如何由数列的递推公式求通项?
徐辉
知数列的递推公式求其通项是高中数学的重要内容,也是高考数学的重点、热点和难点内容之一,这部分内容往往会作为比较难的题目出现,需要结合函数知识,通过引入辅助数列,利用等差等比数列的定义,综合应用迭加、迭乘、待定系数、等价转换等方法与思想进行求解.下面我们通过举例来加以说明.
1.递推公式为
型
若递推公式为
型,其中
,数列
是正项数列。解此种类型数列,可对等式两边同时取对数,得
,进而可知
,即数列
是首项为
、公比为
的等比数列,然后利用等比数列知识写出数列
的通项公式,最后再写出数列
的通项公式.
例1.已知数列
满足
,
,求通项公式
.
解:在等式
两边取对数得
,即
所以数列
是以
为首项,以2 为公比的等比数列,
故
.
2.递推公式为
型
若递推公式为
型,则只需将原递推公式化为
,再以迭加法可知
,于是
.
例2.已知数列
满足
,求
.
解:由题得
,
所以有
,
,…,
上述各式迭加可得
即
,
.
故
.
3.递推公式为
型
若递推公式为
型,则只需将原递推公式化为
,再以迭乘法即可知
,于是
.
例3.已知数列
满足
,求通项公式
.
解:由
,得
则
,
, …,
上述各式迭乘可得
即
,
.
故
.
4.递推公式为
型
若递推公式为
型,其中
、
为常数且
,则只需把原递推公式化为
(此式可化为
,与递推公式
比较可得
),则数列
是以
为首项、以
为公比的等比数列,于是数列
的通项可知,从而可知数列
的通项公式.
例4.已知数列
满足
,求通项公式
.
解:令
,与
比较,可得
,
于是:
可写为
,即
,
再由
知:数列
是以2为首项以3为公比的等比数列,
故
,
从而
.
5.递推公式为
型
若递推公式为
,其中
、
为常数,
,则只需把原递推公式两边同除以
得
,再令
,则原递推公式可化为
,从而此类型题可化为前一类型求解.
例5.已知数列
满足
,求通项公式
.
解:在原递推式两边同除以
得:
令
,则
上式可写为:
,
再由
,知
,
从而数列
是以
为首项以
为公比的等比数列
故
,
,
故
.
6.递推公式为
型
若递推公式为
,其中
、
为常数且
,只需把原递推公式化为
(此式可化为
,与
比较可知
,于是A,B可知),从而此类型题可化为前一种类型求解.
例6.已知数列
满足
,求通项公式
.
解:设
与
比较可知:
,解得
或
①若
,则
故数列
是以
为首项,以
为公比的等比数列
所以
故
,
,…,
由迭加法可得:
从而
.
②若
,则
,即数列
为常数数列,
从而,由
知:
则
但由
知:
而
,故
这种情况不符合题意,应舍去.
综上所述,数列
通项公式为
.
从以上几例可以看出,已知数列的递推公式求其通项,需首先考察递推公式的类型,然后根据类型的不同,选用合适的解题方法。在数学解题的过程中,只有有的放矢的进行求解,才能提高解题的速度与正确率,取得比较好的解题效果。