2003年数学高考试题及答案(江苏卷)
2003年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)
数学(理工农医类)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。第Ⅰ卷1至2页,第Ⅱ卷3至10页。考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷(选择题共60分)
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只
有一项是符合题目要求的. (1)如果函数y =ax 2+bx +a 的图象与x 轴有两个交点,则点(a , b ) 在aOb 平面上的区
域(不包含边界)为()
a
(A)
2
(B) (C)
()
(D)
(2)抛物线y =ax 的准线方程是y =2,则a 的值为
(A )
1 8
π
2
(B )-
1 8
(C )8 (C )
(D )-8 ()
(3)已知x ∈(-
(A )
, 0), cos x =
4
, 则tg 2x = 5
7 24
(B )-
7 2424 7
(D )-
24 7
⎧2-x -1, x ≤0, ⎪(4)设函数f (x ) =⎨1若f (x 0) >1, 则x 0的取值范围是() 2⎪⎩x , x >0
(A )(-1,1) (B )(-1, +∞)
(C )(-∞,-2)∪(0,+∞) (D )(-∞,-1)∪(1,+∞)
(5)O 是平面上一定点,A 、B 、C 是平面上不共线的三个点,动点P 满足
AB OP =OA +λ(+
(A )外心
AC
+∞)则, P 的轨迹一定通过 ABC 的 ), λ∈[0,
(C )重心
(B )内心 (D )垂心
(6)函数y =ln
x +1
, x ∈(1,+∞) 的反函数为() x -1e x -1e x +1
, x ∈(0,+∞) , x ∈(0,+∞) (A )y =x (B )y =x
e +1e -
1
e x -1
, x ∈(-∞,0) (C )y =x
e +1e x +1
, x ∈(-∞,0) (D )y =x
e -1
(7)棱长为a 的正方体中,连结相邻面的中心,以这些线段为棱的八面体的体积为()
a 3a 3a 3a 3 (A ) (B ) (C ) (D )
34612
(8)设a >0, f (x ) =a x 2+b x +c ,曲线y =f (x ) 在点P (x 0, f (x 0)) 处切线的倾斜角的⎡π⎤
, 则P 到曲线y =f (x ) 对称轴距离的取值范围为() ⎥⎣4⎦
⎡b ⎤⎡b -1⎤⎡1⎤⎡1⎤
(A )⎢0, ⎥(B )⎢0, (C )(D )0, ⎢2a ⎥⎢0, 2a ⎥ ⎥a 2a ⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦
(9)已知方程(x 2-2x +m )(x 2-2x +n ) =0的四个根组成一个首项为1的的等差数列,
取值范围为⎢0,
4
则|m -n |=()
3
(A )1 (B )3(C )1(D )
824
(10)已知双曲线中心在原点且一个焦点为F (7,0),直线y =x -1与其相交于M 、N 两点,MN 中点的横坐标为-
2
,则此双曲线的方程是() 3
x 2y 2x 2y 2x 2y 2x 2y 2
(A )-=1 -=1(C )-=1(D )-=1(B )
25435234
(11)已知长方形的四个顶点A (0,0),B (2,0),C (2,1)和D (0,1),一质点从AB 的中点P 0沿与AB 的夹角θ的方向射到BC 上的点P 1后,依次反射到CD 、DA 和
AB 上的点P 2、P 3和P 4(入射角等于反射角),设P 4的坐标为(x 4,0),若1
(A )(1,1)(B )(,2)(C )(,)(D )(2,)
3335235
(12)一个四面体的所有棱长都为2,四个顶点在同一球面上,则此球的表面积为()
(A )3π
(B )4π
(C )π
(D )6π
1212
2003年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)
数学(理工农医类)
第Ⅱ卷(非选择题共90分)
二. 填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分。把答案填在题中横线上。
9
(13)(x 2-1) 9的展开式中x 系数是
2x
(14)某公司生产三种型号的轿车,产量分别为1200辆,6000辆和2000辆。为检验该公司的产品质量,现用分层抽样的方法抽取46辆进行检验,这三种型号的轿车依次应抽取___________,__________,___________辆。
(15)某城市在中心广场建造一个花圃,花圃分为6个部分(如图)。现要栽种4种不同颜色的花,每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花,不同的栽种方法有___________________种。(以数字作答) (16)对于四面体ABCD ,给出下列四个命题
①若AB =AC , BD =CD , 则BC ⊥AD 。 ②若AB =CD , AC =BD , 则BC ⊥AD
③若AB ⊥AC , BD ⊥CD , 则BC ⊥AD ④若AB ⊥CD , AC ⊥BD , 则BC ⊥AD 其中真命题的序号是__________________.(写出所有真命题的序号)
三、解答题:本大题共6小题,共74分,解答应写出文字说明,证明过程或或演算步骤
(17)(本小题满分12分)
有三种产品,合格率分别为0.90,0.95和0.95,各抽取一件进行检验。
(Ⅰ)求恰有一件不合格的概率;
(Ⅱ)求至少有两件不合格的概率。(精确到0.001 (18)(本小题满分12分)
已知函数f (x ) =sin(ωx +ϕ)(ω>0,0≤ϕ≤π) 是R 上的偶函数,其图象关于点
M (
3ππ⎤上是单调函数。求ω和ϕ的值。
,0) 对称,且在区间⎡0, ⎢4⎣2⎥⎦
(19)(本小题满分12分)
∠ACB =90︒,如图,在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,底面是等腰直角三角形,侧棱AA 1=2,
D 、E 分别是CC 1与A 1B 的中点,点E 在平面ABD 上的射影是△ABD 的重心G (Ⅰ)求A 1B 与平面ABD 所成角的大小(结果用反三角函数值表示)
(Ⅱ)求点A 1到平面AED 的距离
A F
B
B 1
1
(20)(本小题满分12分)
已知常数a >0, 向量c =(0,a ), i =(1,0) 。经过原点O 以c +λi 为方向向量的直线与
经过定点A (0,a ) 以i -2λc 为方向向量的直线相交于P ,其中λ∈R 。试问:是否存在两个
定点E 、F ,使得PE +PF 为定值。若存在,求出E 、F 的坐标;若不存在,说明理由。 (21)(本小题满分12分)
已知a >0, n 为正整数。
(Ⅰ)设y =(x -a ) n ,证明y ' =n (x -a ) n -1;
(Ⅱ)设f n (x ) =x n -(x -a ) n ,对任意n ≥a ,证明f n +1'(n +1) >(n +1) f n '(n ) 。 (22)(本小题满分14分)
设a >0,如图,已知直线l :y =ax 及曲线C :y =x 2, C 上的点Q 1的横坐标为
,再从点P n +1作a 1(0
直线平行于y 轴,交曲线C 于点Q n +1. Q n (n =1,2,3, …)的横坐标构成数列{a n }
(Ⅰ)试求a n +1与a n 的关系,并求{a n }的通项公式;
n 1
(Ⅱ)当a =1, a 1≤时,证明∑(a k -a k +1) a k +2
232k =1
1
(Ⅲ)当a =1时,证明∑
(a k -a k +1) a k +2
3k =1
n