多尺度建模及计算方法

多尺度建模及计算方法

张平文

（北京大学数学科学学院１００８７１）

摘要：多尺度建模与多尺度计算方法已经成为计算科学重要的研究方向。与传统的计算方法不同，多尺度计算方法需要－９多尺度建模问题同时考虑。本文介绍了几种常用的多尺度计算方法，即解析方法、多尺度有限元方法与分层次多尺度计算方法。并以复杂流体为例，介绍了多尺度建模过程与多尺度计算方法的关系。

关键词：多尺度建模多尺度计算方法复杂流体

传统的数学模型是建立在单一层次的物理规律之Ｅ的．应用三大守恒定律（质量、动量、能量）及某种本构关系，从而形成某类偏微分方程组（如Ｎａｖｉｅｒ—Ｓｔｏｋｅｓ方程）。计算方法就是数值求解这些偏微分方程组的离散方法，如有限差分方法、有限元方法、谱方法等。计算方法与数学模型是两个单独的过程，即数学建模不考虑将来使用什么样的计算方法，而研究计算方法不考虑数学建模的过程。随着计算机的高速发展，与之相适应的计算方法与计算技术取得了巨大的成功。

建立在牛顿力学基础之上的连续介质力学数学模型，其“连续性假设”并不能反映某些微观尺度起主导作用的运动，如裂纹传播、晶体生长等。当然，我们可以以量子力学为基础来建立这些问题的数学模型，然而，即使用当今最快的计算机和对此方程最好的计算方法（密度泛函方法），能计算最大的体系也不过几千个电子，离实际要求相距甚远。因而对这类微观尺度也起主导作用的运动建立多尺度物理模型是必要的。

多尺度物理模型是指对不同的区域或不同的尺度层次应用不同物理规律建立的数学模型。我们期望多尺度物理模型不仅能较好地反映物性机理且为能有效计算提供可能性，从而使得多尺度建模与多尺度计算方法成为一对孪生兄弟。与传统的计算方法研究不同，多尺度建模成为计算科学研究中厦要的组成部分。

在建立多尺度物理模型过程巾，常ｆ｝ｊ的儿个物理层次为麓予力学（Ｑｕａｎｔｕｎｌ、，ｌｅｃｈａｎｉＣｓ）、分，ｒ动力学（晒ｌｅｃｕＩａｒＤｙｎａｍｉＣＳ）、分ｆ运动论（Ｋｉｎｅ“ＣＴｈｅｏｒｙ）和Ｊ连

续介质力学（ＣｏｎｔｊｎｕｕｌｌｌＴｈｅｍ’Ｙ）。

多尺度物理模型中有两个常用的概念：宏观与微观，与物理学家理解４ｉ同，我们把他们看成…个相对的概念。我们通常把宏观变量记为Ｕ，微观变量记为“，宏观区域记为Ｄ，微观区域记为Ｄ，状态空间分别记为Ｑ＝ｃ（Ｄ），ｕ＃Ｃ（Ｄ），宏观与微观变量信息交换由两个主要的算子，压缩算子Ｑ和重构算予Ｒ完成，他们满足

Ｕ＝Ｑｕ，“＝ＲＵ，ＱＲＵ＝Ｕ

显然，这两个算子都不是唯一的。

在传统的数学模型中，有时我们不得不引进太多的经验参数（如液晶）或模型在某些区域不对或缺乏精度（如裂纹），这时，我们期望建立多尺度物理模型避免上述困难，所以，即使不考虑计算方法的影响，多尺度物理模型对真实反映物性机理也是非常重要的。

多尺度物理模型中宏观与微观经常会相互耦合。最简单的情形为单向的（ＳｅｒｉａｌＣｏｕｐ］ｉｎｇ），即微观模型为宏观模型提供参数或变量但不依赖宏观模型。最一般的情形是宏观模型与微观模型相互关联（Ｃｏｎｃｕｒｒｅｎｔｃｏｕｐｌｉｎｇ）。从区域角度看，宏观模型与微观模型既可以是局部耦合也可以是全局耦合。

在多尺度物理模型中，我们有一个基本假设，即微观模型在整个区域都是正确的，掘此，我们把经常遇到的多尺度横型分为两类：

Ａ型：宏观模型在局部区域不对（如裂纹）；

Ｂ型：宏观模型存在但＂ｇｆ，ＩＩ具体形式（如均匀化问题）。

对这两类问题可能采用的多尺度计算方法也差别很大。

数值求解多尺度物理模型的计算方法称之为多尺度计算方法。对均匀化问题，多尺度计算方法可以分为三类：解析方法、多尺度有限元方法和分层次多尺度方法（Ｈ，ＶＬＭ）。

解析方法就是找到宏观控制方氍，然后用常规的计算方法求解，这个过程町以表达为

Ⅵ，。．ＣＬｕ，。ｈＩｔＩＩ．，？？

ｆｌ＇，ｊ多尺度有限元方法就地Ｊ＿ｌ＿ｊ能反ｌ映做脱ｆ一息的坫两数替代常规有限冗的壤两

仃｛艇元：仃浊求自ｇ｛夸和Ｊ疗ｆ笔，ｉ皇，Ｊ‘ｊ』：』Ｉ±’一Ｉ｜ＩｆＩ５ＨｊＬＣＩＪ女ｆｉ人之…Ｂａｂｎｓｋａ提ｆｆｊ，后经’Ｉ、ＯＩＩｉ９２

Ｉｔｏｕ、Ｓｃｈｗａｂ等人发展，成为重要的多尺度计算方法，陔方法的不足之处是处理非线性问题有困难，且计算量并没有减少。

分层次多尺度方法与上述两种多尺度计算方法不同，它只是一个框架，它可以简单表述为：给定微观模型

Ｕ，＝ｆ（ｕ），

我们希望得到Ｕ＝Ｑｕ，从而我们假设

ｕ。＝Ｆ（Ｕ），

这旱通量Ｆ（Ｕ）并不知道，Ｅ述方程用Ｅｕｌｅｒ格式可以求解

≮≯叫叭

所谓分层次多尺度计算方法就是从微观模型中给出通量Ｆ（Ｕ”）的求解方法，这样，我们不需要知道宏观模型方程，却可以求解宏观变量。由徐昆等人提出的求空气动力学运动学格式就是～个典型的分层次多尺度计算方法，它不需要知道宏观运动方程（ＥｕｌｅＦ方程），却可以求出宏观变量密度、速度、温度等。分层次多尺度计算方法的一般框架是由鄂维南和Ｂ．ＥｎｇｑｕｉＳｔ归纳整理的。

下面我们以复杂流体为例，来认识多尺度建模与多尺度计算方法的全过程。不可压流体力学基本运动方程（Ｎａｖｉｅｒ—Ｓｔｏｋｅｓ）为

ｒ“，＋（ｆ，‘Ｖ）ｕ＋ＶＰ＝Ｖ‘ｆ（１）

ｊＶ・“＝０（２）

（３）ｆ＝ｆ。＝，７：（Ｖ“＋（Ｖ“）７）＝２＂，ｄ

其中ｕ为速度场，Ｐ为压力，ｆ为应力张量，方程（１）是由动量守恒得到的，方程（２）是由质量守恒得到的，（３）是牛顿假设的本构关系，非常奇妙的是上述ＮＳ方程对绝大多数流体（小分子）运动都适用。

但对一些复杂的流体，如聚合物流体（Ｐｏｌｙｍｅｒ），上述牛顿流体运动方程不再适用，主要是线性本构关系（３）不再成立。如果上述本构关系用某种非线性本构关系替代

ｆ＝ｔ＋ｆ。‘（４）

ｆ。表习÷聚合物的贡献，则方程（１）（２）（１）称为非７卜顿流体方程。但足，我们，Ｆ／ｆｊ钏通聚合物怎杵影响流体延功，或栉晚。水牛帧流体运功，，雅还址没彳ｒ准确描。ｔ；聚合物９３

流体运动。这时．如果我们考虑聚合物分ｆ形状，引进多尺度模型，就能殳精确刻ｉｆＩｌｉ复杂流体运动。。ｒ．。

最简单的复杂流体多尺度模型是假设聚合物分子为哑铃状，考虑分子在流体中运动（Ｋｉｎｅｔ，ｉｃＴｈｅｏｒｙ），这时，单个分子位形变化受流体的摩擦力、弹性力和随机力的影响，从而单个分子的运动方程为

厂出＝“ｄｒ（５）

这是～个随机微分方程，其中Ｋ＝（Ｖ“）７，ａ是分子的构型（Ｃｏｎｆｉｇｕｒａｔｉｏｎ）。上述方程的Ｆｏｋｋｅｒ—Ｐｌａｎｃｋ方程又称Ｓｍｏｌｕｃｈｏｗｓｋｉ方程

口，，，＋（Ｈ．ｖ。），十ｖ口．ｆ（Ｋ一．多Ｆ（ａＡＴ，ＧｔＱ）ｆ２：１Ｊ＿ｆ。，’，忡～ｒ），＋Ｖ口’【∞一亏兀（７）∽’ｋ卜－孑Ｆ（Ｑ）ｌｄｔ＋厣Ⅳ㈤

这罩ｆ为聚合物的密度函数，ＦＣＱ）为哑铃状分子两个“小球”之间的弹性力，一般弹性力考虑两种情形，Ｈｏｏｋｅａｎ弹性力

Ｆ（Ｑ、＝Ｈａ（８）

或ＦＥＮＥ弹性力

醐…分冀惑；…№…。糙一一量ｆ。＝－ｉＴＫ８ＴＩ＋１１＜，（Ｑ）ｏＱ＞ｔ（９）（１０）其中

＜Ｆ（Ｑ）＠ａ＞＝Ｉ，（Ｑ），（Ｑ）＠ＱｄＱ。（１１）

这样就完成了哑铃状分子复杂流体的多尺度建模过程。宏观为流体运动方程，微观为分子运动论（ＫｉｎｅｔｉＣＴｈｅｏｒｙ），信息传递关系为Ｋｒａｍｅｒｓ表达式（１０），该多尺度模型足双向耦合的，属于Ｂ型问题。这晕微观模型既可以为随机微分方程（５）（６），也可以是Ｆｏｋｋｅｒ—Ｐ１ａｎｃｋ方程（７）。

下面考虑该多尺度模型的多尺度计算方法，由于该模型不是均匀化问题，故不能考虑多尺度有限元方法。首先，我们考虑上述模型的解析方法。

如果我们考虑ｔｌｏｏｋｅａｎ弹性力，则上述微观模型的二：阶矩足封闭的

ｒｆｐ＋Ａｔ，，＝２ｒｐｄ（１２）

ｆ｜：３）‘㈤１（：（¨巾，．，－－Ｋ＂Ｔｅ－ｆｌ＇．Ｋ７ｖ）ｒｈ＝（ｒ，），＋…Ｋ

ｒ

（１２）（１３）与流动运动方程（１）（２）形成…个封闭的系统称之为０１ｄｒｏｙｄ—Ｂ模型，它相当于多尺度模型的宏观方程，应用常规的计算方法即可以得到数值结果。若我们考虑ＦＥＮＥ弹簧，二阶矩方程并不封闭，其中包含四阶矩，对分布函数做一些假设，我们也可以得到近似的宏观方程（非牛顿流体运动方程），上述封闭过程就是典型的解析方法。对上述多尺度模型也可以直接离散求解，如ｆｊｔｒｉｎｇｅｒ的ＣＯＮＮＦＦＥＳＳＩＴ方法，ｔｌｕｌｓｅｎ等人的ＢＣＦ方法，这些都是针对多尺度模型传统的计算方法，我们称之为数值多尺度计算方法，其中涉及到确定型与随机模拟方法的耦合，怎样减少随机误差（方差）等方面问题。

上述多尺度模型无量纲化

ｒ”（川）ｕ＋ＶＰ＝去Ｖ卅悬Ｖ。。，口舻。

Ｊｆｐ＝＜Ｆ（Ｑ）＠Ｑ＞…）…）（１６）

怪Ｐ瓦１Ｆ（Ｑ）卜而ｌ椰愚

其中Ｒｅ为Ｒｅｙｎｏｌｄ数，Ｄｅ为Ｄｅｂｏｒａｈ数。当Ｄｅｂｏｒａｈ数很小时，我们可以用多层次的多尺度计算方法来解决时间步长刚性问题，它的基本原理为宏观方程我们能用大步长，微观方程必须使用小步长，但微观方程很快驰豫到定常解，从而，只需要对微观方程作少量时间步计算就可以把数值解延拓到宏观方程中去。

另外，多尺度模型方程的适定性、解的结构与性质等课题也是我们关心的问题。对更加一般的分子结构，如棒状分子、多个哑铃状分子连接在一起的大分子等，我们都可以考虑这样的聚合物复杂流体多尺度模型，也得到了相关～。些结果，如缺陷形成机制及动力学等。

论著目录：

１．ＲｕｏＬｉ，ＴａｏＴａｎｇａｎｄ

ｏｎＰｉｎｇｗｅｎＺｈａｎｇ，ＭｏｖｉｎｇＭｅｓｈＭｅｔｈｏｄｓＭａｐｓ，ＪｏｕｒｎａｌｏｆＣｏｍｐｕｔａｔｉｏｎａｌｉｎＭｕｌｔｉｐｌｅＩ７０，ＤｉｍｅｎｓｉｏｎｓＢａｓｅｄＨａｒｍｏｎｉｃＰｈｙｓｉｃｓ

ｐｐ５６２・５８８（２００１）．

２．Ｔｉｅ３ｕｎＬｉａｎｄＰｉｎｇｗｅｎＺｈａｎｇ．ＮｕｍｅｒｉｃａｌＳｔｕｄｉｅｓｏＪ‘ＳｈａｌｌｏｗｗａｔｅｒＷａｖｅｓｏｎ

ＳｌｏｐｐｉｎｇＢｅａｃｈｗｉｔｈＡｒｔｉｆｉｃｉａｌＢｏｕｎｄａｒｙ，汁鳟数学Ｖ０１．２３，Ｎｏ．４ｐｐ５０３—５１２（２００１）．３．ＱｉａｎｇＤｕ，ＤｉａｎｚｈｏｎｇＬｉ，Ｙｉ．ｙｉＬｉ．ＲｏｕＬｉａｎｄＰｉｎｇｗｅｎＺｈａｎｇ，ＳｉｍｕｌａｔｉｎｇＡＤｏｕｂｌｅ

ＣａｓｔｉｎｇｔｅｃｈｎｉｑｕｅＵｓｉｎｇＬｅｖｅｌＳｅｔ

ｐｐ２００Ｍｅｔｈｏｄ，ＣｏｍｐｕｔａｔｉｏｎａｌＭａｔｅｒｉａｌｓＳｃｉｅｎｃｅ２２２１２（２００１）．

４．ＴｈｏｍａｓＹＨｏｕａｎｄＰｉｎｇｗｅｎＺｈａｎｇ，ＣｏｎｖｅｒｇｅｎｃｅｏｆＡＢｏｕｎｄａｒｙＩｎｔｅｇｒａｌＭｅｔｈｏｄ

，Ｄ，３－ＤＷａｔｅｒＷａｖｅｓ，Ｄｉｓｃｒｅｔｅ

ＮｕｍｂｅｒｌａｎｄＣｏｎｔｉｎｕｏｕｓＤｙｎａｍｉｃａｌＳｙｓｔｅｍｓＳｅｒｉｅｓＢ，ｖ０１．２，ｐｐｌ一３４，（２００２）．

Ｓｔｕｄｉｅｓ５．ＰｉｎｇｗｅｎＺｈａｎｇａｎｄＸｉａｏｍｉｎｇＺｈｅｎｇ，Ｎｕｍｅｒｉｃａｌ

ｗｉｔｈＦｉｘｅｄＢｏｔｔｏｍ．ＪｏｕｒｎａｌｏｆＣｏｍｐｕｔａｔｉｏｎａｌｏｆ２ＤＦｒｅｅＳｕｒｆａｃｅＷａｖｅｓＭａｔｈｅｍａｔｉｃｓ，Ｖ０１．２０，Ｎｏ．４，ｐｐ３９１—４１２，（２００２）．

６．ＲｕｏＬｉ，ＴａｏＴａｎｇａｎｄＰｉｎｇｗｅｎＺｈａｎｇ，Ａ

ＳｉｎｇｕｌａｒＰｒｏｂｌｅｍｓＭｏｖｉｎｇＭｅｓｈＴｈｒｅｅＳｐａｃｅＦｉｎｉｔｅＥｌｅｍｅｎｔＡｌｇｏｒｉｔｈｍｆｏ，Ｄｉｍｅｎｓｉｏｎｓｓ。ＪｏｕｒｎａｌｏｆｆｏｒＴｗｏａｎｄ

ＣｏｍｐｕｔａｔｉｏｎａｌＰｈｙｓｉｃｓ１７７，ｐｐ３６５—３９３，（２００２）．

Ｚｈａｎｇ，ＳｉｎｇｕｌａｒｉｔｙＦｏｒｍｕｌａｔｉｏｎｏｆ３ＤＶｏｒｔｅｘ７．ＴｈｏｍａｓＹ．Ｈｏｕ，ＧａｎｇＨｕａｎｄＰｉｎｇｗｅｎ

Ｓｈｅｅｔｓ，ＡｃｃｅｐｔｅｄｂｙＰｈｙｓ．Ｆｌｕｉｄｓ（２００２）．

８．ＱｉＷａｎｇ，ＷｅｉｎａｎＥ，ＣｈｕｎＬｉｕａｎｄＰｉｎｇｗｅｎＺｈａｎｇ，ＡＫｉｎｅｔｉｃＴｈｅｏｒｙｆｏｒＦｌｏｗｓｏｆ

ＮｏｎｈｏｍｏｇｅｎｅｏｕｓＲｏｄｌｉｋｅＬｉｑｕｉｄＣｒｙｓｔａｌｌｉｎｅＰｏｌｙｍｅｒｓｗｉｔｈａＮｏｎｌａｃａｌＩｎｔｅｒｍｏｌｅｃｕｌａｒＰｏｔｅｎｔｉａｌ．ＡｃｃｅｐｔｅｄｂｙＰＲＥ（２００２）．

９．ＷｅｉｎａｎＥ，Ｔｉｅｊｕｎ

Ｂｒｏｗｎｉａｎ

ｂｙＡｃｔａＬｉａｎｄＰｉｎｇｗｅｎＺｈａｎｇ，ＭｏｄｅｌｉｎｇＰｏｌｙｍｅｒｉｃＦｌｕｉｄｓＵｓｉｎｇＣｏｎｆｉｇｕｒａｔｉｏｎＦｉｅｌｄｓ：ＡＣｏｎｖｅｒｇｅｎｃｅＡＨ口细ｓ括ｆｏｒＳｈｅａｒＦｌｏｗｓ，ＡｃｃｅｐｔｅｄＭａｔｈｅｍａｔｉｃａｅＡｐｐｌｉｃａｔａｅＳｉｎｉｃａ（２００２）

１０．ＰｉｎｇｗｅｎＺｈａｎｇ，ＦｅｌｉｘＯｔｔｏａｎｄＷｅｉｎａｎＥ，Ｍｕｌｔｉ－ＳｃａｌｅＭｏｄｅｌｉｎｇｏｆｔｈｅ

ｉｎＤｙｎａｍｉｃｓｔｏｏｆＪ．ＤｅｆｅｃｔｓａｎｄＭｉｃｒｏｓｔｒｕｃｔｕｒｅｓＬｉｑｕｉｄＣｒｙｓｔａｌＰｏｌｙｍｅｒＦｌｏｗ，Ｓｕｂｍｉｔｔｅｄ

Ｎｏｎ－ＮｅｗｔＯｎｊａｎＦｌＩ“ｄＭｅｃｈ．（２００２）

作者简介：

张平文，男，３６岁，北京大学数学科学学院教授，观担任科学与工程计算系主任及北京大学科学与工程计算中心常务副主任。另外，还担任国家重点基础研究发畏计划ＪＺ吕“六屯摸科学计算研究”筝舀强题“基础计算方法的刨新与发畏”课运二且÷、主要从事每尺度建模及计算育未、移动网格、三维水渡、工程计算等方面的研究发表论文三十多籍，出版号菩、救忖备一本曾获冯索科学计算奖、杰出青年基金等：疃讯地址：ｊｌ京六学教学韩学学院，１００８７１