2015上海中学高三月考数学

上海中学高考月考练习

数学 2015.3

一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分. 1. 不等式2x -1≤1的解集是_________.

x

2. 设集合U =R , A ={y y =2-1, x ∈R }则ðU A =_______.

3. 三角形的三边之比为3:5:7, 则此三角形的最大内角是_______.

4. 若纯虚数z 满足(2-i) z =4-b (1+i) 2（其中i 是虚数单位，b ∈R ），则b =____.

y 2

5. 已知双曲线x -2=1(b >0) 的两个焦点分别是F 点P 在双曲线上，且PF 2垂直1、F 2，

b

2

于x 轴，∠PF 1F 2=30，则此双曲线的渐近线方程是________.

6. 某产品经过4次革新后，成本由原来的105元下降到60元. 如果这种产品每次革新后成本下降的百分率相同，那么每次革新后成本下降的百分率是______（精确到0.1%）.

x 2y 2

-=1的渐近线与圆(x -3) 2+y 2=r 2(r >0) 相切，则r=____. 7. 双曲线63

8. 已知复数z =lg(x 2-1) +ilg(x -1) （其中i 是虚数单位）, 若z 在复平面上对应的点位于第三象限, 则实数x 的取值范围是_______.

⎧cos πx , x ≤04

9. 已知f (x ) =⎨，则f () 的值为_______．

3⎩f (x -1) +1, x >0

10. 已知i 是虚数单位，集合A ={z |z =i , n ∈N *}，B ={ω|ω=z 1⋅z 2, z 1、z 2∈A }，（z 1可以等于z 2) ，从集合B 中任取一元素，则该元素为实数的概率为________. 11. 如图1所示的正方体的棱长为1, 沿对角面(图中阴影部分) 将其分割成两块, 重新拼接成如图2所示的斜四棱柱, 则所得的斜四棱柱的表面积是_______.

12. 在极坐标系中，已知点A (1,

n

π

) ，点P 是曲线ρsin 2θ=4cos θ上任意一点，设点P 到2

直线ρcos θ+1=0的距离为d ，则PA +d 的最小值为______.

13. 有一堆形状、大小相同的珠子，其中只有一粒重量比其它的轻，某同学经过思考，他说根据科学的算法，利用天平，四次肯定能找到这粒最轻的珠子，则这堆珠子最多有_____粒

.

14. 以正方形的四个顶点分别作为椭圆的两个焦点和短轴的两个端点，A 、B 、M 是该椭圆上的任意三点（异于椭圆顶点）. 若存在锐角θ，使

，则直线OA 、

OB 的斜率乘积为______.

二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分. 15. 下列命题中错误的是（ ） A．正棱锥的所有侧棱长相等； B．圆柱的母线垂直于底面； C．直棱柱的侧面都是全等的矩形；

D．用经过旋转轴的平面截圆锥，所得的截面一定是全等的等腰三角形．

16．已知y =f (x ) 是定义在R 上的偶函数，且在[0,+∞) 上单调递增，则满足f (m )

A.-1

π

1π

x -与直线y =在y 轴右侧的交点按横坐标从小到大依

244

次记为 P 1、P 2、P 3、…，则P 2P 4等于 ( ) A ． π B． 2π C． 3π D． 4π

18. 若当P (m , n ) 为圆x 2+(y -1) 2=1上任意一点时，不等式m +n +c ≥0恒成立，则c 的取值范围是（ ）

A

．-1≤c ≤1 B

1≤c ≤1 C

．c ≤1 D

．c ≥定的区域内写出必要的步骤.

19．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分. 已知一个圆柱和一个圆锥等底等高, 如图, 点O 为底面的圆心，点P 为圆锥的顶点. 若圆柱的高等于它的底面直径，

（1）求证:圆柱的任意一条母线和圆锥的任意一条母线所成的角都相等; （2）求圆柱的全面积和圆锥的全面积的比值.

20. （本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分8分

.

1

三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号规

已知函数f (x ) =

2cos(x -)

2

2

π

sin 2x cos(x +)

6

π

，(x ∈R )

（1）求f (x ) 的最小正周期及判断函数f (x ) 的奇偶性； （2）在∆ABC 中，f (A ) =0求∆ABC 面积的最大值.

21．（本大题满分14分）本大题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满8分. 已知(1+设

. 若对任意实数t 恒有

,

1n

x ) 展开式的各项依次记为2

．

．

（1）若a 1(x ), a 2(x ), a 3(x ) 的系数依次成等差数列，求n 的值；

（2）求证：对任意x 1, x 2∈[0,2]，恒有|F (x 1) -F (x 2) |≤2n -1(n +2) -1.

22．（本大题满分16分）本大题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满6分，第3小题满6分.

抛物线C 的方程为y =ax 2(a

(2) 当λ=1时，若点P 的坐标为(1,-1) ，求∠PAB 为钝角时点A 的纵坐标y 1的取值范围；(3) 设直线AB 上一点M ，满足

23. （本大题满分18分）本大题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满6分，第3小题满8分.

已知{a n }是由非负整数组成的数列，且{a n }是存在的, 满足a 1=0, a 2=3，

，证明线段PM 的中点在y 轴上.

a n +1a n =(a n -1+2)(a n -2+2) ，n=3，4，5，…… .

（1）求a 3；

（2）证明：a n =a n -2+2（n=3,4,5，…）; （3）求{a n }的通项公式及前n 项和S n .

一、填空题----结果等价即可得分

1. [0,1]. 2. (-∞, -1]. 3. 120. 4. -

4. 5. y =. 6. 13.0%. 7.

. 8.

. 9.

1. 2

(31

． 10. .

11. 4+.

22

13. 81. 14. -二、选择题

15.C 16．C 17．A 18.D 三、解答题----其它解法相应得分

19．【解答】设圆柱的高为h ，底面半径为r ，圆锥的母线长为l ，h=2r.

（1）因为圆柱的所有母线都平行于OP ，圆锥的任意一条母线与轴OP 组成全等的直角三角形，如图，∠APO 为圆柱的母线和圆锥的母线所成的角. ………………………………2分

OA 11

=，则∠APO =arctan …………………4分 AP 22

1

所以，圆柱的任意一条母线和圆锥的任意一条母线所成的角都相等，为arctan . ……6分

2

在Rt ∆AOP 中，tan ∠APO =

（2）h =

2r ，l =………………………………………………………8分

S 柱=2πrh +2πr 2=6πr 2, …………………………………………………………9分

1

S 锥=πr 2+l ⋅2πr =(1+πr ………………………………………………10分

2

故，

S 柱3==1) 。…………………………………………………………12分 S 锥2

1f (x ) =2sin x cos(x +20. 解：（）

π

6

π3

=x +) - ……………………………………………………3分

32

所以，f (x ) 的最小正周期为T =π…………………………………………………………4分

) -2sin 2x

ppp3ppp33f () =

i +) -=0; f (-) =

-+) -=-663263322

f (-) ¹f (), f (-) ¹-f () 6666

所以，函数f (x ) 是非奇非偶函数。…………………………………………………………6分

（2

）由f (A ) =A +

pppp

π

3

) -

3π=0

得sin(2A +) = 232

因为A 是∆ABC 的内角，所以，A =

π

6

………………………………………………8分

由

两边平方，整理得， 所以 得 所以

，得

对任意实数t 恒成立

……………………………10分

则有

且

12分

m =4等号成立）

所以，当m =4时，∆

ABC …………………………………14分 , n +1， …………2分

k -1k -1

21．解：（1）依题意a k (x ) =C n (x ) ，k =1,2,3,

1

2

10

⋅a 1(x ), a 2(x ), a 3(x ) 的系数依次为C n =1，C n

1n 1n (n -1) 2

=，C n ⋅() 2=，…4分 2228

所以2⨯

n n (n -1)

=1+，解得n =8； ………………………………6分 28

（2）F (x ) =a (x ) +2a (x ) +3a (x ), 123

01121=C n +2C n (x ) +3C n (x ) 2

22

+na n (x ) +(n +1) a n +1(x )

n -11n 1+nC n (x ) n -1+(n +1) C n (x ) n

…………8分22

012

F (2)=C n +2C n +3C n

n -1n

+nC n +(n +1) C n

……………………………9分

012

设S n =C n +2C n +3C n n n -1则S n =(n +1) C n +nC n

n -1n

， +nC n +(n +1) C n 210 +3C n +2C n +C n

k n -k

考虑到C n ，将以上两式相加得： =C n

0122S n =(n +2)(C n +C n +C n

n -1n

+C n +C n ) , 所以S n =(n +2)2n -1……12分

又当x ∈[0,2]时，F (x ) 是[0,2]上的单调递增函数，

所以对任意x 1, x 2∈[0,2]，|F (x 1) -F (x 2) |≤F (2)-F (0)=(n +2)2n -1-1．…14分

2

22．解：(1)由抛物线C 的方程y =ax （a

1

) ，………2分 4a

准线方程为y =-

1

．……………………………………………………………………4分 4a

2

(2) 因为点P (1, -1) 在抛物线y =ax 上，

2

所以a =-1，抛物线方程为y =-x ．…………………………………………5分

22

由③式知x 1=-k 1-1，代入y =-x 得y 1=-(k 1+1) ．

22

将λ=1代入⑥式得x 2=k 1-1，代入y =-x 得y 2=-(k 2+1) ．

因此，直线PA 、PB 分别与抛物线C 的交点A 、B 的坐标为

A (-k 1-1, -k 12-2k 1-1) ，B (k 1-1, -k 12+2k 1-1) ．

于是

，

， …………………………7分

．

因∠PAB 为钝角且P 、A 、B 三点互不相同，故必有求得k 1的取值范围是k 1

．

1

又点A 的纵坐标y 1满足y 1=-(k 1+1) 2， 故当k 1

11

42

1

(-1, -) ………………………………………………10分

4

(3)证明：设直线PA 、PB 的方程分别为y -y 0=k 1(x -x 0) 、y -y 0=k 2(x -x 0) ． ……………………………………………………………………………………11分

点P (x 0, y 0) 和点A (x 1, y 1) 的坐标是方程组

的解．

将②式代入①式得ax 2-k 1x +k 1x 0-y 0=0，于是x 1+x 0= 故x 1=

k 1

， a

k 1

-x 0 ③ …………………………………………………………13分 a

的解．

又点P (x 0, y 0) 和点B (x 2, y 2) 的坐标是方程组将⑤式代入④式得ax 2-k 2x +k 2x 0-y 0=0． 于是x 2+x 0=

k 2k

，故x 2=2-x 0． …………………………………14分 a a

由已知得，k 2=-λk 1，则x 2=-设点M 的坐标为(x M , y M ) ，由将③式和⑥式代入上式得x M =

λ

a

k 1-x 0． ⑥

，则x M =

x 2+λx 1

．…………15分

1+λ

-x 0-λx 0

=-x 0，即x M +x 0=0．

1+λ

∴线段PM 的中点在y 轴上．…………………………………………………………16分

23. 解：（1）由题设得a 3a 4=10，a 3、a 4均为非负整数，则a 3的可能的值为1,2,5,10.

若a 3=1，则a 4=10，a 5= 若a 3=5，则a 4=2，a 5=

3

，与题设矛盾， 2

35

，与题设矛盾， 2

3

若a 3=10，则a 4=1，a 5=60，a 6=，与题设矛盾，

5

所以a 3=2. …………………………………………………………………………4分 （2）用数学归纳法证明.

（i ）当n =3，a 3=a 1+2，等式成立。 ………………………………………5分 （ii ）假设当n =k （k ≥3）时等式成立，即a k =a k -2+2， ………………6分 由题设a k +1a k =(a k -1+2) (a k -2+2) ， ∵a k =a k -2+2≠0，∴a k +1=a k -1+2，

也就是说，当n =k +1时，等式a k +1=a k -1+2成立. ………………………9分 根据（i ）和（ii ），对于所有k ≥3，有a k +1=a k -1+2. ……………………10分 （3）由a 2k -1=a 2(k -1) -1+2，a 1=0及a 2k =a 2(k -1) +2，a 2=3， 得a 2k -1=2(k -1) ，a 2k =2k +1，k =1, 2, 3, .

⎧n -1, n 为奇数（注：n 为奇数时，a n =n -1；n 为偶数时，a n =n +1. 则a n =⎨）

n +1, n 为偶数⎩

即a n =n +(-1) n ，n =1, 2, 3, . …………………………………………14分

⎧1

n (n +1), 当n 为偶数，⎪⎪2

所以S n =⎨

1⎪n (n +1) -1，当n 为奇数。⎪⎩2n (n +1) 1-(-1) n

- 即S n = 22

（注：n 为偶数时，S n =(1-1) +(2+1) +(3-1) +(4+1) + +(n +1)

n (n +1)

2n (n -1) n (n +1)

+n -1=-1. ………………18分 n 为奇数时，S n =S n -1+a n =

22

=1+2+ +n =