高等数学常用积分公式查询表
导数公式：
(tgx ) '=sec 2x (ctgx ) '=-csc 2x (secx ) '=sec x ⋅tgx (cscx ) '=-csc x ⋅ctgx (a x ) '=a x ln a
1
(loga x ) '=
x ln a
基本积分表：
(arcsinx ) '=
1
-x 2
1
(arccosx ) '=-
-x 21
(arctgx ) '=
1+x 2
1
(arcctgx ) '=-
1+x 2
⎰tgxdx =-ln cos x +C ⎰ctgxdx =ln sin x +C
⎰sec xdx =ln sec x +tgx +C ⎰csc xdx =ln csc x -ctgx +C
dx 1x
=arctg +C ⎰a 2+x 2a a dx 1x -a
=ln ⎰x 2-a 22a x +a +C dx 1a +x
=⎰a 2-x 22a ln a -x +C dx x
=arcsin +C ⎰a 2-x 2
a
π
2
n
dx 2
⎰cos 2x =⎰sec xdx =tgx +C dx 2
=csc 2⎰sin x ⎰xdx =-ctgx +C
⎰sec x ⋅tgx dx =sec x +C
⎰csc x ⋅ctgxdx =-csc x +C
a x
⎰a dx =ln a +C
x
⎰shxdx =chx +C ⎰chxdx =shx +C ⎰
dx x 2±a 2
=ln(x +x 2±a 2) +C
π
2
I n =⎰sin xdx =⎰cos n xdx =
n -1
I n -2n
⎰⎰⎰
x 2a 22
x +a dx =x +a +ln(x +x 2+a 2) +C
22x 2a 2222
x -a dx =x -a -ln x +x 2-a 2+C
22x 2a 2x 222
a -x dx =a -x +arcsin +C
22a
2
2
三角函数的有理式积分：
2u 1-u 2x 2du
sin x =， cos x =， u =tg ， dx =
21+u 21+u 21+u 2
（一）含有ax +b 的积分(a 1．
≠0)
d x 1
＝⎰ax +b a ln ax +b +C
μ
(ax +b ) d x ＝⎰
2．
1
(ax +b ) μ+1+C （μ≠-1）
a (μ+1)
3．
x 1x ＝⎰ax +b a 2(ax +b -b ln ax +b ) +C
x 21⎡1⎤
x ＝3⎢(ax +b ) 2-2b (ax +b ) +b 2ln ax +b ⎥+C 4．⎰ax +b a ⎣2⎦
5．
d x 1ax +b
＝-⎰x (ax +b ) b ln x +C
6．
⎰
d x 1a ax +b ＝-+ln +C
x 2(ax +b ) bx b 2x
7．
1b x
(lnax +b +) +C x ＝2⎰(ax +b ) 2
a ax +b
1b 2x 2
) +C 8．⎰x ＝3(ax +b -2b ln ax +b -2
a ax +b (ax +b )
9．
⎰
d x 11ax +b ＝-ln +C
22
x (ax +b ) b (ax +b ) b x
10
．
C
2
(3ax -2b C 11
．⎰
x ＝2
15a 2222(15a x -12abx +8b C x ＝12
．⎰
x 3
105a
x 13
．
2x ＝2(ax -2b C
3a
14
．
22222
(3a x -4abx +8b C x ＝3
15a ⎧15
．
＝16
．
+C (b >0)
C (b
a -2b 17
．
x ＝b 18
．
a ＝x +
22
（三）含有x 19．
±a 2的积分
=
d x ⎰x 2+a 21x
arctan +C a a
20．
x 2n -3d x d x
+=⎰(x 2+a 2) n 2(n -1) a 2(x 2+a 2) n -12(n -1) a 2⎰(x 2+a 2) n -1
21．
⎰
d x 1x -a
=ln +C
x 2-a 22a x +a
2
（四）含有ax +b (a >0) 的积分
+C (b >0)
⎧d x 22．⎰
＝ax 2+b 23．
+C (b
x 12
x ln ax +b +C ＝⎰ax 2+b 2a
⎰x 2
24．ax 2+b
x ＝x a -b d x a ⎰ax 2+b 25．
⎰
d x
1x (ax 2
+b ) ＝2b ln x 2ax 2+b
+C 26．
⎰d x
1a d x x 2(ax 2+b ) ＝-bx -b ⎰ax 2+b
27．⎰d x a ax 2+b 1
x 3(ax 2+b ) ＝2b 2ln x 2-2bx 2
+C
28．
⎰d x 1d x
(ax 2+b ) 2
＝
x 2b (ax 2+b ) +2b ⎰ax 2+b
（五）含有ax 2
+bx +c (a >0) 的积分
d x +C 29．⎰
ax 2+bx +c ＝+C 30．
⎰x 1b d x ax 2+bx +c x ＝2a ln ax 2
+bx +c -2a ⎰ax 2+bx +c
(a >0) 的积分
31
．
＝arsh
x
a
+
C 1＝ln(x ++C 32
．
＝
+C
33
．
x ＝+C
34
．
x ＝+C
(b 24ac )
35
．
a 2-ln(x ++C x ＝22
36
．
2x ＝+ln(x ++C
37
．
1+C a 38
．
＝-+C 2a x 39
．
a 2+ln(x ++C x 2
x 3422(2x +5a a ln(x ++C ＝x
88+C 41
．⎰
x 40
．42
．
⎰
x
x a 422x ＝(2x +a ln(x ++C
88
43
．
a +C x a ln
x 44
．
x ＝+ln(x ++C
(a >0) 的积分
＝
45
．
x x
arch +
C 1=ln x ++C x a
46
．
+C
47
．
x ＝C
48
．
2
x ＝+C
49
．
a 2+ln x ++C x 22x ＝50
．
+ln x +C
51
．
1a
arccos +C a x +C
52
．
＝
53
．
a 2ln x +C x 2
x 3422(2x -5a a ln x ++C x ＝
88C 55
．⎰
x 54
．56
．
⎰
x
x a 422x ＝(2x -a ln x ++C
88
57
．
⎰
a x ＝a arccos +C
x ＝x -+ln x ++C
2
x x
58
．
(a >0) 的积分
＝arcsin
59
．
x
+C a
60
．
+C
61
．
x ＝C
62
．
2
x ＝+C
63
．
a 2x arcsin +C x ＝2a 2x 64
．
-arcsin
x
+C a
65
．
1a +C ln
a x 66
．
＝+C 67
．
a 2x arcsin +C x 2a
x 34x 22(5a -2x a arcsin +C x ＝
88a C 69
．⎰
x ＝68
．70
．
⎰
x
x a 4x 22x ＝(2x -a arcsin +C
88a
71
．
⎰
+C x a x
72
．
x
＝x -arcsin +C
a
(a >0) 的积分 73
．
2ax +b ++C
74
．
x ＝
22ax +b ++C
75
．
x
2ax +b ++C
76
．
+C
77
．
2x ＝+C
x ＝+C
78
．
79
．
x ＝(x -b +(b -a +C
80
．
x ＝(x -b (b -a C C
(a
81
．
82
．
(b -a ) 2x C
4(a
（十一）含有三角函数的积分 83．
⎰sin x d x ＝-cos x +C
84．85．86．
⎰cos x d x ＝sin x +C ⎰tan x d x ＝-ln cos x +C ⎰cot x d x ＝ln sin x +C
πx
sec x d x ＝ln tan(+) +C ＝ln sec x +tan x +C ⎰42
87．
88．
⎰csc x d x ＝ln tan ⎰sec
2
x
+C ＝ln csc x -cot x +C 2
89．90．91．92．93．
x d x ＝tan x +C
2csc ⎰x d x ＝-cot x +C
⎰sec x tan x d x ＝sec x +C ⎰csc x cot x d x ＝-csc x +C
2
⎰sin x d x ＝
x 1
-sin 2x +C 24x 12
94．⎰cos x d x ＝+sin 2x +C
241n -1n -1n -2n
x cos x +sin x d x 95．⎰sin x d x ＝-sin
n n ⎰1n -1n -1n
x sin x +cos n -2x d x 96．⎰cos x d x ＝cos ⎰n n
d x 1cos x n -2d x
-⋅+97．⎰＝ n n -1n -2⎰sin x n -1sin x n -1sin x d x 1sin x n -2d x
⋅+98．⎰＝ n n -1n -2⎰cos x n -1cos x n -1cos x
1m -1m n
cos m -1x sin n +1x +cos m -2x sin n x d x 99．⎰cos x sin x d x ＝⎰m +n m +n 1n -1m n -2
cos m +1x sin n -1x +cos x sin x d x ＝-⎰m +n m +n
100．
⎰sin ax cos bx d x ＝-
11
cos(a +b ) x -cos(a -b ) x +C
2(a +b ) 2(a -b )
101．
⎰sin ax sin bx d x ＝-⎰cos ax cos bx d x ＝
d x ⎰
a +b sin x d x ⎰
a +b sin x
11
sin(a +b ) x +sin(a -b ) x +C
2(a +b ) 2(a -b )
102．
11
sin(a +b ) x +sin(a -b ) x +C
2(a +b ) 2(a -b )
a tan x
+b +C 103．(a 2>b 2)
104．+C
(a 2
105．
d x x
) +C ⎰
a +b cos x 2
(a 2>b 2)
d x 106．⎰
a +b cos x 107．
+C (a 2
d x 1b
arctan(tan x ) +C ＝⎰a 2cos 2x +b 2sin 2x ab a d x 1b tan x +a ＝ln ⎰a 2cos 2x -b 2sin 2x 2ab b tan x -a +C
108．
11sin ax -x cos ax +C a 2a 12222
110．⎰x sin ax d x ＝-x cos ax +2x sin ax +3cos ax +C
a a a 11
111．⎰x cos ax d x ＝2cos ax +x sin ax +C
a a 12222
112．⎰x cos ax d x ＝x sin ax +2x cos ax -3sin ax +C
a a a
（十二）含有反三角函数的积分（其中a >0）
x x 113．⎰
arcsin x ＝x arcsin +C
a a
109．
⎰x sin ax d x ＝
x x 2a 2x -)arcsin +C 114．⎰
x arcsin d x ＝(a 24a x x 3x 1arcsin +(x 2+2a 2C 115．⎰
x arcsin x ＝a 3a 92
116．x x arccos x x arccos -C ＝⎰
a a
x x 2a 2x -)arccos C 117．⎰
x arccos x ＝(a 24a x x 3x 1arccos -(x 2+2a 2C 118．⎰
x arccos d x ＝a 3a 92
x x a 22arctan d x x arctan -ln(a +x ) +C ＝⎰a a 2
x 12x a 2120．⎰x arctan d x ＝(a +x )arctan -x +C a 2a 2119．
x x 3x a 2a 3
arctan -x +ln(a 2+x 2) +C 121．⎰x arctan d x ＝a 3a 662
（十三）含有指数函数的积分
1x a +C ln a
1ax ax 123．⎰e d x ＝e +C a
1ax ax 124．⎰x e d x ＝2(ax -1)e +C a
1n ax n n -1ax n ax 125．⎰x e d x ＝x e -⎰x e d x a a 122．x a ⎰d x ＝
126．x ⎰xa d x ＝x x 1a -a x +C 2ln a (lna )
1n x n x a -x n -1a x d x ⎰ln a ln a
1ax ax e (a sin bx -b cos bx ) +C 128．⎰e sin bx d x ＝22a +b
1ax e ax (b sin bx +a cos bx ) +C 129．⎰e cos bx d x ＝22a +b 127．n x ⎰x a d x ＝
130．ax n ⎰e sin bx d x ＝1e ax sin n -1bx (a sin bx -nb cos bx ) 222a +b n
n (n -1) b 2ax n -2+2e sin bx d x a +b 2n 2⎰
1e ax cos n -1bx (a cos bx +nb sin bx ) 222a +b n 131．ax n ⎰e cos bx d x ＝
n (n -1) b 2ax +2e cos n -2bx d x 22⎰a +b n
（十四）含有对数函数的积分
132．
133．
134．
135．
136．⎰ln x d x ＝x ln x -x +C d x ⎰x ln x ＝ln ln x +C 1n +11x (lnx -) +C n +1n +1n -1n x ⎰ln x d x ＝n n (lnx ) d x ＝x (lnx ) -n ⎰(lnx ) d x ⎰m n ⎰x (lnx ) d x ＝1n x m +1(lnx ) n -x m (lnx ) n -1d x ⎰m +1m +1
（十五）含有双曲函数的积分
137．
138．
139．
140．⎰sh x d x ＝ch x +C ⎰ch x d x ＝sh x +C ⎰th x d x ＝ln ch x +C 2sh ⎰x d x ＝-x 1+sh2x +C 24
x 12141．⎰ch x d x ＝+sh2x +C 24
（十六）定积分
142．
143．⎰π-ππcos nx d x ＝⎰sin nx d x ＝0 -ππ⎰-πcos mx sin nx d x ＝0
144．⎧0, m ≠n cos mx cos nx d x ＝ ⎨⎰-ππ, m =n ⎩π
145．⎧0, m ≠n ＝ sin mx sin nx d x ⎨⎰-π⎩π, m =n π
ππ⎧0, m ≠n ⎪146．⎰sin mx sin nx d x ＝⎰cos mx cos nx d x ＝⎨π 00, m =n ⎪⎩2
147．
I n ＝⎰sin x d x ＝⎰cos n x d x n π20π20n -1I n -2 n n -1n -342I n =⋅⋅ ⋅⋅ （n 为大于1的正奇数），I 1＝1 n n -253
n -1n -331ππI n =⋅⋅ ⋅⋅⋅（n 为正偶数），I 0＝ n n -24222I n ＝