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机械原理 —— 平面机构的运动分析

第3章 平面机构的运动分析

3-1 3-2 3-3 3-4 3-5 机构运动分析的目的和方法 速度瞬心法求机构速度 矢量方程图解法求速度、加速度 综合法进行速度分析 解析法求运动分析

基本要求:  理解速度瞬心的概念、数目和位置的确定方法  熟练掌握速度瞬心法在机构速度分析中的应用  熟练掌握矢量方程图解法进行运动分析  掌握用解析法对机构进行运动分析

机械原理 —— 平面机构的运动分析

任务、方法

一、机构运动分析的任务

 

已知：原动件的运动规律和机构运动尺寸 确定：⑴各构件的位置、角位移、角速度、角加速度； ⑵构件上某些点的轨迹、位移、速度、加速度

二、机构运动分析的方法

 

图解法: 速度瞬心法、矢量方程图解法 解析法:矢量法、复数法(矩阵法)、基本杆组法

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一、速度瞬心Instant Center



 

《理论力学》：当任一刚体相对于另一 刚体作平面运动时，在任一瞬时，都可 以认为它们是绕某一点作相对转动，该 点称为瞬时相对回转中心。 (Ａ 瞬时相对回转中心的位置? P12 既然P12是瞬时相对回转中心,则该 瞬时两构件在P12的相对速度为 零，或者说绝对速度相等,所以, P12为两构件该瞬时的等速重合点 速度瞬心:两构件瞬时等速重合点 相对速度为零，绝对速度相等 瞬心：相对瞬心、绝对瞬心 瞬心：

2

,Ａ １) ２

υＡ２Ａ１

(B

２ ,B １)

υ B２B１

  

P12

1

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三、瞬心位置的确定

(1) 由瞬心定义确定

通过运动副直接相联的构件——显瞬心

n

P12



P12 纯 滚 动

P12

C 2

P23

P12 B

1

3

P12 P12

滚 ＋ 滑

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瞬心位置的确定

(2) 借助三心定理确定 不通过运动副直接相联的构件——隐含的瞬心



三心定理：三个相互作平面运动的构件有三个瞬心， 且在一条直线上。

υC1C3 υC2C3

1

• C

3

2

P13

P23

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例1 求图3-3所示机构的所有瞬心

３ ４ ２ 4 ２ ３ １

P13

P34 P23

４ ２ 4 ２ １

P24 P12

P14

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例2 求图示机构的所有瞬心

１ 1 ２ ３ v3

P24

４

P34 P13

１

P34

２

P12

1 ３ v3

P14

４

P23

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2 平面连杆机构

P23 P12 1 P13 C 2 P13 vP13 B 1 AP 3 1

14

2 3 P13 1 P14 4

3 P34

1 P13P14L = 3 P13P34 L

4

P34

D

P13 P14  3  1 逆时针 P13 P34

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3 平面高副机构

3 2 1 1 1 2

P23

vP12 P12 P23

P13

3

P12 vP12

P23

P13

 1  P12 P12   2  P23 P

12

v 2  v P 12  1  P13 P12   L 向上

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例3 已知：铰链四杆机构各杆的长度。

求：机构的传动比 i=2/4 解：1. 取l 作机构运动简图 2. 求瞬心数目：N=4(4-1)/2=6 3. 求瞬心p24 要点： 取含2、4构件的三构件组两次确定p24 1-2-4构件组、 2-3-4构件组 同理得p13 vp24 v p 24  p12 p 24  2 3.求2 /4 v p 24  p14 p 24  4

 2 p14 p 24 i   4 p12 p 24

p24

分析：

显瞬心：p12, p23, p34, p14 隐含的瞬心：p13, p24

p13 p34

４ ２

３

p23 ２

１

4 p14

p12

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例3 已知：铰链四杆机构各杆的长度。

求：机构的传动比 i=2/4

解法二： 1 取μl作机构运动简图 2 求绝对瞬心P13 取含1、3构件的三构件组两次确定p13 1-2-3构件组、 1-3-4构件组 3 求2 /4

P13 P34

４ ２

３

P23 ２

１

4 P14

vP 23  3  P23 P  2  P23 P 13 12 v P 34  3  P34 P13  4  P34 P14

P12

P23 P12 2  P34 P13 l v P 34 P23 P13 P P P P 4    2  23 12  34 13 P34 P14  l P34 P14  l P23 P13 P34 P14

2   ...... 4

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课堂练习

图示机构,已知各构件尺寸和ω1，用瞬心法求v5 解题思路：

1

求３ 求v5

C D

3

E

4

A

1 2

ω1

5

F

利用P13

利用P35

6

B

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P15

求P13

求P35

P56→∞

求P15

v5  v P15  1  P16 P15  l

P35

E P 34

3 4

1  AP13  3  DP13

v5  v P 35   3  DP35

P56→∞

D

P16

1 2

A ω1

5

P13 C

P23

P36

F P45

6

P12

B

机械原理 —— 平面机构的运动分析

3-3 用矢量方程图解法作机构的运动分析

一、针对的工程问题 二、矢量方程图解法原理 三、同一构件上两点间的速度和加速度关系 四、两构件重合点间的速度和加速度关系 五、小结

机械原理 —— 平面机构的运动分析

二、矢量方程图解法原理

理论依据：《理论力学》的“运动合成原理”： 理论依据 “刚体的平面运动”、“点的合成运动” 1 基本原理 刚体的平面运动 绝对运动 = 牵连运动 + 相对运动 点的复合运动 2 方法 列出矢量方程式 作出矢量多边形

   牵连运动为平动时点的加速度合成： a a  ae  a r     牵连运动为转动时点的加速度合成： a a  a e  a r  a k

点的速度合成：

   va  ve  v r

机械原理 —— 平面机构的运动分析

同一构件上两点间的速度和加速度关系 两构件重合点间的速度和加速度关系(构成移动副)

例 图3-5所示机构,已知各构件尺寸和1 、 aB (1) 求υC 、υD和ω2 、 5 (2) 求aC 、aD和α2 、 5

E

4

B D(D4,D5) 1

1 5

1

A

aB

vB

2 3

x

6

C

x

F

机械原理 —— 平面机构的运动分析

1. 速度分析

引例 图示铰链四杆机构,已知各构件尺寸和1 ，求3和2

解:

1 取l作机构运动简图； 2 速度分析 求解顺序：vB→ vC → 3、2 (1) 求vB ： vB= ω1·lAB ，方向:⊥AB向右下 (2) 求vC ：

υCB υC

C B 1 1 A 4 D 2 3

υB

υC = υB + υCB

方向： ⊥CD 大小： ? ⊥BA 1 lAB ⊥CB ?

取速度比例尺υ作速度多边形图，可求出vC

机械原理 —— 平面机构的运动分析

速度多边形的作法：

υB m/s ①取μυ= ) ( pb mm

υC = υB + υCB

速度大小 图示线段长度

方向： ⊥CD 大小： ? ⊥BA 1lAB C B 1 1 A 4 c D 2 3 ⊥CB ?

μυ=

υCB

②从p点（极点）开始，作pb⊥BA， pb表示υB， pb =υB/ μυ ③过速度图上b点作bc⊥CB ， 过速度图上p点作pc⊥CD ； 两线相交点c点即为所求。 ④量得线段pc的长度，则υC= μv pc υC方向为p →c,即⊥CD 解:（续） 求：3= vC/lCD ，顺时针方向 (4)求2：2=vCB/lBC=μvbc/ lBC ， 逆时针方向

υC

υB

υC

p

υCB υB

b

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2. 加速度分析

引例 图示铰链四杆机构,已知各构件尺寸和1,1 ，求3和2

解:

1 取l作机构运动简图；2 速度分析；

t aCB t aC

3 加速度分析 求解顺序：aB→ aC → 3、2 (1) 求aB ： n a B  12  l AB 方向：B  A t a B   1  l AB 方向:⊥AB向右下 (2) 求aC ：

方向： ? 大小： ?

C→D ⊥CD B→A ⊥AB

2 1 AB

C B 1 1 A 1 2

n aCB n aC 3

t aB

 n t n t n t aC  aC  aC  a B  a B  aCB  aCB

 l

2 3 CD

a

n B

4

D

?

 l

 1 l AB  l

C→B

⊥CB

2 2 BC

?

取加速度比例尺a作加速度多边形图，可求出aC

机械原理 —— 平面机构的运动分析

加速度多边形的作法：  n t n t n t aC  aC  aC  a B  a B  aCB  aCB

方向： ? 大小： ?

C→D ⊥CD

2 3 lCD ? 2 12 l AB  1 l AB 2 l BC

t aCB

t aC

C B 1 1 A 1 2

n aCB n aC 3

B→A ⊥AB

C→B

⊥CB

?

①从p’点(极点)开始，作p’n1’∥BA ( anB ), 继续作n1’b’⊥BA ( atB ) ②过加速度图上b’点作b’n2’∥CB ( anCB ), 继续作n2’c’⊥CB ( atCB ) ③过加速度图上p’点作p’n3’∥CD ( anC ), 继续作n3’c’⊥CD ( atC ) ； 两线相交点c点即为所求。

t aB

a

n B

4

D

p’

aC an B

c’

anC aB

n3’

解:（续） 求：3= atC/lCD ，逆时针方向 (4)求2：2=atCB/lBC 逆时针方向

aCB

n1’ n2’

atB

anCB

b’

机械原理 —— 平面机构的运动分析

例1 图示机构,已知各构件尺寸和1(顺时针），求vC 、vD和2

解:

（1）取l , 作机构运动简图 （2）速度分析

B D ω1 A

1

求解顺序： 1）求υB ： υB= ω1lAB ，方向⊥AB向右下 2）求υC ：

方向： 沿xx

大小： ? ⊥BA 1lAB

   v B  v C  v D、 2

aB

vB

2

x

6

3

C

x

   v C  v B  v CB

⊥CB ?

p(a) d

c

取μv= υB/ pb作速度图 υC= μυ pc 3）求υD ：

方向： 大小：

b

     v D  v B  v DB  v C  v DC

? ?

⊥BA ⊥DB √

Δbcd ~ ΔBCD

故d点也可用速度影像法求出

√

?

√

⊥DC ?

机械原理 —— 平面机构的运动分析

例1

图示机构,已知各构件尺寸和1(顺时针），求vC 、vD和2

求解顺序：

   v B  v C  v D、 2

ω1 A

1

B D aB vB

2

解： (续) υC （1）取l ，作机构运动简图； （2）速度分析 1）求υB 2）求υC 3）求υD 4）求ω2

vCB  v bc  2  lBC lBC

逆时针方向

x

6

3

C

x

p(a) d

c

b

机械原理 —— 平面机构的运动分析

同一构件上两点间的加速度关系

1. 速度分析 2. 加速度分析

p(a) d b

例2 图示机构,已知各构件尺寸和aB，求aC 、aD和2

     求解顺序： a B  aC  a D、 2

B

c

2

aB vB

2

D

2

p'(a') d'

3

c'

1

A

1

x

6

C

x

n2' b'

  n t a C  a B  a CB  a CB

方向： 沿xx 大小： ? √ √ C→B 22lAB ⊥CB ?

用加速度影像法求出d'点 作Δb'c'd' ~ ΔBCD aD= μa p'd'

t aCB a n2 ' c '  2  l BC l BC

取μa= aB/ p'b'作加速度图 aC= μa p'c'

逆时针

机械原理 —— 平面机构的运动分析

速度图、加速度图性质

小结

1.由极点引出的向量代表绝对值,其它任意两点间的向量代表相对值,极点 代表速度（或加速度）为零； 2.已知同一构件两点间的速度（或加速度）,则可利用影像原理直接求出 该构件其它点的速度（或加速度）； 3.多边形的形状与原动件的真实速度大小无关(仅与机构的位置有关)

c

p´ b

b

e

e´ c´ n1

´

n3´ e c b´

1 B 1 A 1 2

p

C

E

3

n2´

4

D

机械原理 —— 平面机构的运动分析

四、两构件重合点间的速度和加速度关系

(构成移动副)

《理论力学》“运动合成原理” 点的速度合成定理:  动点在某瞬时的绝对速度（va）等 于它在该瞬时的牵连速度（ve）与 相对速度（vr）的矢量和:



引例 图示车厢以速度v1行驶，雨垂 直落下，滴在车厢侧面的玻璃 上，流下与铅直线成α角的雨 痕．求雨滴的速度。 y y'

M(M1,M2)

   va  ve  vr

绝对速度=牵连速度+相对速 度



ve vM1 vM2M1 vr o' o

α

va vM2

v1 x' x

两构件构成移动副，任一瞬时在 重合点M(M1,M2) 的速度关系为

   v M2  v M1  v M2M1

机械原理 —— 平面机构的运动分析

《理论力学》“运动合成原理”

点的速度合成定理:



绝对速度=牵连速度+相对速度

点的加速度合成定理:



      v v v v a  v e  v r C 2 C 1 C 2C 1

   若牵连构件作平

动: a a  a e  a r     若牵连构件作转动: a a  a e  a r  a k   r k aC 2  aC 1  aC 2C 1  aC 2C 1

绝对加速度=牵连加速度+相对加速度+哥氏加速度 2 1 1

C (C1, C2) 3

哥氏加速度: 1 由于牵连运动是转动, 使相对vr的方向改变 2 由于相对运动, 使牵连ve的大小改变

4

 a k  2 e  v r  2 e v r sin 

k



a C 2C 1

  21  vC 2C 1  21vC 2C 1 sin 90



方向为将矢量vr按e的 转向转过90的方向

机械原理 —— 平面机构的运动分析

两构件重合点间的速度和加速度关系

(构成移动副——牵连运动为转动)

引例 图示机构，已知各构件尺寸， 构件１以1匀速转动，求3 和α３

(B1, B2) B

      v B2  v B1  v B2B1 vC  v B2  vCB2

［解法一］取B为重合点：B(B1, B2) 速度： vB1 → vB2 → vC→ ３

加速度： aB1 → aB2 → aC→ ３

2 C (C1, C2 , C３) 3 D

1

A 4

1

  r k a B2  a B1  a B2B1  a B2B1

  r k aC  a B2  aCB2  aCB2

［解法二］取C为重合点：C(C1, C2 , C3)

速度： 加速度：

绝对运动: 构件2上的运动 相对运动: 构件2相对于1的运动 牵连运动: 构件1的运动

   vC2  vC1  vC2C1

vC1 → vC2 (=vC3 )→ ３ aC1 → aC2 (=aC3 )→ ３

  r k aC2  aC1  aC2C1  aC2C1

机械原理 —— 平面机构的运动分析

例1 图示机构,已知各构件尺寸和1(顺时针），求vC 、vD和2 例2 图示机构,已知各构件尺寸和aB，求aC 、aD和α2

例3 接例1和例2，求ω5和5

解: 取D为重合点：D(D2, D4 , D5) (1)求5 vD4 (=vD2 )→ vD5 → 5 1) vD4 ： vD4 =vD2 2) vD5 ：

ω1

1

B aB vB

2

4

E

D(D4,D5)

3

5

5

α1

A

x

6

C

x

F

   v D4  v D5  v D4D5

⊥DF ? ∥FE ?

p

d5

方向： √ 大小： √

3) ω5 ：

vD5 μν  pd5  ω5  ιFD μι  FD

顺时针方向

c d2(d4) b

机械原理 —— 平面机构的运动分析

解 取D为重合点：D(D2, D4 , D5) (1)求5 (2)求5

B

ω1

1

4

E

D(D4,D5)

5

5

aD4 (=aD2 )→ aD5 → 5

1) aD4 ： aD4 =aD2 2) aD5 ：

α1

A

aB

vB

2

5

F

x

6

3

C

x

d5 '

 n t k r a D4  aD 5  aD 5  aD 4 D 5  aD 4 D 5

方向： √ 大小： √

k k 大小： a D5D4  25   D 5 D 4 a D5D4

方向：将vD5D4 沿5 ( = 4)方向转90°

t a D5F μa  n5d 5 3) 5 ： α5   ιFD μι  FD 顺时针方向

D→F lDF52

⊥DF ?

√ √

∥FE ?

d5

p' n5' c d2(d4) b

c' d4'(d2')

k'

p

n2' b'

机械原理 —— 平面机构的运动分析

例4 图示为一柱塞唧筒六杆机构。已知lAB=140 mm， lBC= lCD=420 mm, ω1 = 20 rad/s，沿顺时针方向回转。求图示 位置时的速度vC 、 vE5 ，加速度aC 、 aE5 ，角速度ω2 、 ω3 ，角加速度α2 、 α3 。 解: （1）取μl

作机构运动简图；

l 

l AB m  0.01 mm AB

（2）速度分析

     v B  v C、 2、3、v E2  v E4(= v E5 )

求解顺序：

机械原理 —— 平面机构的运动分析

解:

（1）取μl作机构运动简图； （2）速度分析

     v B  v C、 2、3、v E2  v E4(= v E5 )

1）求vB

v B   2 l AB  20  0.14  2.8 ( m / s )

求解顺序：

2）求vC

   v C  v B  v CB

⊥CB ?

c p

方向： ⊥CD ⊥BA 大小： ? ω1lAB

vB m/s  0.1 取 v  作速度图 mm pb

v C   v pc  0.1  26  2.6 ( m / s )

b

机械原理 —— 平面机构的运动分析

解:

     v B  v C、 2、3、v E2  v E4(= v E5 )

1）求vB 2）求vC

（1）取μι作机构运动简图 （2）速度分析

3）求vE2: 用速度影像法 4）求vE5 (= vE4 )

    v E5  v E4  v E2  v E4E2

c p

方向： ∥EF √ ∥BC 大小： ? √ ? v E 5  v E 4   v pe 4  0.1  10.5  1.05 ( m / s )

5）求ω2、ω3

2 

v CB  v bc 0.1  26    6.19 ( rad / s ) 逆时针 l BC l BC 0.42 v  pc 0.1  26 3  C  v   6.19 ( rad / s ) 逆时针 l l 0.42

CD CD

e2 b

e4 ,e5

机械原理 —— 平面机构的运动分析

解:

（1）取μι作机构运动简图 （2）速度分析

（3）加速度分析      a B  a C、 2、 3、a E2  a E4(= a E5 ) 1）求aB

n a B  a BA  12 l AB  20 2  0.14  56 ( m / s 2 )

方向：B→A

2）求aC

方向： ? 大小： ?

  n t n t a C  a B  a CB  a CB  a CD  a CD

B→A √

n'2

b'

 l

C→B

2 2 BC

2

⊥BC ?

 l

C→D

2 3 CD

⊥CD ?

取 a 

aB m/s 2 作加速度图 mm p 'b '

p' c' n'3

机械原理 —— 平面机构的运动分析

解:（3）加速度分析      a B  a C、 2、 3、a E2  a E4(= a E5 ) 1）求aB 2）求aC 3）求aE2: 用加速度影像法 4）求aE5: (aE5=aE4)

方向：∥EF 大小： ?

k a E 4 E 2  2 2 v E 4 E 2

   k r a E5  a E4  a E2  a E4E2  a E4E2

√ √ ⊥BC ∥ BC √ ? 2 2 v E 4 E 2

n'2 e'2

b'

方向：将相对速度vE4E2沿牵连构件 ω4的角速度4的转向转过90°

c' n'3

p'

机械原理 —— 平面机构的运动分析

解:（3）加速度分析      a B  a C、 2、 3、a E2  a E4(= a E5 ) 1）求aB 2）求aC 3）求aE2: 用加速度影像法 4）求aE5: (aE5=aE4)

方向：∥EF 大小： ?

k a E 4 E 2  2 2 v E 4 E 2

   k r a E5  a E4  a E2  a E4E2  a E4E2

√ √ ⊥BC ∥ BC √ ? 2 2 v E 4 E 2

k' n'2 e'2 b'

e'4, e'5

方向：将相对速度vE4E2沿牵连构件 ω4的角速度4的转向转过90°

a E 5  a E 4   a pe '4  2  32.5  65 ( m / s 2 )

c' n'3

p'

机械原理 —— 平面机构的运动分析

解:（3）加速度分析



    a B  a C、 2、 3、a E2  a E4(= a E5 )

1）求aB 2）求aC 3）求aE2: 用加速度影像法 4）求aE5: (aE5=aE4)

   k r a E5  a E4  a E2  a E4E2  a E4E2

n'2

k' b' e'2

e'4, e'5

5）求α2、α3

t aCB  a n '2 c ' 2  25.2 2     120 ( rad / s 2 ) l BC l BC 0.42 顺时针

a  a n '3 c ' 2  24.8 3     118.1 ( rad / s 2 ) lCD lCD 0.42 逆时针

t CD

p' c' n'3

机械原理 —— 平面机构的运动分析

五、小结

1. 正确绘制机构运动简图； 2. 适当确定比例尺，严格按比例作图； 3. 应注意的几个问题：

  

两种问题正确归类 每个矢量方程可解2个未知数 极点出发为绝对速度或绝对加速度； 其它矢量为相对速度或相对加速度。 角速度和角加速度方向的判定； 科氏加速度方向的判定; 速度和加速度各作一个矢量图； 同一矢量的分量应画在一起。

   

机械原理 —— 平面机构的运动分析

作业:

P43-48 思考题: 3-1、3-2 习题：3-3、3-6、3-19 选做题：3-14、3-15