无限过程中的有限,数列.级数的敛散性
学校代码: 学 号:
Hefei University
毕业论文(设计)
BACH ELOR DISSERTATION
论文题目:无限过程中的有限(浅谈数列与级数的收敛性及其应用) 学位类别: 学科专业: 数学与应用数学 作者姓名: 何李贝 导师姓名: 姚玉武 完成时间: 2011年 5 月31 日
无限过程中的有限(浅谈数列与级数的收敛性及其应用)
摘 要
通过有限的过程去把握无限过程的一些性质,无论在数学领域还是其它学科中,都有着广泛的研究和重要的理论及应用价值。而在数学领域中,最能体现这种想法的无非是数列和级数的敛散性的研究。本文首先介绍了数列和级数敛散性的相关定义、性质,然后通过数列和级数的敛散性讨论了在具实践中所体现出的无限与有限的关系,以及在有限的过程中如何去把握无限,如Koch 雪花的研究,收敛速度的研究等,从而得出一些具有重要意义的结论。
关键词:数列;级数;敛散性;Koch 雪花;
Finite in Infinite process(on convergence and applications
of sequence and series)
ABSTRACT
How to grasp the infinite process by limit process is studied widely not only by the mathematical researchers but also by other researchers in other fields. While in mathematical field, this process can be embodied actually by the definitions and properties of sequence and series. In this paper, we first discuss the definitions and properties of sequence and series studied in mathematical analysis. Then we give some applications which show the relations between the infinite process and finite process. Meanwhile, we also show how to grasp the infinite process by limit process by these example.
KEY WORD: sequence of numbers; Series; convergence ; Koch Snow ;
目 录
第一章 前言 . ................................................................ 1 第二章 无限与有限的关系 . ................................................... 2
2.1 无限蕴含着有限——谈数列与级数的收敛与发散 .......................... 2
2.1.1 数列的收敛与发散的定义 . ........................................ 2 2.1.2 级数的收敛与发散定义 . .......................................... 3 2.2无限由有限组成,同时由有限可以推演出无限 ......................... 7
第三章 无限过程中的有限应用 . ............................................... 10
3.1 Koch 雪花 .......................................................... 10 3.2 正项数列收敛性的应用—收敛速度 ..................................... 12 结束语 . .................................................................... 16 参考文献 . .................................................................. 17 致 谢 . ..................................................................... 18
第一章 前言
有限和无限是密切相联系着的,没有有限也就没有无限,没有无限也就没有有限。无限性是不能完全被证明或者说被完全实现的。这并不是因为无限性不存在,而只是因为如果无限性一旦得到完成,得到实现,那它就不再成为无限,而变成有限。但是如果所有的无限都变成有限,无限就不存在了,因此有限也就不存在了。由于有限是存在的, 所以无限是不能完全实现的。
事实上,有限的总和构成无限,无限是通过有限而存在的。这种情况在数学中也得到反映,比如整数集是由一个个具体的整数组成的,而这个集合的无限性就是通过无数个有限的整数总和表现出来的。
有限和无限在一定条件下能够相互转化。比如,物质是无限可分的,这个“分”的过程就是一个有限和无限互相转化的过程。《庄子·天下篇》所说:“一尺之棰,日取其半,万世不竭”就表达了这一过程。
一尺之棰,日取其半,这就是一个有限向无限转化的过程,就棰的长度来说,分的过程是无限的,无论分得多么小,总是可以取其长度的一半的,这是一个无限的过程。但是,纯粹的量的分割是有一个极限的,达到了这个极限它就转化为质的差别。作为一定质的棰来说,具体的分割又是可“竭”的,即分到一定的关节点时,就不能保持“棰”之为棰的质了。这个关节点就是“分”的一个极限,它标志着分的过程从无限到有限的转化。这个关节点大约在分到第三十天时达到,这时棰的长度大约是十亿分之一尺,已经小于分子的数量级,这时就不再成为其棰了。可见,“分”的过程是一个有限和无限,质和量的对立统一的过程。
在数学中,经常通过极限来实现有限和无限的转化。比如一个收敛的正项级数之和是由无限项组成的,但是它的极限值却是一个具体数值。反过来,在其定义域内正弦函数值是一个具体的数值。但是它却展开为无穷项的级数。再如导数和积分也是某种特殊的极限,因此,也是有限和无限转化的有力工具,数学通过有限和无限转化这一杠杆,可以解决许多实际问题.
第二章 无限与有限的关系
我们知道数列具有无限的项,而级数定义为具有无限项的数列的和。然而,我们在对数列和级数进行讨论时总是通过有限的过程去把握无限的性质,即从数列或级数有限的项或部分去研究它们整体性质。本章主要通过数列和级数的定义、性质等来讨论如何通过有限的过程来理解无限的性质。
2.1 无限蕴含着有限——谈数列与级数的收敛与发散
2.1.1 数列的收敛与发散的定义
在分析中我们所讨论的数列通常是有着某种规律的具有无限项的一列数。设{x n }是一给定数列,其通项的形式事实上就是一个有限的形式,尽管我们可以由它的构造来推演数列的无限过程。
定义[1]:设{x n }是一给定数列,a 是一个实常数。如果对于任意给定的ε>0,可以找到正整数N ,使得当n >N 时,成立x n -a
则称数列{x n }收敛于a (或a 是数列{x n }的极限),记为lim x n =a ,有时也记为
n →∞
x n →a (n →∞);
如果不存在实数a ,使{x n }收敛于a ,则称数列{x n }发散。
从极限的定义可知,一个数列{x n }收敛与否,收敛于哪个数,与这一数列的前面有限项无关。也就是说,改变数列前面的有限项,不影响数列的收敛性。例如:{1,5,7,100,
1
200,⋅⋅⋅,,⋅⋅⋅}的极限仍然是0. 这也说明无限的某些性质通常不随其有限项的改变而
n
改变。
收敛数列与其子数列间的关系:若数列{x n }收敛于a ,则它的任一子数列也收敛于a 。即数列若收敛,必然其任何子数列都收敛于同一个常数;反之,若数列的两个子数列不能收敛于同一个常数,则此数列就一定没有极限。即一个有无限项的数列,我们可以从中选取一个包含无限项的子数列判定其数列的收敛性。
2.1.2 级数的收敛与发散定义
定义[3]: 设
u 1, u 2, u 3, ⋅⋅⋅, u n , ⋅⋅⋅
是按一定顺序排列起来的一个无穷数列,记作{u n },对其各项依次用加号连接起来的表达式
u 1+u 2+u 3+⋅⋅⋅+u n +⋅⋅⋅ (1)
叫做(常数项)无穷级数,简称数项级数或级数,记作∑u n ,其中第n 项u n 叫做级数
n =1∞
的一般项(或者叫通项)。
级数(1)的前n 项(有限项)的和s n =∑u k =u 1+u 2+u 3+⋅⋅⋅+u n 叫做级数的部分和。
k =1n
当n 依次取1,2,3, ⋅⋅⋅时,级数的部分和构成一个新的数列s 1, s 2, ⋅⋅⋅, s n , ⋅⋅⋅, 称之为级数的部分和数列,记为{s n }。
当n →∞时,如果级数 (1)的部分和数列{s n }存在极限,即存在s ,使得lim s n =s ,
n →∞
则称级数(1)收敛,也称级数(1)收敛于s ,极限值s 称为级数(1)的和,记作
s =u 1+u 2+u 3+⋅⋅⋅+u n +⋅⋅⋅;
如果级数(1)的部分和数列{s n }的极限不存在,则称级数(1)发散。
正项级数定义:如果级数∑u n 中的每一项u n ≥0(n =1,2,3, ⋅⋅⋅),则称级数∑u n 为正项
n =1
n =1
∞
∞
级数。
2.1.3 数列收敛性的判定
通常数列的收敛性都是由其是否有界、是否其子列具有收敛性等来判定。下面我们给出数列收敛的几个判定定理来说明。
Ⅰ 单调有界数列必定收敛
在按极限定义证明一个数列收敛时,都必须先知道它的极限是什么。这个要求对于许多实际问题并不现实,即一个数列即使收敛,其极限也往往无法事先得知,但由上述定理知:我们可以从数列本身出发研究其敛散性,所以,在判断数列收敛时,我们一般运用极限运算的性质求出相应的极限。
Ⅱ 若{x n }收敛于a ,则它的任何子列x n k 也收敛于a ,即
lim x n =a ⇒lim x n k =a 。
n →∞
k →∞
{}
(2)(1)
x 若存在数列{x n }的两个子列x n 与,分别收敛于不同的极限,则数列{x n }必定n k k
{}{}
发散。
即判定一个数列的收敛性时,我们可以选取一个数列中的有限项去判定一个包含了无限项的数列的收敛性。
以上的Ⅰ、Ⅱ判定方法都有其运用数列{x n }本身的特征直接判断它是否收敛的。虽然很方便但也有其不可避免的局限性。下面给出一个较完善的判定定理;
Ⅲ Cauchy收敛原理:数列{x n }收敛的充分必要条件是:{x n }是基本数列。
基本数列的定义:如果数列{x n }具有以下特性:对于任意给定的ε>0,存在正整数N ,使得当n , m >N 时成立 x n -x m
通常级数的收敛性都是由其有限的部分(如级数的部分和,级数的通项等)来判定。下面我们给出级数收敛的几个判定定理来说明
Ⅰ 正项级数的收敛原理:正项级数收敛的充分必要条件是它的部分和数列有上界。若正项级数的部分和数列无上界,则其必发散到+∞。
Ⅱ 设∑u n 和∑υn 都是正项级数,且u n ≤υn (n =1,2, ⋅⋅⋅),
n =1
n =1
∞
∞
①. 若级数∑υn 收敛,则级数∑u n 也收敛;
n =1
n =1
∞
∞
∞∞
②. 若级数∑u n 发散,则级数∑υn 也发散。
n =1
n =1
∞
Ⅲ (D Alembert 判别法)设正项级数∑u n 满足lim
n =1
,
u n +1
=ρ,
n →∞u n
则(1) 当ρ
n =1
∞
∞
(2) 当ρ>1或ρ=+∞时,级数∑u n 发散;
n =1
∞
(3) 当ρ=1时,级数∑u n 可能收敛也可能发散。
n =1
(本课题中主要讨论级数的收敛性)
证:(1)设ρ0使得ρ+ε=q
u n +1
这样
u M +1
u M +2
u M +k
Ⅳ (Cauchy 判别法) 设正项级数∑u n 的一般项u n 满足
n =1∞
=ρ,
n 则 (1)当ρ
n =1
∞
∞
(2)当ρ>1或ρ=+∞时,级数∑u n 发散;
n =1
∞
(3)当ρ=1时,级数∑u n 可能收敛也可能发散。
n =1
证:(1)当ρN ,成
可知∑x n 收敛。
n =1∞
(2)当ρ>1,由于ρ
是数列
的极限点,可知存在无穷多个n
>1,这
说明数列{x n }不是无穷小量,从而级数∑x n 发散。
n =1
∞
11
(3)当ρ=1,可以通过级数∑2与∑知道判别法失效。
n =1n n =1n
∞
∞
一个级数,如果只有有限个负项或有限个正项,都可以用正项级数的各种判别法来判断它的敛散性。如果一个级数既有无限个正项,又有无限个负项,那么正项级数的各种判别法不再适用。那么碰到有无限项的级数时我们该如何判别它的敛散性呢?下面我们给出这样的一个判别法
Ⅴ (级数的Cauchy 的收敛原理)级数∑x n 收敛的充分必要条件是:对任意给定的
n =1∞
ε>0,存在正整数N ,使得
x n +1+x n +2+⋅⋅⋅+x m =
k =n +1
∑x
m
k
对一切m >n >N 成立。
也就是说
k =n +1
∑x
m
k
这个部分和收敛,就可得∑x n 这个级数收敛。
n =1
∞
定理结论还可以叙述为:对任意给定的ε>0,存在正整数N ,使得
x n +1+x n +2+⋅⋅⋅+x n +p =
∑x
k =1
p
n +k
>ε
对一切n >N 与一切正整数p 成立。 收敛级数的一些性质:
性质1:如果级数∑u n 收敛于s ,则级数∑ku n (k 为常数)也收敛,且其和为ks 。
n =1
n =1
∞
∞
∞
∞
∞
性质2:如果级数∑u n ,∑u n 分别收敛于s ,σ,则级数∑(u n ±υn )也收敛,其和为
n =1
n =1
n =1
s +σ。
性质3:在级数中去掉、加上或改变有限项,不会改变级数的敛散性。
性质4:如果级数∑u n 收敛,则在不改变该级数项的次序情况下,任意加括号后所成
n =1∞
的新级数仍收敛,其和不变。
性质5:如果级数∑u n 收敛,那么lim u n =0。
n =1
n →∞
∞
收敛级数的性质说明了,在无限项级数中,对其有限项的一些运算不改变其整体拥有的性质。
2.2无限由有限组成,同时由有限可以推演出无限
数列的概念是由某些实际延伸出的,数列是一些具有某些特征的数字或事物组成的集合。例如:达依尔的问题,在国际象棋棋盘放麦子:第一个格上放一粒麦子,第二个格子上放二粒,第三个格子上放4粒,以后按此比例每一格加一倍,一直放到第六十四格。那
64
么在第六十四格上放有多少粒麦子? 由数列的知识可以得出最终结果为2-1粒。但并不是
所有的数列我们都能够预测其最终结果,例如:某人第一次向银行存100元,第二次存500元,第三次存800元,第四次存80元,问第十次存了多少钱?第n 次存了多少钱?显然并不
能用所学的数列知识求解出答案。再如数列:{1,0,1,1,100,10,1, ⋅⋅⋅},预测不出其最终结果。
从数列和极限的定义可以知道,一个无限的过程总是由有限的值或有限的部分组成,甚至可以由有限的值或部分去推演整个数列或极限的性质。有限范围内封闭无限。如在数轴上0与1之间的有限长度上有无限多个点,甚至不知为什么对这样的概念难以理解,但无论什么情况下.都是无限封闭在有限里。又如在正五角形、正方形等图形中,可以作出无限多个与其自身相似的图形。也就是说可以将无限封闭在这种正五角形、正方形中(如图l 和图2) 。
圆周率等、等等有限数可作为近似值表示,但实际却是无限非循环小数,可用其它无限小数表示的数很多。
⎡11111⎤
圆周率(莱布尼茨公式) π=4⨯⎢1-+-+-+⋅⋅⋅⎥
⎣357911⎦
111⎛1⎫
自然对数的底e =1++++⋅⋅⋅=lim 1+⎪
n →∞1! 2! 3! ⎝n ⎭
习惯上,人们总认为,无限比有限大,比有限多,无限应包含有限,无限由有限组成。然而,现在我们知道,这种看法并不总是正确的。现代数学的发展,使我们看到有限中的无限,有限与无限的这种新的联系,是由数学家首次发现并运用的。
从有限去推演无限,另一个非常重要的事实是数学归纳法的应用。在数学中,无限也可以看作是有限的无限延伸,数学归纳法就是通过有限的步骤后得到我们原来需要无限步后的结果。数学归纳法陈述如下:
若一个命题P(n),当n=l时成立。
假定该命题当n=k时成立的情况下,能证明当n=k+l时也成立。那么就可以断言这个命题对于所有的自然数都成立。
例如,在自然数序列中,考察连续自然数的平方和
n
1⨯(1+1)⨯(2⨯1+1)
6
2⨯(2+1)⨯(2⨯2+1)
12+22=5=
6
3⨯(3+1)⨯(2⨯3+1)
12+22+32=14=
6
4⨯(4+1)⨯(2⨯4+1)
12+22+32+42=30=
6
5⨯(5+1)⨯(2⨯5+1)22222
1+2+3+4+5=55=
612=1=
2n +1我们发现:自然数序列前一个,二个,⋯⋯,n 个连续自然数的平方和等于n 和n +1,
的乘积的六分之一,即
12+22+32+⋅⋅⋅+n 2=
n ⨯(n +1)⨯(2n +1)
6
但这仅是一个猜想而已,对所有的自然数都成立么? 若不成立,举反例即可;若成立必须作进一步证明。用自然数一个一个地验算是不行的,因为自然数有无数多个,无论我们用了多少个自然数,也无法得到对于一切自然数都成立的普遍定理。这时就必须采用数学归纳法。
这种数学归纳法也叫“将棋一个压一个横倒论证法”或“多米诺骨牌横倒论证法”。这是因为最初的一个骨牌滑倒下去后,后面的骨牌就跟着一个压一个无限地倒下去。
庞加勒在讲到数学归纳法的作用时指出:“棋手能预料四五步棋,不管他多么非凡,他也只能准备有限步棋,假使把他的本领用于算术,他也不能凭借单一的直觉直接洞察算术的普遍原理,为了获得最普遍的定理,他也不得不借助于递推原理,因为这是能使我们从有限向无限延伸的工具。”如果我们不能从有限走向无限,证明一个定理对一切自然数都成立,就得不到普遍定理。
第三章 无限过程与有限过程的实践
3.1 Koch 雪花
1904年瑞典科学家科克(Koch )描述了这样一段奇特而又有趣的事件:一条边长为a 的正三角形,将每边三等分,以中间三分之一为一段向外再做正三角形,小三角形在三条边的出现使得原三角形变成了一个六角形,六角形共有12条边,再在这12条边上用与上述相同的方法,即可构造出一个新的48边形,如此做下去,其边缘越来越精细,看上去就像美丽的雪花,称为Koch 雪花。
…
将上述步骤简化下:从一个线段开始,根据下列规则可以构造出一个Koch 曲线: ①.三等分一条线段;
②.用一个等边三角形替代第一步划分三等分的中间部分,并且去掉三角形与线段重合的那段;
③.在每一条直线上,重复第二步。 如下图:
...
现在我们考虑做第n 次操作后形成图形的周长为P n ,面积为A n 。易知开始时
P 0=
3, A 0=
。在做每一步操作时,不难发现下面规律: ⑴ 每一条边生成4条新边;
1
⑵ 新边长为原边长的;
3
1
⑶ 每个新产生的三角形面积为原三角形面积的。
9
这样就可以得到
⎛4⎫⎛4⎫P n = ⎪P 0=3⋅ ⎪,
⎝3⎭⎝3⎭
⎛1⎫⎛1⎫⎛1⎫⎛1⎫
。 A n =+3⋅ ⎪⋅+3⋅4⋅ ⎪⋅+3⋅42⋅ ⎪⋅+... +3⋅4n -1⋅ ⎪⋅
4⎝9⎭4⎝9⎭4⎝9⎭4⎝9⎭4⎛4⎫
由于lim P n =lim3⋅ ⎪=+∞,从而Koch 雪花的周长为无限长。
n →∞n →∞
⎝3⎭当n 趋于无穷大时,把Koch 雪花图形的面积A 写成如下形式:
n
2
3
n
n n
1∞⎛4⎫A =+⋅∑ ⎪
444n =0⎝9⎭
4⎛4⎫
由于∑ ⎪是公比为的正项级数,因此Koch 雪花图形的面积A 的正项级数收敛,
9n =0⎝9⎭
∞
n
n
结论:由Koch 雪花的面积大小依赖于最初的正三角形边长,而Koch 曲线的周长却是
无限增大的,这结果简直不可思议,有限的区域生成无限的长度,是一种反常现象,促进了人们对这一问题的思考。这属于分形几何学的研究范畴,不在本课题的研究范围。
3.2 数列的收敛速度
从有限到无限,不同的过程之间有着很大的差别。在数列和级数中,这主要体现在其收敛的速度上。
e e ⎛1⎫
例:设n 为自然数,则有
2n +2⎝n ⎭2n +1e ⎛1⎫
2n +1⎝n ⎭
n +1
n
-e
e
, (2) 2n
n
111n +2
n +1! n +1! n +1k =0k ! n n +1
⎧⎧⎪⎛1⎫⎫⎪⎪⎛1⎫⎫⎪
证:众所周知, 若n 为自然数,则数列⎨ 1+⎪⎬ 单调递增收敛于e , 数列⎨ 1+⎪⎬
⎪⎝n ⎭⎭⎪⎪⎝n ⎭⎭⎪⎩⎩
⎧n 1⎫
单调递减收敛于e ,数列⎨∑⎬单调递增收敛于e 。(1)式左端不等式等价于
k ⎩k =0⎭
⎛1⎫
1+⎪⎝n ⎭
n +1
1⎫⎛
又等价于
(n +1)ln ⎛ 1+
⎝1⎫1⎫⎛
11⎛1⎫⎛1⎫⎛1⎫
或+ln 1+⎪- 1+⎪ln 1+⎪>0 (5) n n ⎝2n ⎭⎝n ⎭⎝n ⎭⎛x ⎫
令f (x )=x +x ln 1+⎪-(1+x )ln (1+x ) (x >0)
⎝2⎭x ⎛x ⎫
则f '(x )=1+ln 1+⎪+-ln (1+x )-1,
⎝2⎭2+x
f ''(x )=
121x +-=>0 22
2+x (2+x )1+x (1+x )(2+x )
故f '(x )单调递增,又f '(0)=0,所以当x >0时,f '(x )>0,从而f (x )单调递增,又f (0)=0,所以f (x )>0,即
⎛x ⎫
x +x ln 1+⎪-(1+x )ln (1+x )>0 (6)
⎝2⎭
在(6)中取x =
1
,即知不等式(5)成立,从而(1)式左端不等式成立。 n
1⎫⎛1⎫''⎛
(1)式右端不等式等价于e
⎝n ⎭⎝2n ⎭
1⎫⎛1⎫⎛
又等价于n ln 1+⎪+ln 1+⎪>1
⎝n ⎭⎝2n ⎭
1⎫1⎛1⎫1⎛
或ln 1+⎪+ln 1+⎪->0 (8)
⎝n ⎭n ⎝2n ⎭n ⎛x ⎫
令g (x )=ln (1+x )+x ln 1+⎪-x (x >0)
⎝2⎭
则g '(x )=
1x ⎛x ⎫+ln 1+⎪+-1 1+x 22+x ⎝⎭
1
x (x 2+5x +5)12
++=>0 2222+x (2+x )(1+x )(2+x )
g ''(x )=-
(1+x )
2
故g '(x )单调递增,又g '(0)=0,所以当x >0时,g '(x )>0,从而g (x )单调递增,又
g (0)=0,所以当x >0时,即
⎛x ⎫
ln (1+x )+x ln 1+⎪-x >0 (9)
⎝2⎭
在(9)中取x =
1
,知不等式(8)成立,从而(1)式右端不等式成立。 n
⎛1⎫
注:(Ⅰ)由于不等式(4)还等价于e > 1+⎪
⎝n ⎭⎛1⎫
故由(10),(7)知不等式(1)等价于 1+⎪
⎝n ⎭
n
n
1⎫⎛
1+ ⎪, (10)
2n +1⎝⎭
n
1⎫⎛⎛1⎫
1+
(11) 1+ ⎪
⎝2n ⎭
(Ⅱ)不等式(2)的左端与(1)的右端等价,不等式(2)的右端与(1)的左端等价,因而由已证不等式(1)知不等式(2)成立。
n
由于e =∑
1
!
,故 k =0k n
e -∑
1=1+1+1+1+ , k =0
k ! (n +1)! (n +2)! (n +3)! (n +4)! 而
1(n +1)! +1(n +2)! +1(n +3)! +1(n +4)!
+
1⎡11⎤(n +1)! ⎢⎣1+n +2+(n +2) 2+1
(n +2) 3
+ ⎥⎦
=
111n +2
(n +1)! 1=
(n +1)! n +1
, 1-n +2
n
又显然e -∑
11
k =0
k ! >
(n +1)! ,故 1n
11n +2
(n +1)!
. (3) k =0k !
(n +1)! n +1由已证命题及求数列极限的夹逼准则, 可得如下的
⎡⎛1⎫n ⎤⎡⎛1⎫n 推论 lim n →∞n ⎢⎢e -⎤e
⎣ ⎝1+n ⎪⎭⎥⎥=lim n ⎦n →∞
⎢⎢⎣ ⎝1+n ⎪⎭-e ⎥⎥=, ⎦2
lim ⎡n →∞
⎢⎣
(n +1) ⎛
n
⎝e -∑1⎫⎤k =0k ! ⎪⎭⎥⎦=1. (12)
(13)
n n +1
⎧⎫⎪⎛1⎫⎫⎪⎧⎪⎛1⎫⎪⎧e ⎫
由此可知,数列⎨e - 1+⎪⎬,⎨ 1+⎪-e ⎬收敛于零的速度和⎨⎬收敛于零的速
⎩2n ⎭⎪⎪⎩⎝n ⎭⎪⎭⎪⎩⎝n ⎭⎭
n
⎧1⎫1⎫⎧⎧n 1⎫
度相同,而⎨e -∑⎬收敛于零的速度和⎨⎬收敛于零的速度相同. 因此⎨∑⎬收敛
k ! (n +1)! ⎩k =0⎭⎩k =0k ! ⎭⎩⎭n n +1⎧⎪⎛1⎫⎫⎪⎧⎪⎛1⎫⎫⎪
于e 的速度远远大于⎨ 1+⎪⎬,⎨ 1+⎪⎬收敛于e 的速度.
⎪⎝n ⎭⎭⎪⎩⎪⎝n ⎭⎭⎪⎩
结束语
通过本课题研究可以了解,无限和有限是对立的统一,它们既是对立的,有区别的,又是相互联系的,并在一定条件下相互转化。从而了解有限和无限在数列求极限中的区别和联系,即无限中包括了有限。普遍意义下的无限和有限有着千丝万缕的联系,如无限由有限构成,无限是有限的延伸等等。在级数中有限和无限的研究,主要基于正项级数来研究的,来研究正项级数的收敛性。在通过对Koch 雪花模型研究出在数学意义下的无限和有限,在无限的计算中可以得出有限值。
参考文献
[1] 陈纪修,於崇华,金路,数学分析(上、下).[M],北京:高等教育出版社,2004.
[2] Richard Courant,fritz John,Introduction to Calculus and Analysis[M],北京:科学出版社,2005.
[3] 常庚哲,史济怀,数学分析. [M],北京:高等教育出版社,2009.
[4] 欧阳光中,姚允龙,周渊,数学分析. [M],上海:复旦大学出版社,2003.
[5] 华东师范大学数学系,数学分析. [M],北京:高等教育出版社,2010.
[6] 伍胜健,数学分析. [M],北京:北京大学出版社,2009.
[7] 卢丁(美)著,赵慈庚,蒋铎(译),数学分析原理. [M],北京:机械工业出版社,2004.
[8] 曹学广,王勇,数学分析. [M],上海:中国时代经济出版社,2007
[9] 汪明瑾,一类随机级数的收敛性及和的分布. [J],烟台师范学院学报,2006.
[10] 陈秀,张霞,高等数学(上、下).[M],北京:高等教育出版社,2011.
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致 谢
本论文是在导师姚玉武老师悉心指导下完成的。导师渊博的专业知识,严谨的治学态度,精益求精的工作作风,诲人不倦的高尚师德,严以律己、宽以待人的崇高风范,朴实无华、平易近人的人格魅力对我影响深远。不仅使我树了远大的学术目标、掌握了基本的研究方法,还使我明白了许多待人接物与为人处世的道理。本论文从选题到完成,每一步都是在导师的指导下完成的,倾注了导师大量的心血。在此,谨向导师表示崇高的敬意和衷心的感谢!
201118 何李贝 年 5月 于合肥学院