武汉工程大学新生入学数学试题及答案

武汉工程大学2012~2013新生入学分班考试数学试题

一、选择题（每小题5分，共40分，在每小题的四个选项中有且只有一个是正确的，请把正确选项填涂在答题卡上。） 1. 对于下列命题：

22

∀x ∈R , -1≤sin x ≤1∃x ∈R ,sin x +cos x >1，下列判断正①，②

n n

{a -pa }a =2+3n +1n n 5． 已知数列为等比数列, 且, 则p 的值为

A.2 B.3 C.2或3 D.2或3的倍数

6． 若α、β表示平面,a 、b 表示直线, 则a ∥α的一个充分条件是

A. α⊥β且a ⊥β C. a∥b 且b ∥α

B. α β＝b 且a ∥b D. α∥β且a ⊂β

x

-x

确的是 A. ① 假 ② 真

B. ① 真 ② 假

C. ① ② 都假

D. ① ② 都真

2. 某单位有15名成员, 其中男性10人, 女性5人. 现需要从中选出6名成员组成考察团外出参观学习. 如果按性别分层, 并在各层按比例随机抽样, 则此考查团的组成方法种数是（ ）

A ．C 10C 5 B ．C 10C 5 C ．C 15 D ．A 10A 5 3. 某校为了了解学生的课外阅读情况，随即调查了50名学生，得到他们在某一天各自课外阅读所用时间的数据，结果用右侧的条形图表示。根据条形图可得这50名学生这一天平均每人的课外阅读时间为

A. 0.6 小时 C. 1.0 小时

B. 0.9 小时 D. 1.5 小时

3

3

4

2

6

4

2

7． 已知奇函数f(x)和偶函数g(x)满足f(x)+g(x)=a -a

的值为

+2, 若g(a)=a, 则f(a)

A.1 8. 已知

B.2

1517

C. 4 D. 4

f (x ) 是以2为周期的偶函数，当x ∈[0,1]时，f (x ) =x ，那么在区

间

f (x ) =kx +k +1（其中k [-1,3]内，

关于x 的方程

走为不等于l 的实数）有四个不同的实根，则k 的取值范围是 A ．

4. 有一圆柱形容器，底面半径为10cm ，里面装有足够的水，水面高为12cm ，有一块金属五棱锥掉进水里全被淹没，结果水面高为15cm ，若五棱锥的高为3πcm ，则五棱锥的底面积是

二、填空题（每小题5分，共30分。）

(-1,0)

1(-,0) C ．3

1

(-,0) 2B ．

1(-,0) 4 D ．

A. 100π cm 2 B. 100 cm2

D. 300 cm2

C. 30π cm 2

时间(小时)

9

已

知

集

合

M ={0,1,2}

，

N ={x ∈Z 0

，则M N =＿

10．在∆ABC 中，AC=22，A=45°，B=30°，则BC=___________．

(II)该函数的图象可由到?

y =sin x (x ∈R ) 的图象经过怎样的平移和伸缩变换得

sin(α+

11．若

π

12

) =

17π, 则cos(α+312的值为 ＿ .

12+=1+

2x +3y 的取值范围是______________．

12．已知x , y ∈R ，且x y ，则

13．直线x

=0绕点(3,

π

) 按逆时针方向旋转6

16．如图，四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是边长为2的正方形，

后所得直线与圆

S

x 2+(y -2) 2=r 2相切, 则圆的半径r =___________.

14． 如图, 在三棱锥S-ABC 中,SA ⊥平面ABC, AB ⊥BC,

SA=AB=BC. 若DE 垂直平分SC, 且分别交AC, SC于点D,E. 下列结论中, 正确的有_____________.(写出所有正确结论的序号) ①SC ⊥AB;

②AC ⊥BE;

④SC ⊥平面BDE.

B

PB ⊥BC , PD ⊥CD ，且PA =2，E 为PD 中点.

（Ⅰ）求证：PA ⊥平面ABCD ；

（Ⅱ）求二面角E -AC -D 的余弦值；

（Ⅲ）在线段BC 上是否存在点F ，使得点E 到平面PAF 的

2E 距离为5？若存在，确定点F 的位置；P 若不存在，请说

明理由.

D

③BC ⊥平面SAB; 演算步骤或推证过程。）

三、解答题（本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明、

E

17．某纺纱厂生产甲、乙两种棉纱，已知生产甲种棉纱1吨需耗一级子棉2吨，二级子棉1吨；生产乙种棉纱1吨需耗一级子棉1吨，二级子棉2吨；每一吨甲种棉纱的利润是600元，每一吨乙种棉纱的利润是900元，工厂在生产这两种棉纱的

1-sin x 11+sin x , cos x ) =(, x ) =(

f (x ) =2a·222215

．已知a ,b , b+1.

(I)求函数

A D

f (x ) 的最小正周期和最大值;

B C

计划中要求消耗一级子棉不超过300吨、二级子棉不超过250吨。甲、乙两种棉纱应各生产多少吨，才能能使利润总额最大？

18．已知B 2，B 1分别是中心在原点、焦点在x 轴上的椭圆C 的上、下顶点，F

73

是C 的右焦点，FB 1＝2，F 到C 的左准线的距离是

3

（1）求椭圆C 的方程；

（2）点P 是C 上与B 1，B 2不重合的动点，直线B 1P ， →→

B 2P 与x 轴分别交于点M ，N ．求证：OM ON 是定值．

*

n ∈N n ⨯n n 20．已知下表给出的是由 (≥3，) 个正数排成的n 行n 列数表，

a ij

表示第i 行第

j 列的一个数，表中第一列的数从上到下依次成等差数列，其

公差为d ，表中各行，每一行的数从左到右依次都成等比数列，且所有公比为

q ，已知

a 13=

13

a 23=4，8，a 32=1。

(Ⅰ) 求

a 11，d ，q 的值；

a 11，a 22，a 33，⋅⋅⋅，a nn 组成的数列为{a nn }，

(Ⅱ) 设表中对角线的数

n n

Tn =a +a +a + +a 2T

成立的最小正整数n 。

x -3

f (x ) =log a , (a >0且a ≠1)

x +319．已知函数。

f (x ) 在(-∞, -3) 上的单调性，并证明；

(Ⅰ) 判定

(Ⅱ) 设的取值范围.

武汉工程大学2012-2013新生入学分班考试数学答案

一、选择题

二、填空题

g (x ) =1+log a (x -1) ，若方程f (x ) =g (x ) 有实根，求a

-

9．{1, 2}1

10．4 11．3

12. [8++∞) 13、

1

14、 ②、③ 三、解答题

7

15、 (I)Π 4

π

(II) 将函数

y =sin x (x ∈R ) 的图象向左平移6个单位, 再将横坐标与纵

15

坐标均缩小到原来的2倍, 最后将图象向上平移4个单位, 即可得到

16：（Ⅰ）证明：∵底面ABCD 为正方形， ∴BC ⊥AB ，又BC ⊥PB ， ∴BC ⊥平面PAB ，∴BC ⊥PA .

2同理CD ⊥PA ， ∴PA ⊥平面ABCD （Ⅱ）3 （Ⅲ）5

350200

17．生产甲种棉纱3吨，乙种棉纱3吨时，总利润最大。最大总利润是

z 600⨯350200

max =3+900⨯3=130000

（元）

18．（1）设椭圆方程为x 2y 2a 273

a ＋b ＝1(a＞b ＞0) ，由已知得，FB 1＝a ＝2，c ＋＝2

c 3

所以a ＝2，c ＝3，b ＝1．所以所求的椭圆方程为x 4

＋ y 2＝1．

（2）设P(x≠0) ，直线B y ＋1x x x 0，y 0)(x01P y ＋1＝x 令y ＝0得x ＝即M(，

00y 0＋1y 0＋1

0) ．

直线B ：y －12P y x x ，令y ＝0得x ＝－ x ，即N(－ x ，0) 0－10y 0－1y 0－1

−→−→＝－ x 2x 2x 2∴OM ⋅ON 22y 0－1

4y 0＝1，∴1－y 0＝4

−→−→x 2∴OM ⋅ON ＝－ y －1

4．

0即−→OM ⋅−→

ON 为定值． 19．(Ⅰ):任取

x 1

f (x x 1-3x -3(x 1) -f (x 2) =log a

x -log 2-3)(x 2+3)

a x =log 1

a 1+32+3(x 1+3)(x 2-3) , ∵

(x 1-3)(x 2+3) -(x 1+3)(x 2-3) =10(x 1-x 2)

又

(x 1-3)(x 2+3) >0 且(x 1+3)(x 2-3) >0 0

(x 1-3)(x 2+3)

(x

1+3)(x 2-3) , ∴ 当a >1时，

f (x 1) -f (x 2)

当0

f (x 1) -f (x 2) >0, ∴f (x ) 单调递减. log x -3

(Ⅱ) 若

f (x ) =g (x ) 有实根，即：

a

x +3=1+log a (x -1)

1⎧x -3

>0=(n +1)() n ⎪

⇒x >3. x -32， ⎨x +3

=a (x -1) ⎪x -1>0

∴ ⎩ 即方程：x +3有大于3的实根

a =

x -3x -∴

(x -1)(x +3) =

3

(x -3+2)(x -3+6) （∵ x >3）

=

x -3

1

-3(x -3) 2

+8(x -3) +12

=≤

1(x -3) +

8+43

=

24

(x -3)

+8

x -3=

12a ∈当且仅当x -

3即x =3+

⎧⎪a 11

∙q 2=1, ⎪4⎪⎨(a 2

3⎪

11+d ) ∙q =8,

⎪(a 11+2d ) ∙q =1, a =1, d =1, q =120. 【解】(Ⅰ) 由题设知：⎪

⎩ 解得1122。

n -111n -1

n -1=[1+(n -1) ⨯]∙((Ⅱ) a =a ∙q =[a n -1) d ]∙q 22) nn n 111+(∴T n =a 11+a 22+a 33+ +a nn

=2⨯(12) 1+3⨯(1112) 2+4⨯(2) 3+ +(n +1) ∙(2) n

，

1T ⨯(12) 2+3⨯(12) 3+(12) 3+ +(n +1) ∙(1n =22) n +12

两式相减得

1T 1+(1) 2+(1) 3+ +(1) n -(n +1)(1

n =) n +122222

1

1=1⨯[1-() n ]2+-(n +1)(1) n +11-122，

∴T n =3-n +32n ，……10分 于是原不等式化为4n -3⨯2n -40>0，(2n +5)(2n -8) >0，

∴2n >8，

∴n >3

。故使不等式成立的最小正整数为4。

即