分段函数的零点
分段函数的零点
【例1】
⎧⎪x ∈(-1,1]
(09重庆) 已知以T =
4为周期的函数f (x ) =⎨,其中
⎪⎩1-x -2, x ∈(1,3]m >0。若方程3f (x ) =x 恰有5个实数解,则m 的取值范围为( )
A
.8
) 3
B
. C .(, )
4833
D
.(
43
x x
, 分别作出y =f (x ), y =的图象 33
x 5]令m >0变化, 我们单独考虑直线y =与曲
线y =, x ∈
(3, 及
3
【解】3f (x ) =x ⇔f (x ) =
y =x ∈(7,9]相切的情形.
当y =
x x 与曲
线y =x ∈(3,5]相切时
, m =; 当y =与曲
线333
y =, x ∈(7, 相切时
9], m =, 故选择
B.
【例2】
(09
浙江) 已知函数
f (x ) =x 3-(k 2-k +1) x 2+5x -2,
g (x ) =k 2x 2+kx +1,其中k ∈R .
(I )设函数p (x ) =f (x ) +g (x ) .若p (x ) 在区间(0,3)上不单调,求k 的取值范围; ...
(II )设函数q (x ) =⎨
⎧g (x ), x ≥0,
是否存在k ,对任意给定的非零实数x 1,存在惟
⎩f (x ), x
一的非零实数x 2(x 2≠x 1),使得q '(x 2) =q '(x 1) 成立?若存在,求k 的值;若不存在,
请说明理由.
解
析
:
(
I )
因
P (x ) =f (x ) +g (x ) =x 3+(k -1) x 2+(k +5) -1,
所以p '(x )=0在(0,3)p '(x )=3x 2+2(k -1) x +(k +5) ,因p (x ) 在区间(0,3)上不单调,....上有实数解,且无重根,由p '(x )=0得k (2x +1) =-(3x 2-2x +5),
(3x 2-2x +5) 3⎡910⎤
∴k =-=-⎢(2x +1)+-⎥,令t =2x +1, 有t ∈(1,7),记
2x +14⎣2x +13⎦
9
, 则h (t )在(1,3]上单调递减,在[3,7)上单调递增,所以有h (t )∈[6,10),于t
9
∈[6,10),得k ∈(-5, -2],而当k =-2时有p '(x )=0在(0,3)上有两是(2x +1)+
2x +1h (t ) =t +
个相等的实根x =1,故舍去,所以k ∈(-5, -2);
2
(II )当x
2
2
当x >0时有q '(x )=g '(x )=2k x +k ,因为当k =0时不合题意,因此k ≠0,
下面讨论k ≠0的情形,记A =(k , +∞) ,B=(5, +∞)(ⅰ)当x 1>0时,q '(x )在(0, +∞)上单调递增,所以要使q '(x 2)=q '(x 1)成立,只能x 20且
A ⊆B ,因此k ≤5,综合(ⅰ)(ⅱ)k =5;
当k =5时A=B,则∀x 10, 使得q '(x 2)=q '(x 1)成立,因为q '(x )在(0, +∞)上单调递增,所以x 2的值是唯一的;
同理,∀x 1
k =5满足题意.
〖说明〗这里, 出现了分段函数确立的分段方程, 其讨论值得仔细体味. 没有参考答案, 我们有如下考虑:
22⎧⎪3x -2(k -k +1) x +5, x
q '(x )=⎨2, 易验证如果存在符合题意的k , 则k ≠0, 而且
⎪⎩2k x +k , x >0
不难验证q '(x 2) =q '(x 1) 不可能对同一段成立, 这是因为
2k 2x +k 是单调的, 不可能对题中的x 2, x 1, 有2k 2x 1+k =2k 2x 2+k ;
又,
3x -2(k -k +1) x +5
22
的对称轴
k 2-k +1x =>0
3
, 因此
3x 2-2(k 2-k +1) x +5, x
这样以来, 我们只需要研究以下两情况:
2
①对任意的x 10, 使3x 1-2(k 2-k +1) x 1+5=2k 2x 2+k , 此即关于x 2的
3x 12-2(k 2-k +1) x 1+5-k 方程, 当k ≠0时, 有x 2=
2k 2
2
而对x 10的充要条件是5-k ≥0即k ≤5. 2②类似地, 对任意的x 1>0, 存在x 2
即关于x 2的方程, 它有唯一负数解的条件是怎样的呢?
2(*)等价于3x 2-2(k 2-k +1) x 2+(5-2k 2x 1-k ) =0, 此方程如果存在实根的话, 由于其
k 2-k +1
>0, 因此它有唯一负数解的充要条件是5-2k 2x 1-k
3
的x 1>0恒成立, 即5-k ≤0, k ≥5.
综上k =5.