两异面直线所成的角
两条异面直线所成的角
海林林业局一中 李伟
[教学目的]:
1、知识目标:理解空间两异面直线所成角的定义、范围,并会作出、求出两异面直线
所成角。
2、 能力目标:培养学生的识图、作图能力、在习题讲解中,培养学生的空间想象能力
以及解决问题和分析问题的能力。
3、 情感目标:在对学生进行创造性思维培养的同时,激发学生对科学文化知识的探求
热情和逻辑清晰的辩证主义观点。
[教学重点和难点]:
教学重点:对异面直线所成角的定义的理解和应用。 教学难点:如何在实际问题中求出异面直线所成的角。 [课时安排]:共一课时 [教学过程]:
一、 新课引入
利用多媒体课件引入新课:两异面直线所成的角
二、讲授新课
(一)、异面直线所成的角的定义
1、实验:一张纸上画有两条能相交的直线a、b(但交点在纸外).现给你一副三角板和量角器,
限定不许拼接纸片,不许延长纸上的线段,问如何能量出a、b所成的角的大小?
2、实验:现在有两条异面直线 a、b,它们之间有一定的角度关系,你用什么方法可以度量它们
的角度。
3、异面直线所成的角的定义
已知异面直线a、b,在空间中任取一点O,过点O分别作a′∥a,b′∥b,则a′,b′所成的锐角(或直角)叫做两条异面直线所成的角.
问题1:过点O引a′∥a和b′∥b的方法和依据是什么?
问题2:由于点O可以任意选取,那么按此方法做出的角能有多少个?它们的大小有什么关系? 注意:
(1)异面直线所成的角只和两条异面直线的位置有关,而和点O位置的选择无关。 (2)注意把握异面直线所成角的范围,即0°<α≤90°
(3)异面直线垂直:如果两条异面直线所成的角是直角,则叫两条异面直线垂直。今后再说两条直
线互相垂直时,它们可能相交,也可能异面。 (二)异面直线所成角的求法
[典例剖析]:
例题1:如图:表示正方体ABCD-A1B1C1D1,
求异面直线BA1和CC1所成的角。
AA1
例2.空间四边形ABCD中,AD=BC=2,E,F分别是AB ,CD
的中点,EF=
求异面直线AD,BC所成的角。
思路1:取BD的中点G,连结EG、FG,则∠ EGF(或其补角)A
就是异面直线AD,BC所在的角。
BEA
D F
GC
D
思路2:取AC的中点R,连结ER、FR,则∠ERFA (或其补角)
就是异面直线AD,BC所成的角。
思路3:过点D在面BCD内作DH//BC,连结CH 、AH,则∠ADH(或其补角)
就是异面直线AD,BC所成的角。
B
F
C
H
思路4:过B在面ABD内作BK//AD,连结AK、CK,则∠KBC(或其补角)
就是异面直线AD,
BC所成的角。
E
解:思路1:取BD中点G,连结EG,FG,EF, ∵E,F分别是AB,CD的中点, ∴EG//AD,FG//BC,
∴异面直线AD,BC所成的角即为EG,FG所成的角(或其补角),
11
AD=1,FG=BC=1, 22
EG2+FG2-EF21
=-,∴∠EGF=120 , 在∆EGF中,cos∠EGF=
2EG⋅FG2
∵EG=
00
∵两异面直线所成角的范围是:0,90⎤⎦
(
∴异面直线AD,BC所成的角为60.
(三)[课堂练习]
在空间四边形ABCD中,BD=4,AC=6,且AC⊥BD,M,N分别为AB,CD的中
A
点,求MN与BD所成角的正切值。
三、尝试回忆
1、异面直线所成角的定义 2、异面直线所成角的求法
B
M
D
N
C
四、板书设计
课题:9.2 两条异面直线所成的角 (一)、两条异面直线所成角的定义 (二)、两条异面直线所成角的求法
五、布置作业
1、课本习题9.2第6、7 2、自助餐:
已知异面直线a,b所成的角为50o,P为空间一点,则过点P且 (1)与a,b所成角都是25o的直线有且只有_ _ _ _ _条 。 (2)与a,b所成角都是30o的直线有且只有_ _ _ _ _条 。 (3)与a,b所成角都是65o的直线有且只有_ _ _ _ _条 。 (4)与a,b所成角都是70o的直线有且只有_ _ _ _ _条 。