2-7带电体系的静电能与电场的势能
§2-7 带电体系的静电能与电场的势能
前面我们分析了有电介质存在时的电场和电势的一些行为，进一步的分析自然少不了有关能量的讨论。在本节中，我们从较简单的点电荷系统开始分析，然后过渡到连续电荷分布的情形中去。
一、 点电荷系统的静电能
我们从最简单的情形开始分析。我们知道，在一定的电场中，若一个点电荷q 所在位置处的电势为U ，那么就可以说这个点电荷具有电势能W=qU，这一点和我们熟知的重力势能很相象。现在我们可以把电场说得更具体一些，最简单的，设这个电场是由另一个点电荷Q 产生的，于是点电荷q 具有的电势能可以写作
W =
14πε
qQ r
（1）
这里我们讨论的是在真空中的情形，所以介电常数是ε0, r 是q 和Q 的距离。同样地，上式也表示了Q 在q 的电场中的电势能，于是我们可以说，由Q 和q 组成静电体系具有的静电能由（1）式给出。
W =
1⎛1 2 ⎝4πε
r
+
14πε
Qq ⎫
⎪ r ⎪⎭
对此式的解释是：我们不但考虑了在Q 形成的电场中q 所具有的电势能，而
且还考虑了在q 形成的电场中Q 所具有的电势能，但是对于整个静电系统而言，其静电能只能由其中一项给出，所以要对上式右端的和乘以1/2。我们之所以写出上面的表达式是因为希望进一步考虑由多个点电荷组成的静电系统。
设想空间中有多个点电荷，其带电量用q i 表示，相应的位置用r i 表示，任意两个点电荷间的距离可以由r ij =r i j =r i -r j 给出，我们来计算整个静电体系的静电能。
我们用一种类似于数学归纳法的办法来计算由N 个点电荷组成的静电体系的静电能。当只有两个点电荷q 1和q 2时，静电能为
W =
14πε
q 1q 2r 12
现在引入第三个点电荷q 3，那么整个体系的静电能就应该在原有的基础上加上
q 3与q 1及q 2之间的静电能，即
W =
14πε
q 1q 2r 12
⎛1+ 4πε⎝
q 1q 3
r 13
+
14πε
q 2q 3⎫
⎪ r 23⎪⎭
括号里的项正是由于引入第三个点电荷所引起的静电能的改变。接着引入第四个点电荷，有
W =
14πε
q 1q 2r 12
⎛1+ 4πε⎝
q 1q 3
r 13
+
14πε
q 2q 3⎫
⎪ r 23⎪⎭
⎛1q 1q 41q 2q 41q 3q 4⎫
+ ++⎪
4πε0r 244πε0r 34⎭⎝4πε0r 14
同样地，第二个括号里的项对应于第四个点电荷的引入所带来的静电能的变化。
重复以上过程，我们容易得到由N 个点电荷组成的静电系统的静电能为
W =
14πε
q 1q 2r 12
⎛1+ 4πε⎝+
q 1q 3
r 13
+
14πε
q 2q 3⎫
⎪ r 23⎪⎭
q 3q 4⎫
⎪+„ （2） r 34⎪⎭
⎛1
+ 4πε⎝
q 1q 4
0N
14πε=1
q 2q 4r 241
N
r 14
+
14πεq i q j r ij
=
14πε
∑
0i , j =1i j
q i q j r ij
24πε
∑
i ≠j
上式即为我们要求的结果，其最后一项表明对所有的满足i ≠j 的下标求和。我们可以对上述结果作进一步的分析，注意到对于某个特定的i ，了电荷i 以外的所有电荷在电荷i 处形成电势，令
U i =
14πε
N
14πε
N
∑
j ≠i
q
j
r ij
就是除
∑
j ≠i
q
j
r ij
（3）
则（2）式可以改写为
W =
1
N
i
i
q U （4） ∑2
i
二、连续电荷分布的静电能
以上我们讨论的是点电荷体系的静电能，可以很容易地将已有结论推广至连续分布的静电系统。首先我们设想一个有限大小的带电体，其电荷密度为ρ(r ) ，那么如果在该带电体内部且位置为r 处的电势可以用U (r ) 来表示——当然，所谓U (r ) ，是指在位置r 处的电势，而位置r 处的电荷对U (r ) 是没贡献的——则这一带电体所具有的静电能可以表示为
W =
1
ρ(r ) U (r ) dV ⎰⎰⎰2
V
（5）
上式中V 表示整个带电体的体积，实际上，（5）式是（4）式的直接推广，
是由离散的电荷分布过渡到连续的电荷分布，在表示上由求和过渡到积分。
图1
（5）式确实能够从物理概念上解释静电能的意义：静电系统的每一部分所具有的电势能的总和。但是，在实际问题中，直接利用（5）式求解静电能是很不易的。只是因为计算各点的U (r ) 是件很麻烦的工作。我们不妨从另一个角度考虑静电能。对于一个有限体积的带电体，我们姑且不考虑其微观结构而只注意其静电性质，那么可以说，这一带电体之所以能够结合在一起，是需要外力维持的。我们设想下面的过程来说明如何构成一个有限大小的带电体。开始的时候，所有的电荷都位于无穷远处，我们人为地将一个个电荷从无穷远处极缓慢地移动到指定的位置，那么，在这个极缓慢的过程中我们对电荷所施加的力与电荷所受的的静电力想必是大小相等而方向相反的，我们所作的功就应该等于电荷的电势能的增量。不断地重复这一过程，直到最终组成我们所要的有限大小的带电体，在整个过程中，我们所作的功就是静电体系的静电能。这样，从功能原理的角度我们重新解释了静电能。下面通过一个简单的例子来说明书这一过程。
图2
我们来计算一个半径为R 的均匀带电球体的电势能。如果按照公式（5）的要求，则要计算球体内每一点处的电势。现在让我们从功能原理的角度考虑这个问题。如图所示，为了构造一个半径为R 的带电球体，我们就要准静态地把电荷从无穷远处搬运到适当的位置，并组成球形。假设在某个时候我们已经构成了如图所示的情形，即已经有了一个半径为r 的带电球体，接下来我们要继续从无穷远处搬运电荷，并将搬来的电荷均匀地分布在这个球体上。我们每次搬运的电荷都是很少的，设电荷密度为ρ，那么每次搬运的电荷量可以表示为4
πr 2ρdr ，
而球表面的电势为
14πε
ρ⋅
43r
πr
2
，无穷远处的电势为零，故在某一次的搬运过
程中我们所作的功即为电量为4πr 2ρdr 的电荷的电势能的改变，它就是
ρ⋅
43r
14πε
πr
2
2
⋅ρ4πr dr
最后我们要组成半径为R 的带电球，于是该球体的电势能就是对上式的积分，即
R
W =
⎰4πε
1
ρ⋅
43r
2
πr
2
⋅ρ4πr dr
2
=
14πε
(4π) 3
ρ
2
15
R
5
可以将电荷密度ρ表示为
43
W =
3
1
Q
，这里Q 是这个球体的带电量，于是上式化为
3
πR
Q
2
54πεR
（6）
这便是半径为R 带电量为Q 的均匀球体的静电能。由于同种电荷是彼此排斥的，所以这一能量可以理解为维持这样的带电系统保持平衡所需要能量。设想另外一种情形——引力，若有一个半径为R ，质量为M 的均匀球体，由于万有引力，其各部分是彼此吸引的，那么如果我们想击碎这一球体，需要多少能量才行呢？结合上面的过程，不难想象，所需能量为G
53
M R
2
，其中G 是万有引力常数，大
家可以对这一结果稍加分析。
下面我们来比较一下这样一些概念：静电能、相互作用能、自能。在不少教科书及参考书中这些概念经常出现。首先要重申，点电荷这一概念是数学上的抽象而不是物理上的实在，当用点电荷这一概念讨论物理问题时，我们不再关注已经被抽象成“点”的电荷的大小、形状及内部结构，转而关注这些“点”电荷对自身以外的空间或其它电荷的影响。于是，对于由点电荷组成的静电系统，所谓的静电能就只能是各个点电荷之间的相互作用能，回顾（3）式和（4）式的推导，可以容易看出这一点。对于那些有具体形状或大小的连续电荷分布，整体上的静电能可以分为自能和相互作用能两部分，让我们对此稍作分析。上面我们计算了一个均匀带电球体的静电能，这个带电球体当然是一种连续的电荷分布，而且空间中除了这个带电球体外再没有别的带电体，这时我们可以说，这个带电球所具
有的静电能就是其自身的自能。再设想另有一个带电球体，那么，由这两个带电体组成的静电体系的总的静电能应该表示为：
总的静电能=带电球1的自能+带电球2的自能+两个带电球间的相互作用能 其中相互作用能的计算是这样：把带电球1设想为源，它将在空间形成一定的电场，而带电球2位于该电场中，那么带电球2所具有的电势能便是二者间的相互作用能；当然，你也可以将球2设想为源，计算球1在带电球2形成电场中的电势能即可，二者只取其一，是不能相加的。
上面讨论的是没有电介质的空间，即真空中的情形，如果有电介质存在，那么静电能又会怎样呢？先考虑简单的情形，空间中充满一种均匀极化的电介质，设其相对介电常数为εr ，而这一空间中只有两个点电荷q 1, q 2，那么容易得到该体系的静电能为
W =
14πε0εr
q 1q 2r
=q 1U 1=q 2U 2 （7） =
12
(q 1U 1+q 2U 2)
由此可以推广到任意多个点电荷组成的系统的静电能，其形式与（4）是一致，只是在计算U i 是要注意考虑相应的介电常数。
对于稍微复杂的情形，即空间中分布着不同的电介质，我们总可以不顾电介质的存在而得到空间各点的电位移矢量D (r ) ；假设介质在空间的各个点是均匀极化的，但不同点处的介电常数可以不同，则有D (r ) =ε(r ) E (r ) ，这里ε(r ) 是绝对介电常数，且与空间的位置有关，由此得到各点的场强，再由E =-∇U 得到空间各处的电势，于是电势能可以表示为
W =
12
⎰⎰⎰ρ
V
free
(r ) U (r ) dV （8）
上式的电荷密度是针对自由电荷而言的，因为我们在计算电位移矢量时只涉及到自由电荷，积分区域V 可以是自由电荷所在的区域，也可以是全空间，对于后者，只要将不存在自由电荷的空间区域的自由电荷密度当作零就可以了。可以看出，（8）式与（5）式在形式上是相似的。
三、电场能量与能量密度
有了上面的讨论，我们来看看静电场能量的一般表述。由（8）式，我们有
W =
1
(∇⋅D )U (r ) dV ⎰⎰⎰2
V
=
12
⎰⎰⎰∇⋅(U D ) dV -
∞
1
D ⋅∇U dV ⎰⎰⎰2
∞
=
12
12
⎰⎰
S →∞
U D ⋅dS +
1
D ⋅E dV ⎰⎰⎰2
∞
（9）
=
⎰⎰⎰D ⋅E dV
∞
在上面的推导中，我们用到了关于微分算子∇的一些基本定理，而且，我们
也用到了在无穷远处电势为零这一边界条件，其中出现的无穷大符号表明全空间的体积。由（9）式可以看出，静电场的能量密度为
w =
12
D ⋅E （10）
也就是说，静电场的静电能可以表示为W =
⎰⎰⎰w dV
∞
。从上面的讨论中可以
看出，静电能储存在电场中，虽然我们是从电荷的带电量和电势的角度出发的，但结果显示，能量和电场有着不可分割的联系，这也从另一方面说明电场的物质性及客观上的存在性。
在一些特殊的情形下，（10）式可以写成更为简洁的形式。例如，对于真空中的静电场，我们有D =ε0E ，于是该式变为w =介质中，有D =εE ，故静电能的能量密度为w =
1212
εo E ；在均匀的各向同性的
22
εE 。
我们可以利用静电能得到静电场中的静电力 。分两种情形讨论： ① 带电体的电量不变 ② 带电体的电势不变。
对于处在稳定状态下的带电系统，其静电能应该为最小值，此时，如果设想给该系统施加一个很小的外力F 外，而且带电系统在这一外力的作用下有一小位移δr ，那么在情形①中，外力做的功为F 外⋅δr ，并且外力做的功应该等于体系静电能的增量δW ；另一方面，我们设想的外力对系统的作用是准静态的，所以外力与静电力F 电是一对平衡力，即F 外=-F 电，于是有
F 外⋅δr =-F 电⋅δr =δW
另一方面，我们又知道δW =∇W ⋅δr ，所以得到
F 电=-∇W （11）
上述结果即是我们熟知的保守力场中的势能与保守力的关系。可以把该结果推广到多个带电体的情形，设若干个带电体组成静电体系，每个带电体的带电量是不变的，那么，第i 个带电体所受的静电力可以表示为
F 电i =-∇i W
这里W 是整个体系的静电能，∇i 表示对第i 个带电体的坐标求梯度。
再来计算情形②中带电体受到的静电力 ，同样地，我们假设有一个外力F 外
作用于带电体，而外力做的功仍然等于体系的静电能的增量，即
F 外⋅δr =δW
但是，在该种情形下，即使外力的作用过程仍然是准静态的，外力F 外的大小也不再等于带电体所受的静电力F 电的大小。这是因为我们在当前情形下要求带电体的电势是不变的，故外力的介入将导致带电体的带电量的改变，所以外力做的功应该写成下面的形式
F 外⋅δr =-F 电⋅δr +U δq =δW
其中U δq 可以类比于电池搬运电荷的能力。注意到W =中是不变的，我们有
⎛1⎫1
-F 电⋅δr +U δq =δ qU ⎪=(δq ) U
⎝2⎭2
12qU
，且U 在整个过程
即
F 电⋅δr =
12
(δq ) U =δW
最终，我们有
F 电=∇W
（12）
和（11）相比，上式有一个符号的差别，在具体的问题中应注意这两个公式的不
同。同样地我们可以推广至多个带电体的情形
F 电i =∇i W