自动控制作业习题答案

（a）方法二：

Uc(s)

Ur(s)

R1R

Cs



RCs



RCs1

cucRCur(b)由于RCu

2-1试建立下图所示各系统的微分方程并说明这些微

分方程之间有什么特点，其中电压ur(t)和位移xr(t)为输入量；电压uc(t)和位移xc(t)为输出量；k,k1和k2为弹簧弹性系数；f为阻尼系数。

无质量，各受力点任何时刻均满足

rxc)kxcf(x

F0， 则有：



ff

cxcxr xkk

(c)

【解】：(a)方法一：设回路电流为i，根据克希霍夫定律，可写出下列方程组：

1

idtucur

C

ucRi

Uc(s)

Ur(s)

R2

1Cs1Cs



R1R2

R2Cs1

cucR2Curur(R1R2)Cu

R1R2Cs1

(d) 设阻尼器输入位移为xa，根据牛顿运动定律，可写



出该系统运动方程

k1(xrxc)k2(xrxa)



k(xx)fxaa2c

k1k2f

cxcrxrfxx

k1k2k2

削去中间变量，整理得：

RC

ducdu

ucRCr dtdt

结论：(a)、(b)互为相似系统，(c)、(d)互为相似系统。

四个系统均为一阶系统。

2-2 试求题2-2图所示各电路的传递函数。

2-4

X1(s)R(s)C(s)

【解】：对微分方程组进行零初始条件下的Laplace变换得：

T1sX2(s)k1X1(s)X2(s)X3(s)X2(s)k3C(s)T2sC(s)C(s)k2X3(s)

绘制方框图

题2-2-4图

传递函数为

C(s)k1k2

2

R(

s)T2T1s(T2T1k3k2T1)s(k1k2k3k21)

2-7

。

(a) (b

)

(c) (d)

【解】：(a

)

(1)

(2)

(3) (4)

（b）

(1)

(2)

(3) (4)

（c）

(1)

(2)

(3) (4)

(d)

(1)

(2)

(3) (4)

2-8

(a)

(b)题2-8图

【解】：（a）：（1）该图有一个回路 l3030

1s(s1)1s(s1) （2）该图有三条前向通路 P10

101

s(s1)

P2

1s

P3

s1

P4

30

s(s1)

所有前向通路均与l1回路相接触，故12341。 （3）系统的传递函数为 G(s)

C(s)R(s)1(PP11s41

11P22P3344)s2s30

（b）： （1）为简化计算，先求局部传递函数G(s)

C(s)

E(s)

。该局部没有回路，即1， 有四条前向通路：P11G1G2

P221P33G1G2G3G4P44G3G4

所以 G(s)G1G2G3G4G1G2G3G41

（2）G(s)

C(s)GGGR(s)G(s)

1G(s)123G4G1G2G3G41G

1G2G3G4G1G2G3G4

（2）峰值时间t单位斜坡响应为：

p、调节时间ts和超调量%。

2e2)tnt

c(t2nt2)

【解】：（1）n4

2nn

2





2n2n

0.5 t0.5

3et

3t120)(t 典型二阶系统欠阻尼情况，可以利用公式直3

0)接计算。

（2）系统性能指标为：

单位阶跃响应为：

t

p

1.81s

e

nt

2)

2

h(t)1n2ntt3

4

s

3s(5%)

ts

1e

t

20.52tcos10.5)

n

4sn

0.52

sin(

1

2



13

et

3t60)(t0)%e

2

100%16.3%

3-7 系统方框图如题3-7图所示，若系统的 %15%,tp0.8s。试求：

（1）K1、K2值；

（2）r(t)1(t)时：调节时间ts、上升时间tr。

【解】：（1）利用方框图等效变换化系统为单位反馈 的典型结构形式后得开环传递函数为

k1

Gs(s1)k21nkk(s)1

k 

11

s(s1)

k2ss[s(1k1k2)]2n1k1k2

根据题意： 

%e2100%15%

0.517

kt

p0.121

n4.588k2

0.18

28s

n(2%)

ts

3

（2）

tr

n

1.27s(5%)

0.54s

ts

4

n

1.69s(2%)

n

2

3-8 已知闭环系统特征方程式如下，试用劳斯判据判定系统的稳定性及根的分布情况。 （1）s320s29s1000 （2）s320s29s2000

（3）s42s38s24s30 （4）s512s444s348s25s10

s3

14

9

s4

12633

843

3

【解】：（1）劳斯表为

s2s1

20100

s3

（3）劳斯表为s2

s1s0

s0100

劳斯表第一列符号没有改变，且特征方程各项系数均大于0，因此系统稳定，该系统三个特征根均位于s的左半平面。

s3

1201200

9200

劳斯表第一列符号没有改变，且特征方

程各项系数均大于0，因此系统稳定，该系统四个特征根均位于s的左半平面。

s5

[1**********]4.061

444859121

51

s4s3

（2）劳斯表为

ss

21

（4）劳斯表为

s0

劳斯表第一列符号改变二次，该系统特征方程二个根位于右半平面，一个根位于左半平面，系统不稳定。

s

2

s1s0

劳斯表第一列符号没有改变，且特征方程各项系数均大于0，因此系统稳定，该系统五个特征根均位于s的左半平面。

3-9 已知闭环系统特征方程式如下

（1）s420s315s22sK0 （2）s3(K1)s2Ks500 试确定参数K的取值范围确保闭环系统稳定。

s4s3

2

【解】：（1）根据特征方程列写出劳斯表为： s

12014.9

20K2

14.9K

152K

K

s1s0

K0

系统稳定的充分必要条件为： 20K

214.90

0K1.49

K0

(K1)K50

（2）由三阶系统稳定的充分必要条件得： 

K6.

59

【解】：系统的开环传递函数为

5K100

10K0t

11

Gk(s)K0.2s1

10K0t0.220s

s(s1)1

110K00.2s1t

v1,

KK

KK为开环增益。在系统稳定的前提条件下有

kp,kv

5K

,

100Kt1

ka0

（1）r(t)1(t)ess

1100Kt11

0 ； （2）r(t)t1(t)ess ； kv5K1

kp

1

（3） r(t)t21(t)e

ss 。

2

3-14 具有扰动输入的控制系统如图所示，求：当r(t)n1(t)n2(t)1(t)时系的稳态误差。 【解】：系统特征方程为

2010

s(0.1s1)(s1)

0.1s31.1s2s200

1.10.120

4-4 已知单位负反馈系统的开环传递函数为 ：

G(s)

K(s1)2(s4)2

试绘制K由0变化的闭环根轨迹图，并求出使系统闭环稳定的K值范围。

【解】：系统有两对重极点 p1,21,p3,44。 ① 渐近线： 

(2k1)1801144

2.5 45,135,225,315(k0,1,2,3) 44

180

90。 2

② 实轴上的根轨迹为两点 s1s5，也为分离点。分离角均为③ 根轨迹与虚轴的交点坐标系统特征方程

(s1)2(s2)2K0

即 s46s313s212s4K0 令sj代入特征方程，得

4j63132j124K0

令上式实部虚部分别等于0，则有

134K02

2K186120

4

2

题4-4解图

④ 该系统根轨迹如题4-4解图所示。由图可知，当0K18时，闭环系统稳定 4-8 已知单位负反馈系统的开环传递函数为 ：

K(10.5s)

G(s) s(10.25s)（1）试绘制K由0变化的闭环根轨迹图；

（2）求出使系统产生相重实根和纯虚根时的K值。

【解】：（1）根轨迹方程为

K(10.5s)2K(s2)

G(s)11 s(10.25s)

s(s4)

K由0变化，为0根轨迹。

① 开环零点z2，开环极点p10,p24。

题4-8解图

② 实轴上的根轨迹在区间[4,0][2,)。

③ 分离点和会合点 Q(s)P(s)P(s)Q(s)0s24s(s2)(2s4)0s24s80

解得s1225.46为会合点，s2221.46为分离点。

④ 根轨迹与虚轴的交点：

特征方程为 ： s2(42K)s4K0

42K0K2

令sj，代入特征方程得： 2j(42K)4K04K2022



⑤ 该系统根轨迹如题4-8解图所示。

（2）实轴上根轨迹的分离点和会合点即为相重实根，其K值分别为

K2

s(s4)

0.54

2(s2)s1.46

K1

s(s4)

7.46

2(s2)s5.46

【解】：对于开环增益为K的系统，其幅相频率特性曲线有两种情况：K0和K0。下面只讨论K0的

情况。K0时，比例环节的相角恒为180，故相应的幅相频率特性曲线可由其K0的曲线绕原点顺时针旋转180得到。 K(12T1T2)jK(T1T2)KKj(tg-1T1tg1T2)

（1）G(j) e222222(jT11)(jT21)(T11)(T21)T1)1][(T2)1]

0时，limG(j)K0 ；

时limG(j)0180。

0



特性曲线与虚轴的交点：令 Re[G(j)]0，即

12T1T20

11T2

代入Im[G(j)]中，Im[G(j)]K

T1T2

T1T2

题5-5（1）解图

该系统幅相频率特性曲线如题5-5（1）解图所示。

K(j)K

（2） G(j)

j(j1)(21)

0时，limG(j)90；

0

求渐近线：limRe[G(j)]lim

0

K

1)

0(2

K

时，limG(j)0180。



该系统幅相频率特性曲线如题5-5（2）解图所示。

题5-5（2）解图

（3） G(j)

K(jT11)(jT21)

2



K(2T1T21)Kj(T1T2)

(

22

T22

1)

0时，limG(j)90；

0

求渐近线 limRe[G(j)]lim

0

K(T1T2)

2

0(

T22

1)

K(T1T2)0

题5-5（3）解图

时，limG(j)090。幅相频率特性曲线5-5 （3）



K2T121jtg-1K(jT11)

e（4） G(j) 2 222(jT21)T21 （T1T2时， 0时，limG(j)180；

0

题5-5（4）解图

曲线始于负实轴之上；T1T2时，曲线始于负实轴之下。）

时，limG(j)0180。该系统幅相频率特性曲线如图5-5（4）所示。



5000j250(752)250

（5） G(j) 2222j(j5)(j15)(5)(15)

0时，limG(j)90。

0

求渐近线 limRe[G(j)]lim

0

50005)(15)

2

2

2

0(2

0.89

时，limG(j)0270，曲线顺时针穿过负实轴。



题5-5（5）解图

求曲线与负实轴的交点 令Im[G(j)]0，得75。

VxRe[G(j)]

75

0.17

该系统幅相频率特性曲线如题5-5（5）解图所示。 （6）G(j)

50j(j1)

2



50[j(12)]

[(1)]

222

0时，limG(j)90；

0

50

50 求渐近线 limRe[G(j)]lim

00[(12)22]

该系统传递函数分母上有一个振荡环节，其T1，0.5。所

1

以当r时有最大值。 r220.71

T

频率特性的最大值 G(j)0.7166.7215.3

题5-5（6）解图

时，limG(j)0270，曲线顺时针穿过负实轴。



求曲线与负实轴的交点：

令Im[G(j)]0，得1。 VxRe[G(j150

该系统幅相频率特性曲线如题5-5（6）解图所示。

0时，limG(j)90；

0

K

求渐近线 limRe[G(j)]limK

00(21)

（7）G(j)

KjKK



j(j1)(21)

时，limG(j)0180，传递函数分母上有一个不稳定环



题5-5（7）解图节，曲线逆时针变化，不穿越负实轴。

该系统幅相频率特性曲线如题5-5（7）解图所示。

2T121j(180tg1T1tg1T2)jT11e（8）

G(j)22jT21T21

0时，limG(j)1180；

0

随着时，limG(j)



T1

0。 T2

特性曲线与虚轴的交点：令 Re[G(j)]0，即2T1T2代入Im[G(j)]中 Im[G(j)]

T1

该系统幅相频率特性曲线如题5-5（8）解图所示。 T2

【解】：（1）① K2，20lgK6.02。②转折频率1

11

0.125，一阶惯性环节；20.5，一阶惯性环节。

28

③ 0，低频渐近线斜率为0。④ 系统相频特性按下式计算 ()arctg8arctg2 得

1③ 2，低频渐近线斜率为40dec，且过（1，20dB）点。 ④ 系统相频特性按下式计算 ()arctg180 得

（1） （2）

（3）典型环节的标准形式：G(s)

20(5s1)s2(10s1)

② K20，20lgK26.0。

③ 转折频率 10.1，一阶惯性环节；20.2，一阶微分环节。 ④ 2，低频渐近线斜率为40，且其延长线过（1，26dB）点。

g 得

⑤ 系统相频特性按下式计算 ()180arctg10arct5

（4）① 典型环节的标准形式： G(s)

② K50，20lgK34.0。

s(0.1s1)

③ 转折频率 110，一阶惯性环节；250，不稳定的一阶微分环节。 ④ 1，低频渐近线斜率为20dec，且过（1，34dB）点。

⑤ 系统相频特性按下式计算 ()90arctg0.1180arctg0.02 得

（3）

（4）

5-7

【解】：（1）① 典型环节的标准形式 G(s)

0.032(s0.1)

1242s(ss1)(ss1)2525

② K0.032，20lgK29.9。

④ 转折频率10.1，一阶微分环节；21，二阶振荡环节； 题5-7（1）解图

35，二阶振荡环节； 35二阶振荡环节。

④ 1，低频渐近线斜率为20，且过(1,29.9dB)点。 该传递函数相应的对数幅频特性的渐近线如题5-7（1）解图所示。 （2）① K10，20lgK20。

① 转折频率11，不稳定的一阶惯性环节；

25，一阶惯性环节。 ③ 1，低频渐近线斜率为20dec，且过(1,20dB)点。

该传递函数相应的对数幅频特性的渐近线如题5-7（2）解图所示。 （3）① K200，20lgK46。

② 转折频率10.1，一阶惯性环节；21，一阶惯性环节。 ③ 2，低频渐近线斜率为40，且其延长线过（1，46dB） 该传递函数相应的对数幅频特性的渐近线如题5-7（3）解图所示。

5-7（2）解图

5-7（3）解图

122(ss1)22

② K5，20lgK14。

③ 转折频率题11，一阶微分环节；221.4，二阶振荡环节。 5-7（4）解图

④ 0，低频渐近线斜率为0dec，且过（1，14dB）点。相应的对数幅频特性的渐近线如题5-7（4）解图所示。 5-10 已知系统开环幅相频率特性如图5-66所示，试根据奈氏判据判别系统的稳定性,并说明闭环右半平面的极点个数。其中p为开环传递函数在s右半平面极点数，为开环积分环节的个数。

（4）① 典型环节的标准形式G(s)

5(s1)2

Re

(a)Re

Re

(b)

(c)

解：（a）a0，b1，zp2(ab)2(01)2系统不稳定s右半平面有2个闭环极点。

Re

Re

Re

(d

)

(

e)

(f)

pe

e

p00

Re

Re

(g)

(h)

(i)

（b）作辅助线如解图（1）所示，曲线经过（-1，j0）点一次，虚轴上有2个闭环极点，s右半平面没有闭环极点。系统临界稳定

（c）作辅助线如解图（2）所示，a1，b1，zp2(ab)2(11)0系 统稳定，s右半平面没有闭环极点。

题5-9解图（1）

（2） （3） （4） （5）

题5-9解图

（d）作辅助线如解图（3）所示，a0，b2，zp2(ab)12(02)2

系统不稳定，s右半平面有2个闭环极点。

（e）作辅助线如解图（4）所示，a1，b0，zp2(ab)22(10)0系统稳定，s右半平面没有闭环极点。 （f）作辅助线如解图（5）所示，a0，b1，zp2(ab)2(01)2系统不稳定，s右半平面有2个闭环极点。 （g）a，b0，zp2(ab)12(20)0 系统稳定，s右半平面没有闭环极点。 （h）a，b0，zp2(ab)12(20)0 系统稳定，s右半平面没有闭环极点。 （i）a1，b1，zp

2(ab)2

(11)0 系统稳定，s右半平面没有闭环极点。

5-11 已知最小相位系统的开环对数幅频特性渐近线如图5-67所示，试求相应的开环传递函数。

L(【解】：（a）① 0 ② Gk(s)④ 20lgK20lg

k

(T1s1)(T2s1)(T3s1)

③ T11，T2

11，T3 10300

100010100

40lgK1000 Gk(s)

11110(s1)(s1)(s1)10300

K(T1s1)s2(T2s1)

（b） ① 2 ② Gk(s) ③ T11c(

1

1

1

，T2

1

2

K

④ 20lgc40lg

11



K1c Gk(s)

1

s1)

s(

KT2s22Ts1

2

1

2

s1)

（c）① 0 ② Gk(s)

0.87(舍去）1

③ Mr(dB)20lg221.25220.8661 r227.07T0.1

T20.5

④ 20lgK26.02K20 Gk(s)（d）① 1 ②Gk(s)

K

200.01s20.1s1

11

80.2 T0.422.5

s(T2s22Ts1)

10

③20lg

④ 20lgK20K10 Gk(s)

s(0.16s20.16s1)

（e）① 0 ②Gk(s)③

K(T12s221T1s1)(T22s222T2s1)(T3s1)

201201

4013.16T10.3240231.6T20.032

lg10lg11lg2lg102

111

810.2 20lg621 0.025 20lg2122400

T3

④ 20lgK20K0.1 Gk(s)

0.1(0.1s20.13s1)(0.001s20.064s1)(0.0025s1)