椭圆的经典练习及答案

椭圆几何性质典型练习

例1 椭圆的一个顶点为A(2，0)，其长轴长是短轴长的2倍，求椭圆的标准方程． 例2 一个椭圆的焦点将其准线间的距离三等分，求椭圆的离心率．

例3 已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆与直线x+y-1=0交于A、B两点，M为AB中点，OM的斜率为0.25，椭圆的短轴长为2，求椭圆的方程． 例4椭圆

x

2

25

+

y9

2

⎛9⎫

=1上不同三点A(x1，y1)，B 4⎪，C(x2，y2)与焦点F(4，0)的距离成等差数列．

⎝5⎭

（1）求证x1+x2=8；

（2）若线段AC的垂直平分线与x轴的交点为T，求直线BT的斜率k． 例5 已知椭圆

x

2

4

+

y3

2

问能否在椭圆上找一点M，使M到左准线l的距离MN是MF1=1，F1、F2为两焦点，

与MF2的等比中项？若存在，则求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

例6 已知椭圆方程．

例7 求适合条件的椭圆的标准方程．

例8 椭圆坐标．

例9 求椭圆

x

2

x

⎛11⎫2

+y=1，求过点P ⎪且被P2⎝22⎭

2

平分的弦所在的直线

x

2

16

+

y

2

12

=1的右焦点为F，过点A13，点M在椭圆上，当AM+2MF为最小值时，求点M的

()

3

+y=1上的点到直线x-y+6=0的距离的最小值．

2

例10 设椭圆的中心是坐标原点，长轴在x轴上，离心率e=

32

，已知点P 0⎪到这个椭圆上的点的最远距

⎝

2⎭

⎛3⎫

离是7，求这个椭圆的方程，并求椭圆上的点P的距离等于7的点的坐标． 例11 设x，y∈R，2x+3y=6x，求x+y+2x的最大值和最小值．

2

2

2

2

1

xy

例12 已知椭圆C2+2=1(a>b>0)，A、B是其长轴的两个端点．

ab

x

22

2

例13 已知椭圆

k+8x

22

+

y

2

9yb

22

=1的离心率e=

12

，求k的值．

例14 已知椭圆

4b

+

=1上一点P到右焦点F2的距离为b(b>1)，求P到左准线的距离．

⎧x=4cosα,π例15 设椭圆⎨(α为参数)上一点P与x轴正向所成角∠POx=，求

3⎩y=23sinα.

例16 设P(x0,y0)是离心率为e的椭圆

xa

22

+

yb

22

=1 (a>b>0)上的一点，P到左焦点F1和右焦点F2的距离

分别为r1和r2，求证：r1=a+ex0，r2=a-ex0． x

2

例17 已知椭圆

9

+

y

2

5

=1内有一点A(1,1)，F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，点

例18 (1)写出椭圆

x

2

9

+

y

2

4

=1的参数方程；

(2)求椭圆内接矩形的最大面积．

例19 已知F1，F2是椭圆的两个焦点，P是椭圆上一点，且∠F1PF2=60︒．

(1)求椭圆离心率的取值范围；

(2)求证∆PF1F2的面积与椭圆短轴长有关．例20 椭圆

xa

22

+

yb

22

=1(a>b>0)与x轴正向交于点A，若

这个椭圆上总存在点P，使OP⊥AP(O为坐标原点)，求其离心率e的取值范围．

2

椭圆简单几何性质答案

例1 椭圆的一个顶点为A(2，0)，其长轴长是短轴长的2倍，求椭圆的标准方程． 分析：题目没有指出焦点的位置，要考虑两种位置． 解：（1）当A(2，0)为长轴端点时，a=2，b=1，

x

2

椭圆的标准方程为：

4

+

y

2

1

=1；

（2）当A(2，0)为短轴端点时，b=2，a=4，

x

2

椭圆的标准方程为：

4

+

y

2

16

=1；

说明：椭圆的标准方程有两个，给出一个顶点的坐标和对称轴的位置，是不能确定椭圆的横竖的，因而要考虑两种情况．

典型例题二

例2 一个椭圆的焦点将其准线间的距离三等分，求椭圆的离心率． 解： 2c=

a

2

c

33

⨯2⨯

13

∴3c2=a2，

∴e=

3

-．

说明：求椭圆的离心率问题，通常有两种处理方法，一是求a，求c，再求比．二是列含a和c的齐次方程，再化含e的方程，解方程即可．

典型例题三

例3 已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆与直线x+y-1=0交于A、B两点，M为AB中点，OM的斜率为0.25，椭圆的短轴长为2，求椭圆的方程．

解：由题意，设椭圆方程为

xa

22

+y=1，

2

⎧x+y-1=0⎪222

(1+a)x-2ax=0， 由⎨x2，得2

⎪2+y=1⎩a

3

∴xM=

x1+x2

2yMxM

2

=

1+aa=

2

2

，yM=1-xM=

11+a

2

，

kOM=

=

1a

2

14

，∴a2=4，

∴

x

2

4

+y=1为所求．

说明：（1）此题求椭圆方程采用的是待定系数法；（2）直线与曲线的综合问题，经常要借用根与系数的关系，来解决弦长、弦中点、弦斜率问题．

典型例题四

2

2

例4椭圆

x

25

+

y9

=1上不同三点A(x⎛9⎫

1，y1)，B 4⎪，C(x2，y2)与焦点F(4，0⎝5⎭

)的距离成等差数列．（1）求证x1+x2=8；

（2）若线段AC的垂直平分线与x轴的交点为T，求直线BT的斜率k．

证明：（1）由椭圆方程知a=5，b=3，c=4． 由圆锥曲线的统一定义知：

AFa

2

=

cxa

，

c

-1

∴ AF=a-ex41=5-5

x1．

同理 CF=5-

45

x2．

∵ AF+CF=2BF，且BF=

95

，

∴ ⎛ 5-

4

4⎝

5x⎫+⎛ 5-x⎫18

1⎪⎝52⎪=

， ⎭⎭

5即 x1+x2=8．

（2）因为线段AC的中点为 ⎛

4y1

+y2⎫

⎝2⎪，所以它的垂直平分线方程为 ⎭

y-

y1+y2

x1-x22

=

y(x-4)．

1-y2

又∵点T在x轴上，设其坐标为(x0，

0)，代入上式，得 xy2

1-y2

2

0-4=

2(x1-x2)

4

又∵点A(x1，y1)，B(x2，y2)都在椭圆上， ∴ y12=

2

y2=

925925

(25-x)

2

1

(25-x)

22

2

∴ y12-y2=-

925

(x1+x2)(x1-x2)．

将此式代入①，并利用x1+x2=8的结论得 x0-4=-

9

3625

∴ kBT

-0

5==．

4-x04

典型例题五

例5 已知椭圆

x

2

2

4

+

y3

=1，F1、F2为两焦点，问能否在椭圆上找一点M，使M到左准线l的距离MN

是MF1与MF2的等比中项？若存在，则求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

解：假设M存在，设M(x1，y1)，由已知条件得

a=2，b=

3，∴c=1，e=

12

．

∵左准线l的方程是x=-4， ∴MN=4+x1． 又由焦半径公式知：

MF1=a-ex1=2-MF2=a+ex1=2+

1212x1， x1．

∵MN

2

=MF1⋅MF2，

2

∴(x1+4)= 2-

⎝

2

⎛1

1⎫⎫⎛

x1⎪ 2+x1⎪． 2⎭⎝2⎭

整理得5x1+32x1+48=0． 解之得x1=-4或x1=-

125

． ①

5

另一方面-2≤x1≤2． ② 则①与②矛盾，所以满足条件的点M不存在． 说明：

（1）利用焦半径公式解常可简化解题过程．

（2）本例是存在性问题，解决存在性问题，一般用分析法，即假设存在，根据已知条件进行推理和运算．进而根据推理得到的结果，再作判断．

（3）本例也可设M2cosθ3sinθ存在，推出矛盾结论（读者自己完成）．

()

典型例题六

例6 已知椭圆

x

⎛11⎫2

+y=1，求过点P ⎪且被P平分的弦所在的直线方程． 2⎝22⎭

2

分析一：已知一点求直线，关键是求斜率，故设斜率为k，利用条件求k． 解法一：设所求直线的斜率为k，则直线方程为y-

1

1⎫⎛

=k x-⎪．代入椭圆方程，并整理得 22⎭⎝

(1+2k)x

2

2

-2k-2kx+

2

(

2

)

12

k-k+

2

32

=0．

由韦达定理得x1+x2=

2k-2k1+2k

2

．

12

∵P是弦中点，∴x1+x2=1．故得k=-所以所求直线方程为2x+4y-3=0．

．

分析二：设弦两端坐标为(x1，y1)、(x2，y2)，列关于x1、x2、y1、y2的方程组，从而求斜率：

y1-y2x1-x2

．

解法二：设过P ⎪的直线与椭圆交于A(x1，y1)、B(x2，y2)，则由题意得

⎝22⎭

⎛11⎫

⎧x122

+y1=1，⎪2⎪2⎪x22

+y2=1，⎨⎪2

⎪x1+x2=1，⎪

⎩y1+y2=1.

①② ③④

2

2

2

①－②得

x1-x2

2

2

+y1-y2=0． ⑤

6

将③、④代入⑤得

y1-y2x1-x2

=-

12

，即直线的斜率为-

12

．

所求直线方程为2x+4y-3=0．

说明：

（1）有关弦中点的问题，主要有三种类型：过定点且被定点平分的弦；平行弦的中点轨迹；过定点的弦中点轨迹．

（2）解法二是“点差法”，解决有关弦中点问题的题较方便，要点是巧代斜率．

（3）有关弦及弦中点问题常用的方法是：“韦达定理应用”及“点差法”．有关二次曲线问题也适用．

典型例题七

例7 求适合条件的椭圆的标准方程．

（1）长轴长是短轴长的2倍，且过点(2，-6)；

（2）在x轴上的一个焦点与短轴两端点的联机互相垂直，且焦距为6． 分析：当方程有两种形式时，应分别求解，如（1）题中由

xa

22

+

yb

22

=1求出a=148，b=37，在得方程

22

x

2

148

+

y

2

37

=1后，不能依此写出另一方程

y

2

148

22

+

x

2

37ya

=1．

解：（1）设椭圆的标准方程为

xa

22

+

yb

22

=1或+

xb

22

=1．

由已知a=2b． ① 又过点(2，-6)，因此有

2a

22

+

(-6)2

b

2

=1或

(-6)2

a

2

+

2b

2

22

=1． ②

由①、②，得a=148，b=37或a=52，b=13．故所求的方程为 x

2

222

148

+

y

2

37

=1或

y

2

52

22

+

x

2

13

22

=1．

（2）设方程为

xa

+

yb

=1．由已知，c=3，b=c=3，所以a=18．故所求方程为

2

x

2

18

+

y

2

9

=1．

说明：根据条件求椭圆的标准方程的思路是“选标准，定参数”．关键在于焦点的位置是否确定，若不能确定，应设方程

7

xa

22

+

yb

22

=1或

ya

22

+

xb

22

=1．

典型例题八

例8 椭圆的坐标．

分析：本题的关键是求出离心率e=

AM+

1e

MF均可用此法．

1212

2

2

x

16

+

y

12

过点A13，点M在椭圆上，当AM+2MF为最小值时，求点M=1的右焦点为F，

()

，把2MF转化为M到右准线的距离，从而得最小值．一般地，求

解：由已知：a=4，c=2．所以e=，右准线l：x=8．

过A作AQ⊥l，垂足为Q，交椭圆于M，故然AM+2MF的最小值为AQ，即M为所求点，因此在椭圆上．故xM=23．所以M233．

说明：本题关键在于未知式AM+2MF中的“2”的图，e=

12

MQ=2MF．显

yM=

3，且M

()

处理．事实上，如

，即MF是M到右准线的距离的一半，即图中的MQ，问题转化为求椭圆上一点M，使M到A的

距离与到右准线距离之和取最小值．

典型例题九

例9 求椭圆

x

2

3

+y=1上的点到直线x-y+6=0的距离的最小值．

2

分析：先写出椭圆的参数方程，由点到直线的距离建立三角函数关系式，求出距离的最小值． 解：椭圆的参数方程为⎨

⎧x=

3cosθ，

设椭圆上的点的坐标为

⎩y=sinθ.

(

3cosθ，sinθ，则点到直线的距离为

)

3cosθ-sinθ+6d=

2

=

⎛π⎫

2sin -θ⎪+6

⎝3⎭

2

．

当sin

⎛π

⎫

-θ⎪=-1时，d最小值=22． ⎝3⎭

说明：当直接设点的坐标不易解决问题时，可建立曲线的参数方程．

8

典型例题十

例10 设椭圆的中心是坐标原点，长轴在x轴上，离心率e=

32

，已知点P 0⎪到这个椭圆上的点的最

⎝

2⎭

⎛3⎫

远距离是7，求这个椭圆的方程，并求椭圆上的点P的距离等于7的点的坐标．

分析：本题考查椭圆的性质、距离公式、最大值以及分析问题的能力，在求d的最大值时，要注意讨论b的取值范围．此题可以用椭圆的标准方程，也可用椭圆的参数方程，要善于应用不等式、平面几何、三角等知识解决一些综合性问题，从而加强等价转换、形数结合的思想，提高逻辑推理能力．

22解法一：设所求椭圆的直角坐标方程是

x，其中a>b>0待定．

a

2

+

yb

2

=1由e2

=

c2a2-b2

a

2

=

a

2

=1-

b2a

2

可得

ba

=-e2

=

-

34

=

12

，即a=2b．

设椭圆上的点(x，y)到点P的距离是d，则

2

d

2

=x2

+⎛ y-3⎫2

⎝2⎪=a2⎛ 1-y⎫⎪+y2

-3y9⎭ ⎝

b2⎪+ ⎭4 =4b2-3y2-3y+9

=-3⎛

y+1⎫2

⎝

⎪+4b242+3

⎭其中-b≤y≤b． 如果b

12

，则当y=-b时，d2

（从而d）有最大值．

2

由题设得

(7)

2

=⎛

b+3⎫2⎪，由此得b=

7-

3⎝

⎭2

>

12

，与b

12

矛盾．

因此必有b≥12

2

成立，于是当y=-

12

时，d（从而d）有最大值．

由题设得

(7)

2

=4b2

+3，可得b=1，a=2．

∴所求椭圆方程是

x

2

y

2

4

+

1

=1．

由y=-

12

及求得的椭圆方程可得，椭圆上的点 ⎛

-

3，-

1⎫1⎫⎝

2⎪，点⎛

3，-

⎭⎝

2⎪到点P⎛ 03⎫

⎭⎝2⎪的距离是7．⎭

9

解法二：根据题设条件，可取椭圆的参数方程是⎨参数．

由e2=

ca

22

⎧x=acosθ⎩y=bsinθ

，其中a>b>0，待定，0≤θ≤2π，θ为

=

a-ba

2

22

⎛b⎫

=1- ⎪可得

⎝a⎭=12

2

ba

=-e=

2

-

34

，即a=2b．

设椭圆上的点(x，y)到点P 0⎪的距离为d，则

⎝

2⎭

2

2

⎛3⎫

d

2

3⎫3⎫⎛⎛22

=x+ y-⎪=acosθ+ bsinθ-⎪

2⎭2⎭⎝⎝

22

2

2

=4b-3bsinθ-3bsinθ+

2

94

1⎫⎛2

=-3b sinθ+⎪+4b+3

2b⎭⎝

2

如果

12b

>1，即b

12

，则当sinθ=-1时，d2（从而d）有最大值．

2

由题设得

(7)

2

3⎫⎛

= b+⎪，由此得b=

2⎭⎝

12b

7-

32

>

12

，与b

12

矛盾，因此必有

12b

≤1成立．

于是当sinθ=-由题设知

时d2（从而d）有最大值．

(7)

2

2

=4b+3，∴b=1，a=2．

∴所求椭圆的参数方程是⎨

⎧x=2cosθ⎩y=sinθ

．

由sinθ=-

12

，cosθ=±

32

，可得椭圆上的是 -

⎝

⎛

3，-

1⎫⎛

⎪， 2⎭⎝

3，-

1⎫

⎪． 2⎭

典型例题十一

例11 设x，y∈R，2x+3y=6x，求x+y+2x的最大值和最小值．

分析：本题的关键是利用形数结合，观察方程2x+3y=6x与椭圆方程的结构一致．设x+y+2x=m，显然它表示一个圆，由此可以画出图形，考虑椭圆及圆的位置关系求得最值．

解：由2x+3y=6x，得

10

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

3⎫⎛

2 x-⎪y2⎪+ =1

93 ⎪ ⎪

2⎝4⎭

2

可见它表示一个椭圆，其中心在 ，0⎪点，焦点在x轴上，且过（0，0）点和（3，0）点．

⎝2

⎭

⎛3⎫

设x2+y2+2x=m，则 (x+1)+y2=m+1

2

它表示一个圆，其圆心为（－1，0）半径为m+1(m>-1)．

在同一坐标系中作出椭圆及圆，如图所示．观察图形可知，当圆过（0，0）点时，半径最小，即m+1=1，此时m=0；当圆过（3，0）点时，半径最大，即m+1=4，∴m=15．

∴x2+y2+2x的最小值为0，最大值为15．

典型例题十二

xy

例12 已知椭圆C2+2=1(a>b>0)，A、B是其长轴的两个端点．

ab

2

2

（1）过一个焦点F作垂直于长轴的弦PP'，求证：不论a、b如何变化，∠APB≠120． （2）如果椭圆上存在一个点Q，使∠AQB=120，求C的离心率e的取值范围．

分析：本题从已知条件出发，两问都应从∠APB和∠AQB的正切值出发做出估计，因此要从点的坐标、斜率入手．本题的第（2）问中，其关键是根据什么去列出离心率e满足的不等式，只能是椭圆的固有性质：x≤a，

y≤b，根据∠AQB=120得到

2ay=-3，将x=a-

22

a22

y代入，消去x，用a、b、c表示y，

x2

+y2

-a

2

b

2

以便利用y≤b列出不等式．这里要求思路清楚，计算准确，一气呵成．

解：（1）设F(c，0)，A(-a，0)，B(a，0)． ⎧x=c⎨⎛b2 ⎫

2x2+a2y2=a22⇒P cba

⎪⎪ ⎩

b⎝⎭

于是kb

2

AP=

，．

a(c+a)

kBP=

b

2

a(c-a)

∵∠APB是AP到BP的角．

b

2

2

∴tan∠APB=

a(c-a)-

b

a(c+a)

2

b

4

=-

2a1+

c

2

a2

c2

-a

2

∵a2>c2 ∴tan∠APB

故tan∠APB≠-3 ∴∠APB≠120 ． （2）设Q(x，y)，则kyQA=

yx+a

，kQB=

x-a

．

由于对称性，不妨设y>0，于是∠AQB是QA到QB的角．

y

-

y

∴tan∠AQB=21+

y2=ayx2+y2-a

2

x2

-a

2

∵∠AQB=120

， ∴

2ayx2

+y2

-a

2

=-3

整理得3(x2+y2-a2

)+2ay=0

2∵x2=a2

-

a2

b

2

y

2

∴3⎛ a⎫ 1-b2⎪2

⎪y+2ay=0

⎝⎭

2∵y≠0， ∴y=

2ab3c

2

∵y≤b， ∴

2ab3c

22

≤b

2ab≤

3c，4a2a2-c2≤3c2

2

()

∴4c4+4a2c2-4a4≥0，3e4+4e2-4≥0

32

∴e2≥或e2≤-2（舍），∴

63

≤e

典型例题十三

例13 已知椭圆

x

2

2

k+8

+

y

9

=1的离心率e=

12

，求k的值．

分析：分两种情况进行讨论．

解：当椭圆的焦点在x轴上时，a2=k+8，b2=9，得c2=k-1．由e=当椭圆的焦点在y轴上时，a2=9，b2=k+8，得c2=1-k． 由e=

12

12

，得k=4．

，得

1-k9

=

14

，即k=-

54

54

．

∴满足条件的k=4或k=-．

说明：本题易出现漏解．排除错误的办法是：因为k+8与9的大小关系不定，所以椭圆的焦点可能在x轴

上，也可能在y轴上．故必须进行讨论．

典型例题十四

例14 已知椭圆

x

22

22

4b

+

yb

=1上一点P到右焦点F2的距离为b(b>1)，求P到左准线的距离．

分析：利用椭圆的两个定义，或利用第二定义和椭圆两准线的距离求解． 解法一：由

x

22

4b

+

yb

22

=1，得a=2b，c=3b，e=

32

．

由椭圆定义，PF1+PF2=2a=4b，得 PF1=4b-PF2=4b-b=3b．

由椭圆第二定义，

PF1d1

=e，d1为P到左准线的距离，

∴d1=

PF1e

=23b，

即P到左准线的距离为23b．

PF2d2

解法二：∵

=e，d2为P到右准线的距离，e=

ca

=

32

，

∴d2=

PF2e

=

233

b．

又椭圆两准线的距离为2⋅

a

2

c

=

833

b．

∴P到左准线的距离为

83

b-

233

b=23b．

说明：运用椭圆的第二定义时，要注意焦点和准线的同侧性．否则就会产生误解．

椭圆有两个定义，是从不同的角度反映椭圆的特征，解题时要灵活选择，运用自如．一般地，如遇到动点到两个定点的问题，用椭圆第一定义；如果遇到动点到定直线的距离问题，则用椭圆的第二定义．

典型例题十五

⎧x=4cosα,π

例15 设椭圆⎨(α为参数)上一点P与x轴正向所成角∠POx=，求P点坐标．

3⎩y=23sinα.

分析：利用参数α与∠POx之间的关系求解．

解：设P(4cosα,23sinα)，由P与x轴正向所成角为

π

3

23sinα4cosα

π

3

，

∴tan=，即tanα=2．

而sinα>0，cosα>0，由此得到cosα=

55

，sinα=

255

，

∴P点坐标为(

455

,

45

)．

典型例题十六

例16 设P(x0,y0)是离心率为e的椭圆

xa

22

22

+

yb

=1 (a>b>0)上的一点，P到左焦点F1和右焦点F2的

距离分别为r1和r2，求证：r1=a+ex0，r2=a-ex0．

分析：本题考查椭圆的两个定义，利用椭圆第二定义，可将椭圆上点到焦点的距离转化为点到相应准线距离．

解：P点到椭圆的左准线l：x=-

PF1PQ

a

2

c

的距离，PQ=x0+

a

2

c

，

由椭圆第二定义，=e，

∴r1=ePQ=a+ex0，由椭圆第一定义，r2=2a-r1=a-ex0．

说明：本题求证的是椭圆的焦半径公式，在解决与椭圆的焦半径（或焦点弦）的有关问题时，有着广泛的应用．请写出椭圆焦点在y轴上的焦半径公式．

典型例题十七

例17 已知椭圆

x

2

2

9

+

y

5

=1内有一点A(1,1)，F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，点P是椭圆上一点．

(1) 求PA+PF1的最大值、最小值及对应的点P坐标； (2) 求PA+

32

PF2的最小值及对应的点P的坐标．

分析：本题考查椭圆中的最值问题，通常探求变量的最值有两种方法：一是目标函数当，即代数方法．二是数形结合，即几何方法．本题若按先建立目标函数，再求最值，则不易解决；若抓住椭圆的定义，转化目标，运用数形结合，就能简捷求解．

解：

(1)如上图，2a=6，F2(2,0)，AF2=

2，设P是椭圆上任一点，由PF1+PF2=2a=6，

2，等号仅当PA=PF2-AF2时

PA≥PF2-AF2，∴PA+PF1≥PF1+PF2-AF2=2a-AF2=6-

成立，此时P、A、F2共线．

由

PA≤PF2+AF2，∴PA+PF1≤PF1+PF2+AF2=2a+AF2=6+

2，等号仅当

PA=PF2+AF2时成立，此时P、A、F2共线．

⎧x+y-2=0,

建立A、F2的直线方程x+y-2=0，解方程组⎨2得两交点 2

⎩5x+9y=45

P1(97-1514

2,

57+1514

2)、P2(

97+1514

2,

57-1514

2)．

综上所述，P点与P1PA+PF1取最小值6-2，P点与P2PA+PF2取最大值6+

23

2．

(2)如下图，设P是椭圆上任一点，作PQ垂直椭圆右准线，Q为垂足，由a=3，c=2，∴e=

PF2PQ

23

32

32

．由椭

圆第二定义知=e=，∴PQ=

PF2，∴PA+

92

PF2=PA+PQ，要使其和最小需有A、P、Q

共线，即求A到右准线距离．右准线方程为x=．

∴A到右准线距离为

655

72

．此时P点纵坐标与A点纵坐标相同为1，代入椭圆得满足条件的点P坐标

(,1)．

1e

说明：求PA+

PF2的最小值，就是用第二定义转化后，过A向相应准线作垂线段．巧用焦点半径PF2

与点准距PQ互化是解决有关问题的重要手段．

典型例题十八

例18 (1)写出椭圆

x

2

9

+

y

2

4

=1的参数方程；

(2)求椭圆内接矩形的最大面积．

分析：本题考查椭圆的参数方程及其应用．为简化运算和减少未知数的个数，常用椭圆的参数方程表示曲线

上一点坐标，所求问题便化归为三角问题．

解：(1) ⎨

⎧x=3cosθ⎩y=2sinθ

(θ∈R)．

(2)设椭圆内接矩形面积为S，由对称性知，矩形的邻边分别平行于x轴和y轴，设(3cosθ,2sinθ)为矩形在第一象限的顶点，(0

)， 2

则S=4⨯3cosθ⨯2sinθ=12sin2θ≤12

π

故椭圆内接矩形的最大面积为12．

说明：通过椭圆参数方程，转化为三角函数的最值问题，一般地，与圆锥曲线有关的最值问题，用参数方程形式较简便．

典型例题十九

例19 已知F1，F2是椭圆的两个焦点，P是椭圆上一点，且∠F1PF2=60︒． (1)求椭圆离心率的取值范围；

(2)求证∆PF1F2的面积与椭圆短轴长有关． 分析：不失一般性，可以设椭圆方程为

xa

22

+

yb

22

，P(x1,y1)（y1>0）． =1（a>b>0）

KPF2-KPF11+KPF2KPF1

x1a

2

思路一：根据题设容易想到两条直线的夹角公式，即tan60︒==

3，设P(x1,y1)，

F1(-c,0)，F2(c,0)，化简可得3x1+

3cy1+2bcy1-

2

2

2

4

2

3y1-2cy1-

2

3c=0．又

2

2

+

y1b

2

2

=1，两方程联立消去x1得

2

3b=0，由y1∈(0,b]，可以确定离心率的取值范围；解出y1可以求出∆PF1F2的面积，

但这一过程很繁．

思路二：利用焦半径公式PF1=a+ex1，PF2=a-ex1，在∆PF1F2中运用余弦定理，求x1，再利用x1∈[-a,a]，可以确定离心率e的取值范围，将x1代入椭圆方程中求y1，便可求出∆PF1F2的面积．

思路三：利用正弦定理、余弦定理，结合PF1+PF2=2a求解．

xa

22

解：(法1)设椭圆方程为+

yb

22

=1（a>b>0），P(x1,y1)，F1(-c,0)，F2(c,0)，c>0，

则PF1=a+ex1，PF2=a-ex1． 在∆PF1F2中，由余弦定理得

22cos60︒=

1(a+ex1)+(a-ex1)-4c

2

2

=

2(a+ex1)(a-ex，

1)

2

2

解得x2

4c-a1=

3e

2

．

(1)∵x2

1∈(0,a2]， ∴0≤

4c2

-a2

3e

2

，即4c2-a2

≥0．

∴e=

c1a≥

2

．

故椭圆离心率的取范围是e∈[

12,1)．

(2)将x2

4c2

-a2

x221=

3e

2代入

2

a

2

+

yb

=1得y2

b

4b

2

1=

3c

2

，即y1=

．

3c

∴S12

∆PF

1F2

=

2

F1F2⋅y=

12

⋅2c⋅

b

=

32

3c

3

b．

即∆PF1F2的面积只与椭圆的短轴长有关．

(法2)设PF1=m，PF2=n，∠PF2F1=α，∠PF1F2=β，则α+β=120︒．

(1)在∆PF1F2中，由正弦定理得 m2c．

sinα

=

nsinβ

=

sin60︒

∴

m+n2csinα+sinβ

=sin60︒

∵m+n=2a， ∴

2asinα+sinβ

=

2csin60︒

，

∴e=

csin60︒a=

sinα+sinβ

=

sin60︒

2sin

α+β

α-β

2

cos

2

=2cos

1

α-β

2

≥

12

．

当且仅当α=β时等号成立． 故椭圆离心率的取值范围是e∈[

12,1)．

(2)在∆PF1F2中，由余弦定理得：

(2c)=m+n-2mncos60︒

=m+n-mn =(m+n)-3mn

2

2

2

2

2

2

∵m+n=2a，

∴4c2=4a2-3mn，即mn=

12

3343

(a-c)=

2

2

43

b．

2

∴S∆PFF=

1

2

mnsin60︒=b．

2

即∆PF1F2的面积与椭圆短轴长有关．

说明：椭圆上的一点P与两个焦点F1，F2构成的三角形为椭圆的焦点三角形，涉及有关焦点三角形问题，通常运用三角形的边角关系定理．解题中通过变形，使之出现PF1+PF2的结构，这样就可以应用椭圆的定义，从而可得到有关a，c的关系式，使问题找到解决思路．

典型例题二十

例20 椭圆

xa

22

22

+

yb

=1(a>b>0)与x轴正向交于点A，若这个椭圆上总存在点P，使OP⊥AP(O为

坐标原点)，求其离心率e的取值范围．

分析：∵O、A为定点，P为动点，可以P点坐标作为参数，把OP⊥AP，转化为P点坐标的一个等量关系，再利用坐标的范围建立关于a、b、c的一个不等式，转化为关于e的不等式．为减少参数，易考虑运用椭圆参数方程．

⎧x=acosθ

解：设椭圆的参数方程是⎨(a>b>0)，

y=bsinθ⎩

则椭圆上的点P(acosθ,bsinθ)，A(a,0)，

bsinθacosθ

bsinθacosθ-a

∵OP⊥AP，∴⋅=-1，

2

即(a2-b2)cos2θ-a2cosθ+b2

=0，解得cosθ=1或cosθ=

b

a2

-b

2

，

2

∵-1

b

a2

2

-b

2∴0

ac

2

∴e>

22

，又0

22

说明：若已知椭圆离心率范围(22

,1)，求证在椭圆上总存在点P使OP⊥AP．如何证明？

椭圆标准方程典型例题

例1 已知椭圆mx2+3y2-6m=0的一个焦点为（0，2）求m的值．

分析：把椭圆的方程化为标准方程，由c=2，根据关系a2=b2+c2

可求出m的值．

2

解：方程变形为

x

6

+

y

2

2m

=1．因为焦点在y轴上，所以2m>6，解得m>3．

又c=2，所以2m-6=22

，m=5适合．故m=5．

例2 已知椭圆的中心在原点，且经过点P(3，

0)，a=3b，求椭圆的标准方程．

分析：因椭圆的中心在原点，故其标准方程有两种情况．根据题设条件，运用待定系数法，

求出参数a和b（或a2

和b2

）的值，即可求得椭圆的标准方程．

解：当焦点在x轴上时，设其方程为

xa

22

+

yb

22

=1(a>b>0)．

由椭圆过点P(3，0)，知

9a

2

+

0b

2

=1．又a=3b，代入得b=1，a=9，故椭圆的方程为

22

x

2

9

+y=1．

2

当焦点在y轴上时，设其方程为

ya

22

+

xb

22

=1(a>b>0)．

由椭圆过点P(3，0)，知

9a

2

+

0b

2

=1．又a=3b，联立解得a=81，b=9，故椭圆的方程为

22

y

2

81

+

x

2

9

=1．

例3 ∆ABC的底边BC=16，AC和AB两边上中线长之和为30，求此三角形重心G的轨迹和顶点A的轨迹．

分析：（1）由已知可得GC+GB=20，再利用椭圆定义求解．

（2）由G的轨迹方程G、A坐标的关系，利用代入法求A的轨迹方程．

BC中点为原点建立直角坐标系．解： （1）以BC所在的直线为x轴，设G点坐标为(x，y)，由GC+GB=20，

知G点的轨迹是以B、C为焦点的椭圆，且除去轴上两点．因a=10，c=8，有b=6， 故其方程为

x

2

100

+

y

2

36

=1(y≠0)．

（2）设A(x，y)，G(x'，y')，则

x'

2

100

+

y'

2

36

=1(y'≠0)． ①

⎧

x'=⎪⎪

由题意有⎨

⎪y'=⎪⎩

x3y3

，

代入①，得A的轨迹方程为

x

2

900

+

y

2

324

=1(y≠0)，其轨迹是椭圆（除去x轴上两点）．

例4 已知P点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P到两焦点的距离分别为的垂线，它恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆方程．

453

和

253

，过P点作焦点所在轴

解：设两焦点为F1、F2，且PF1=

453

，PF2=

253

．从椭圆定义知2a=PF1+PF2=25．即a=

PF2PF1

12

5．

从PF1>PF2知PF2垂直焦点所在的对称轴，所以在Rt∆PF2F1中，sin∠PF1F2=

=，

可求出∠PF1F2=

π

6

，2c=PF1⋅cos

2

2

π

6

2

=

23

2

，从而b2=a2-c2=

103

．

∴所求椭圆方程为

x

5yb

+

3y10

=1或

3x10

+

y

5

=1．

例5 已知椭圆方程

xa

22

22

+

=1(a>b>0)，长轴端点为A1，A2，焦点为F1，F2，P是

椭圆上一点，∠A1PA2=θ，∠F1PF2=α．求：∆F1PF2的面积（用a、b、α表示）．

分析：求面积要结合余弦定理及定义求角α的两邻边，从而利用S∆=

12

absinC求面积．

解：如图，设P(x，y)，由椭圆的对称性，不妨设P(x，y)，由椭圆的对称性，不妨设P在第一象限．由余弦定理知： F1F2

2

=PF1

2

+PF2

2

-2PF1PF2cosα=4c．①

2

2

由椭圆定义知： PF1+PF2=2a ②，则②－①得 PF1⋅PF2=

2

2b

2

1+cosα

．

故S∆FPF=

1

2

12

PF1⋅PF2sinα =

12b

21+cosα

sinα =btan

2

α

2

．

(x-3)+y2=64的内部与其相内切，例6 已知动圆P过定点A(-3，且在定圆B：求动圆圆心P的轨迹方程． 0)，

2

分析：关键是根据题意，列出点P满足的关系式．

解：如图所示，设动圆P和定圆B内切于点M．动点P到两定点， 0)和定圆圆心B(3，0)距离之和恰好等于定圆半径， 即定点A(-3，

即PA+PB=PM+PB=BM=8．∴点P的轨迹是以A，B为两焦点，

x

2

半长轴为4，半短轴长为b=4-3=

22

7的椭圆的方程：

16

+

y

2

7

=1．

说明：

本题是先根据椭圆的定义，判定轨迹是椭圆，然后根据椭圆的标准方程，求轨迹的方程．这是求轨迹方程

的一种重要思想方法． 例7 已知椭圆

x

⎛11⎫2

（1）求过点P ⎪且被P平分的弦所在直线的方程； +y=1，

2⎝22⎭

2

（2）求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程；

（3）过A(2，1)引椭圆的割线，求截得的弦的中点的轨迹方程；

（4）椭圆上有两点P、Q，O为原点，且有直线OP、OQ斜率满足kOP⋅kOQ=-

求线段PQ中点M的轨迹方程．

分析：此题中四问都跟弦中点有关，因此可考虑设弦端坐标的方法．

解：设弦两端点分别为M(x1，y1)，N(x2，y2)，线段MN的中点R(x，y)，则 ⎧x12+2y12=2，⎪2

2

⎪x2+2y2=2，⎨

⎪x1+x2=2x，⎪y+y=2y，

2⎩1

①②③④

12

，

①－②得(x1+x2)(x1-x2)+2(y1+y2)(y1-y2)=0．

由题意知x1≠x2，则上式两端同除以x1-x2，有(x1+x2)2(y1+y2)

y1+y2x1-x2

=0，

将③④代入得x+2y

（1）将x=

12

y1-y2x1-x2

=0．⑤

，y=

12

代入⑤，得

y1-y2x1-x2

2

=-14

12

，故所求直线方程为： 2x+4y-3=0． ⑥

14

22

将⑥代入椭圆方程x+2y=2得6y-6y-

=0，∆=36-4⨯6⨯>0符合题意，2x+4y-3=0为所求．

（2）将

y1-y2x1-x2y1-y2x1-x2

=2代入⑤得所求轨迹方程为： x+4y=0．（椭圆内部分）

（3）将=

y-1x-2

代入⑤得所求轨迹方程为： x+2y-2x-2y=0．（椭圆内部分）

22

（4）由①＋②得 ：

x1+x2

2

22

+y1+y2=2， ⑦， 将③④平方并整理得

2

2

2

(

22

)

x1+x2=4x-2x1x2， ⑧， y1+y2=4y-2y1y2， ⑨

222

将⑧⑨代入⑦得：

4x-2x1x2

4

2

2

+4y-2y1y2=2， ⑩

()

y⎛1⎫

再将y1y2=-x1x2代入⑩式得： 2x-x1x2+4y-2 -x1x2⎪=2， 即 x2+=1．

122⎝⎭

2

1

2

2

2

此即为所求轨迹方程．当然，此题除了设弦端坐标的方法，还可用其它方法解决．

例8 已知椭圆4x2+y2=1及直线y=x+m． （1）当m为何值时，直线与椭圆有公共点？ （2）若直线被椭圆截得的弦长为

解：（1）把直线方程y=x+m代入椭圆方程4x2+y2=1得 4x2+(x+m)=1，

2

25

，求直线的方程．

即5x2+2mx+m2-1=0．∆=(2m)-4⨯5⨯(m2-1)=-16m2+20≥0，解得-

2

52

≤m≤

52

．

（2）设直线与椭圆的两个交点的横坐标为x1，x2，由（1）得x1+x2=-

2

2

2m5

，x1x2=

m-15

2

．

m-12⎛2m⎫

=根据弦长公式得 ：+1⋅ -．解得m=0．方程为y=x． ⎪-4⨯

5⎭55⎝

2

说明：处理有关直线与椭圆的位置关系问题及有关弦长问题，采用的方法与处理直线和圆的有所区别．

这里解决直线与椭圆的交点问题，一般考虑判别式∆；解决弦长问题，一般应用弦长公式． 用弦长公式，若能合理运用韦达定理（即根与系数的关系），可大大简化运算过程．

例9 以椭圆

x

2

12

+

y

2

3

=1的焦点为焦点，过直线l：x-y+9=0上一点M作椭圆，要使所作椭圆的长轴最短，

点M应在何处？并求出此时的椭圆方程．

分析：椭圆的焦点容易求出，按照椭圆的定义，本题实际上就是要在已知直线上找一点，使该点到直线同侧的两已知点（即两焦点）的距离之和最小，只须利用对称就可解决．

2

解：如图所示，椭圆

x

y

2

12

+

3

=1的焦点为F1(-3，0)，F2(3，0)．

点F1关于直线l：x-y+9=0的对称点F的坐标为（－9，6），直线FF2的方程为x+2y-3=0． 解方程组x+2y-3=0⎨

⎧⎩x-y+9=0

得交点M的坐标为（－5，4）．此时MF1+MF2最小．

所求椭圆的长轴：2a=MF1+MF2=FF2=65，∴a=35，又c=3，

2

∴b2

=a2

-c2

=(35

)

2

-32

=36．因此，所求椭圆的方程为

x

y

2

45

+

36

=1．2

2

例10 已知方程

x

kk-5

+

y

3-k

=-1表示椭圆，求的取值范围．

⎧k-5

解：由⎪

⎨3-k

⎪⎩

k-5≠3-k,∴满足条件的k的取值范围是3

说明：本题易出现如下错解：由⎧k-5

⎨得3

3-k

出错的原因是没有注意椭圆的标准方程中a>b>0这个条件，当a=b时，并不表示椭圆．

例11 已知x2sinα-y2

cosα=1(0≤α≤π)表示焦点在y轴上的椭圆，求α的取值范围．

分析：依据已知条件确定α的三角函数的大小关系．再根据三角函数的单调性，求出α的取值范围． 2

解：方程可化为

x

11+

y

2

1=1．因为焦点在y轴上，所以-

1cosα

>

sinα

>0．

sinα

cosα

因此sinα>0且tanα

2

,

34

π)．

说明：(1)由椭圆的标准方程知

11sinα

>0，-

cosα

>0，这是容易忽视的地方．

(2)由焦点在y轴上，知a2=-

1cosα

，b2=

1sinα

． (3)求α的取值范围时，应注意题目中的条件0≤α

例12 求中心在原点，对称轴为坐标轴，且经过A(3,-2)和B(-23,1)两点的椭圆方程．

分析：由题设条件焦点在哪个轴上不明确，椭圆标准方程有两种情形，为了计算简便起见，

可设其方程为mx2+ny2=1(m>0，n>0)，且不必去考虑焦点在哪个坐标轴上，直接可求出方程．

解：设所求椭圆方程为mx2+ny2=1(m>0，n>0)．由A(3,-2)和B(-23,1)两点在椭圆上可得

2222⎧⎧3m+4n=1,11xy⎪m⋅(3)+n⋅(-2)=1,

即⎨所以m=，n=．故所求的椭圆方程为+=1． ⎨2212m+n=1,155155⎪⎩⎩m⋅(-23)+n⋅1=1,

例13 知圆x2+y2=1，从这个圆上任意一点P向y轴作垂线段，求线段中点M的轨迹．

分析：本题是已知一些轨迹，求动点轨迹问题．这种题目一般利用中间变量(相关点)求轨迹方程或轨迹． 解：设点M的坐标为(x,y)，点P的坐标为(x0,y0)，则x=

因为P(x0,y0)在圆x2+y2=1上，所以x02+y02=1．

将x0=2x，y0=y代入方程x02+y02=1得4x2+y2=1．所以点M的轨迹是一个椭圆4x2+y2=1．

说明：此题是利用相关点法求轨迹方程的方法，这种方法具体做法如下：首先设动点的坐标为(x,y)，

设已知轨迹上的点的坐标为(x0,y0)，然后根据题目要求，使x，y与x0，y0建立等式关系， 从而由这些等式关系求出x0和y0代入已知的轨迹方程，就可以求出关于x，y的方程， 化简后即我们所求的方程．这种方法是求轨迹方程的最基本的方法，必须掌握．

例14 已知长轴为12，短轴长为6，焦点在x轴上的椭圆，过它对的左焦点F1作倾斜解为

B两点，求弦AB的长．

x02

，y=y0．

π

3

的直线交椭圆于A，

分析：可以利用弦长公式AB=

+k

2

x1-x2=(1+k)[(x1+x2)-4x1x2]求得，

22

也可以利用椭圆定义及余弦定理，还可以利用焦点半径来求．

解：(法1)利用直线与椭圆相交的弦长公式求解． AB=

+k

2

x1-x2=x

2

22

(1+k)[(x1+x2)-4x1x2]．因为a=6，b=3，所以c=33．因为焦点在x轴上，

所以椭圆方程为

36

+

y

2

9

=1，左焦点F(-33,0)，从而直线方程为y=3x+9．

由直线方程与椭圆方程联立得：13x+723x+36⨯8=0．设x1，x2为方程两根，所以x1+x2=-

x1x2=

36⨯813

2

72313

，

，k=3， 从而AB=+k

2

x1-x2=(1+k)[(x1+x2)-4x1x2]=

22

4813

．

(法2)利用椭圆的定义及余弦定理求解． 由题意可知椭圆方程为

2

x

2

36

+

y

2

9

2

=1，设AF1=m，BF1=n，则AF2=12-m，BF2=12-n．

2

在∆AF1F2中，AF2所以m=

64-

3

=AF1+F1F2-2AF1F1F2cos

π

3

，即(12-m)=m+36⋅3-2⋅m⋅63⋅6

22

12

；

．同理在∆BF1F2中，用余弦定理得n=

4+3

，所以AB=m+n=

4813

．

(法3)利用焦半径求解．

先根据直线与椭圆联立的方程13x+723x+36⨯8=0求出方程的两根x1，x2，它们分别是A，B的横坐标． 再根据焦半径AF1=a+ex1，BF1=a+ex2，从而求出AB=AF1+BF1．

例15 椭圆

x

2

2

25

+

y

2

9

=1上的点M到焦点F1的距离为2，N为MF1的中点，则ON（O为坐标原点）的值为

32

A．4 B．2 C．8 D．

说明：(1)椭圆定义：平面内与两定点的距离之和等于常数（大于F1F2）的点的轨迹叫做椭圆．

(2)椭圆上的点必定适合椭圆的这一定义，即MF1+MF2=2a，利用这个等式可以解决椭圆上的点与焦点的有关距离．

xy

例16 已知椭圆C+=1，试确定m的取值范围，使得对于直线l：y=4x+m，椭圆C上有不同的两点

43

2

2

关于该直线对称．

分析：若设椭圆上A，B两点关于直线l对称，则已知条件等价于：(1)直线AB⊥l；(2)弦AB的中点M在l上．

利用上述条件建立m的不等式即可求得m的取值范围． 解：(法1)设椭圆上A(x1,y1)，B(x2,y2)两点关于直线l对称，直线AB与l交于M(x0,y0)点．

1⎧

y=-x+n,⎪4y=-x+n．由方程组⎪消去y⎨224

⎪x+y=1,⎪3⎩4

∵l的斜率kl=4，∴设直线AB的方程为

1

得

13x-8nx+16n-48=0 ①。∴x1+x2=

22

8n13

．于是x0=

x1+x2

2

=

4n13

，y0=-

14

x0+n=

134

12n13

，

即点M的坐标为(

4n13

,

2

12n13

)．∵点M在直线y=4x+m上，∴n=4⨯

2

4n13

+m．解得n=-m． ②

将式②代入式①得13x+26mx+169m-48=0 ③

213

213

∵A，B是椭圆上的两点，∴∆=(26m)-4⨯13(169m-48)>0．解得-(法2)同解法1得出n=-

y0=-

14x0-

134

134

m，∴x0=14

⨯(-m)-

413(-134

m)=-m，

22

m=-

134

m=-3m，即M点坐标为(-m,-3m)．

∵A，B为椭圆上的两点，∴M点在椭圆的内部，∴

(-m)4

2

+

(-3m)3

2

213

213

．

(法3)设A(x1,y1)，B(x2,y2)是椭圆上关于l对称的两点，直线AB与l的交点M的坐标为(x0,y0)．

x1

2

∵A，B在椭圆上，∴

4

+

y13

2

=1x24

2

+

y23

2

=1．两式相减得3(x1+x2)(x1-x2)+4(y1+y2)(y1-y2)=0，

3x04y0

即3⋅2x0(x1-x2)+4⋅2y0(y1-y2)=0．∴

y1-y2x1-x2

=-

(x1≠x2)．

又∵直线AB⊥l，∴kAB⋅kl=-1，∴-

3x04y0

⋅4=-1，即y0=3x0 ①。

又M点在直线l上，∴y0=4x0+m ②。由①，②得M点的坐标为(-m,-3m)．以下同解法2.

说明：涉及椭圆上两点A，B关于直线l恒对称，求有关参数的取值范围问题，可以采用列参数满足的不等式：

(1)利用直线AB与椭圆恒有两个交点，通过直线方程与椭圆方程组成的方程组，消元后得到的一元二次方程的判别式∆>0，建立参数方程．

(2)利用弦AB的中点M(x0,y0)在椭圆内部，满足例17 在面积为1的∆PMN中，tanM=点的椭圆方程．

12

x0a

2

+

y0b

2

，tanN=-2，建立适当的坐标系，求出以M、N为焦点且过P

∴所求椭圆方程为

4x15

2

+

y

2

3

=1

例18 已知P(4,2)是直线l被椭圆

x

2

36

+

y

2

9

=1所截得的线段的中点，求直线l的方程．

分析：本题考查直线与椭圆的位置关系问题．通常将直线方程与椭圆方程联立消去y(或x)，得到关于x(或y)

的一元二次方程，再由根与系数的关系，直接求出x1+x2，x1x2(或y1+y2，y1y2)的值代入计算即得． 并不需要求出直线与椭圆的交点坐标，这种“设而不求”的方法，在解析几何中是经常采用的．

解：方法一：设所求直线方程为y-2=k(x-4)．代入椭圆方程，整理得

222

(4k+1)x-8k(4k-2)x+4(4k-2)-36=0 ①

设直线与椭圆的交点为A(x1,y1)，B(x2,y2)，则x1、x2是①的两根，∴x1+x2=∵P(4,2)为AB中点，∴4=

x1+x2

2

=

4k(4k-2)4k+1

2

8k(4k-2)4k+1

2

，k=-

12

．∴所求直线方程为x+2y-8=0．

方法二：设直线与椭圆交点A(x1,y1)，B(x2,y2)．∵P(4,2)为AB中点，∴x1+x2=8，y1+y2=4． 又∵A，B在椭圆上，∴x1+4y1=36，x2+4y2=36两式相减得(x1-x2)+4(y1-y2)=0， 即(x1+x2)(x1-x2)+4(y1+y2)(y1-y2)=0．∴

y1-y2x1-x2

=

-(x1+x2)4(y1+y2)

=-

12

2

2

2

2

2

2

2

2

．∴直线方程为x+2y-8=0．

方法三：设所求直线与椭圆的一个交点为A(x,y)，另一个交点B(8-x,4-y)．

∵A、B在椭圆上，∴x2+4y2=36 ①。 (8-x)2+4(4-y)2=36 ②

从而A，B在方程①－②的图形x+2y-8=0上，而过A、B的直线只有一条，∴直线方程为x+2y-8=0． 说明：直线与圆锥曲线的位置关系是重点考查的解析几何问题，“设而不求”的方法是处理此类问题的有效方法． 若已知焦点是(33,0)、(-33,0)的椭圆截直线x+2y-8=0所得弦中点的横坐标是4，则如何求椭圆方程？