表示初位置⎪四看“纵截距”⎨⎪⎩vt 图象表示初速度

拐点 转折点 一般表示从一种运动变为另一种⎧⎪ 运动五看“特殊点”⎨交点在st 图象上表示相遇，在vt 图象上⎪⎩ 表示速度相等