1.4定积分与微积分练习题
定积分与微积分练习题及答案
一、选择题：
1如图，阴影部分面积等于( )
A ．23
3235
B ．2－3 C. 33
2. ⎛24－x2dx ＝( )
⎠0
A ．4π
B ．2π C ．π
πD. 2
ππ
3．向平面区域Ω＝{(x，y)|－0≤y≤1}内随机投掷一点，该点落在曲线y ＝cos2x
44下方的概率是( )
π
A. 4
1B. 2
π
1 2
2π
⎧x2， x ∈[0，1]，⎪
4．设f(x)＝⎨则
⎪2－x ，x ∈[1，2]，⎩
⎰
2
f(x)dx等于 ( )
345
B. C. D ．不存在 4565．函数y ＝－x 2＋2x ＋1与y ＝1相交形成一个闭合 图形，则该闭合图形的面积是 ( ) 4
A ．1 B. C. 3 D ．2
36. 若y ＝
⎰
x
(sint＋costsint)dt ，则y 的最大值是 ( )
7
A ．1 B ．2 C ．－ D ．0
27．(2010·惠州模拟) ⎛2(2－|1－x|)dx＝________.
⎠0A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
8．(2012·太原模拟) 已知(xlnx)′＝lnx ＋1，则⎛e lnxdx ＝( )
⎠1A ．1 B ．e C ．e －1 D ．e ＋1
－x －1 －，⎧⎪
9．若函数f(x)＝⎨的图象与坐标轴所围成的封闭图形的面积为a ，π
，⎪2⎩则a 的值为( )
2＋π
A.
4
1B. 2
3
C ．1 2
二、填空题：
1．已知函数y ＝x 2与y ＝kx(k＞0) 的图象所围成的阴影部分 4
(如图所示) 的面积为，则k ＝________.
3
2．如图，设点P 从原点沿曲线y ＝x 2向点A(2,4)移动， 记直线OP 、曲线y ＝x 2及直线x ＝2所围成的面积 分别记为S1，S2，若S1＝S2，则点P 的坐标为________．
3．一辆汽车的速度—时间曲线如图所示，则该汽车在这一分钟内行驶的路程为_______米．
4. 已知函数f(x)＝3x 2＋2x ＋1，若⎛1f(x)dx＝2f(a)成立，则a ＝________.
⎠-15．若f(x)是一次函数，且________．
6．抛物线y 2＝2x 与直线y ＝4－x 围成的平面图形的面积为________． 7．如果⎛1f(x)dx＝1，⎛2f(x)dx＝－1，则⎛2f(x)dx＝________.
⎠0⎠0⎠1
8．设函数f(x)＝ax 2＋c(a≠0)，若⎛1f(x)dx＝f(x0) ，0≤x0≤1，则x 0的值为________．
⎠04
9．抛物线y 2＝ax(a>0)与直线x ＝1围成的封闭图形的面积为，若直线l 与抛物线相切
3且平行于直线2x －y ＋6＝0，则l 的方程为______．
2
10．设n ＝⎛2(3x2－2)dx ，则(x) n 展开式中含x 2项的系数是________．
x ⎠1三、解答题： 1．计算以下定积分： (1) ⎰
2
⎰
1
f(x)dx＝5，
⎰
1
xf(x)dx＝
17
，那么6
⎰
2
1
f(x)
dx 的值是x
1
1
(2x－)dx ；(2)
x
2
⎰
32
π
1
(x ＋2dx ；(3)
x
⎰
30
(sinx－sin2x)dx ；
(4)
⎰
1
-1
x
|x|dx; (5)⎛πcos 2
；
2⎠0
2．设y ＝f(x)是二次函数，方程f(x)＝0有两个相等的实根，且f′(x)＝2x －2. (1)求y ＝f(x)的表达式；
(2)求y ＝f(x)的图象与两坐标轴所围成图形的面积．
3．已知f(x)为二次函数，且f(－1) ＝2，f′(0)＝0，⎛1f(x)dx＝－2.
⎠0(1)求f(x)的解析式；
(2)求f(x)在[－1,1]上的最大值与最小值．
1
4．设f(x)＝
|x2－a 2|dx.
(1)当0≤a≤1与a ＞1时，分别求f(a)； (2)当a≥0时，求f(a)的最小值．
5．有一条直线与抛物线y ＝x 2相交于A 、B 两点，线段AB 与抛物线所围成图形的面4
积恒等于，求线段AB 的中点P 的轨迹方程．
3
6．如图所示，在区间[0,1]上给定曲线y ＝x 2，试在此区间内确定t 的值，使图中阴影部分的面积S 1＋S 2最小．