正方形习题+答案
变式2：将n 个边长都为1cm 的正方形按如图所示摆放，点A 1，A 2，... ，A n 分别是正方形的中心，则n 个正方形重叠形成的重叠部分的面积和为
图中的正方形，过ABCD 的中心O 作OM ⊥CD 于M ，作ON ⊥BC 于N ， 则易证△OEM ≌△OFN ，
则四边形OECF 的面积就等于正方形OMCN 的面积， 如正方形ABCD 的边长是1，则OMCN 的面积是 1/4 ，
因而本题的图形中的每个阴影部分的面积都相等，都是 1/4 ， 有n 个正方形，则重合部分由n-1个，则总面积是 n-1/4 ． 故选C ．
如图，已知P 是正方形ABCD 内的一点，且∆ABP 为等边三角形，那么∠DCP = C D ∠APD=150度, 因为△BCP 是等边三角形, 所以BP=BC=PC, ∠PBC=∠PCB=∠BPC= 60度, 又因正方形ABCD, 所以∠ABC=∠BCD=90度,AB=BC=CD, 所以∠ABP=∠DCP=30度,AB=PB,PC=DC,
A B ∴∠BAP=∠BPA=75度, ∠CPD=∠CDP=75度,
∴∠APD=360度—75度—75度—60度=150度
如图，在正方形ABCD 中，E 为CD 边上的一点，F 为BC 延长线上的一点，CE =CF ，∠FDC =30︒，求∠BEF 的度数.
D A 解：∵CE=CF
∴∠EFC=45°
∵∠BCE=∠DCF, BC=DC
E
∴△BCE ≌△DCF ∴∠EBC=∠FDC=30°
B F C
∴∠BEF=180-∠EFC-∠EBC=105°
已知：如图，在正方形ABCD 中，G 是CD 上一点，延长BC 到E ，使CE =CG ，连接BG
并延长交DE 于F ．
（1）求证：∆BCG ≌∆DCE ；
（2）将△D C E 绕点D 顺时针旋转90︒得到∆DAE '，判断四边形E 'BGD 是什么特殊四
边形？并说明理由．
错误!
A
D
E '
B
F 是AB ，BC 边上两点，且EF =AE +FC ，DG ⊥EF 于G ，求如图，正方形ABCD 中，E ，证：DG =DA
D
证明：连接DE 、DF ，延长BA 使AM=FC，连接DM
E
∵ABCD 是正方形 ∴∠C=∠B=∠ADC=∠BAD=90°
G AD=AB=BF=CD ∴Rt △ADM ≌Rt △CDF
∴DM=DF ∠ADM=∠CDF ∵AE+FC=EF ∴AE+AM=ME=EF C B F ∵DE=DE ∴△DEM ≌△DEF ∴∠AED(∠MED)=∠DEG(∠DEF) ∵DG ⊥EF 即∠DGE=90° ∴∠DGE=∠BAD=∠EAD=90° ∴Rt △ADE ≌Rt △DEG ∴DG=DA
N 分别在正方形ABCD 的边BC ，CD 上，如图，点M ，已知∆MCN 的周长等于正方形ABCD
A
G
F E
C
周长的一半，求∠MAN 的度数
D
N
C
证明：延长MB 到点E 使BE=DN，连接AE M
易证△ADN ≌△ABE ∠DAN=∠BAE ，AN=AE
∴∠EAN=90° ∵△CMN 的周长等于正方形周长的一半
B A ∴MN=BM+DN=ME ∵AM =AM
∴△EAM ≌△NAM ∴∠MAN=1/2∠EAN=45°
如图，设EF ∥正方形ABCD 的对角线AC ，在DA 延长线上取一点G ，使A G =A D ，EG 与
DF 交于H ，求证：AH =正方形的边长．
证明：因EF 平行与AC ，所以AE=FC，又正方形边长，DC=DA=GA，可证得
△GAE 与△DCF 全等，所以∠AGB=∠CDF 而∠GDF=∠DFC=90度-∠FDC
G
A
D
E
B
F
C
所以∠GHD 为直角。
AH 为直角三角形斜边上的中线，所以AH=AD=AG
如图所示，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ADC =90︒，l 是AD 的垂直平分线，交AD 于点M ，以腰AB 为边作正方形ABFE ，作EP ⊥l 于点P ，求证2EP +AD =2CD .
l
证明：AD=AM+MD=2AM
A D M 只需要证明EP+AM=CD
做AG 垂直BC 于G EP延长到AG 于H
E
三角形AEH 全等 三角形AGB(很容易证明) AG=EH AG=CD EH=EP+PH=EP+AM B C 即证明原命题
F
如图，已知平行四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，E 是BD 延长线上的点，且∆ACE 是等边三角形．
⑴ 求证：四边形ABCD 是菱形；
⑵ 若∠AED =2∠EAD ，求证：四边形ABCD 是正方形．
（1）证明：∵AO=CO(平行四边形对角线互相平分)
OE=OE(公共边) AE=CE(等边三角形) ∴△AOE ≌△COE ∴∠AOE=∠COE=90° ∴平行四边形ABCD 为菱形(对角线互相垂直)
(或者证明△AOD ≌△COD 可以推论出AD=CD=BC=AB 也可以)
A
B
E
（2）证明： OE 为∠AEC 的平分线(等边三角形的三线合一)
∴∠AED=30° ∴∠EAD=15° ∴∠DAC=45° AD=CD ∴ ∠DAC=45° ∴∠ADC=90° ∴四边形ABCD 为正方形
BD 的交点，过点O 作OE ⊥OF ，分别交AB ，CD 如图，正方形ABCD 中，O 是对角线AC ，F ，若AE =4，CF =3，则EF = 于E ，
如图，正方形ABCD ，对角线AC,BD
∴∠BOC=90° ∵∠EOF=90° ∴∠EOB=∠COF 且∠ABO=∠OCF=45° 且BO=OC∴△EOB ≌△OFC ∴BE=CF=3 ∴AE=BF=4
过点O 作OG ⊥BC ，垂足为G 。 则G 为BC 的中点 ∴GF=（3+4）/2-3=0.5 且OG=3.5
∴OF=OE=根号50/2
又∵△OEF 为等腰直角三角形 ∴EF=根号50/2×根号2=5
A
E B
F
D
C