物理中的数学逻辑

高考冲刺：逻辑推理与数学方法的运用——极限和临界问题

审稿：李井军 责编：代洪

高考动向

整个物理学处处体现着科学的方法、思想和精神，这些科学的方法、思想、精神、产生于物理学的发展过程，同时它也有力推动着物理学、乃至其它学科的发展。掌握这些方法和思想对分析解决物理问题不仅是大有脾益，更是不可或缺的。因此这些科学的方法和思想不仅贯穿于整个的学习过程，在高考中也是不可缺少的、必须考察的，体现学生能力的重要方面，要想在高考中游刃有余，取得理想的成绩必须非常重视对科学方法、思想的理解和运用。 物理学中科学的方法十分丰富，例如物理的方法——模型法、等效法、对称法等；数学的方法——运用数学方法推理、论证、表达等，极限、极值的求解、微积分思想方法的运用，利用图象处理问题等；逻辑的方法——归纳、演绎、对比、类比等；哲学的方法——对立统一、相互联系、动态分析等等。 下面将重点介绍几个方面。

知识升华

1．物理极值的求解方法

求极值是物理学中普遍的一类问题，例如，运动学中的极值、力学中的极值、热学中的极值、电场中的极值、电路中的极值、电磁感应现象中的极值、光学中的极值等等。解决极值问题方法： （1）物理方法

通过分析研究对象发生的物理过程，找出某个物理量出现最大值或最小值的状态以及对应的条件，然后根据物理规律列方程，求解并讨论。

（2）数学的方法

分析物理过程，明确遵守的规律，由物理规律建立变量之间的关系，然后由数学方法求出在这一过程中某个变量的极值和极值点。

说明：在高中阶段用数学的方法求解极值常遇到几种具体的方法：用二次函数求极值；判别式求极值；三角函数求极值；用不等式求极值；用导数求极值等。 ①用二次函数求极值的公式：

将函数关系化为y=ax+bx+c的形式，明确各系数a 、b 、c 。

当

2

时

。

注意：一定要明确自变量的变化范围，要在题设范围内求极值。

②用判别式求解极值：

2

将函数关系化为二次方程的形式ax +bx+c=0，所求极值的物理量包含在方程的系数a 、b 、c 中，根据题意弄清方程有解、无解、一解或两解，由Δ＞0，Δ＜0，Δ=0求出极值。

③用三角函数求解：

依据物理规律将变量之间的关系表达

为

的形式，当

，

的形式，当

说明：

，求出极值；当然也可以将变量之间的关系，化为

时，

。

求解三角函数值，要注意到它的多解性——周期性；

当遇到y=Asinxcosx时，要化成y=Asin2x的形式，遇到y=asinx+bcosx

时，要化成

的形式。

④用不等式求极值：

几个正数的算术平均值不小于它们的几何平均值，

即

，

……当且仅当各数相等时，不等式取等号，由此而求得“和”的最小值或者

“积”的最大值。

⑤用导数求极值：

根据物理规律建立变量之间的函数关系，求出导数的表达式

，令

，求

出极值点，然后分析是最大值还是最小值。

（3）用矢量分析法求极值

根据物理规律将各个矢量统一在一个三角形内，令作为自变量的矢量在它规定的范围内变化（大小或方向的变化），从变化过程中找出最大值、最小值或相应的条件。

2．临界状态及临界条件的寻找

物理过程中随着某些或某个物理量的变化，其它的物理量也随之变化，量变的结果经常会导致运动过程或状态发生质的变化，这个质变的状态叫做临界状态。

（1）临界状态的特点

它是上一过程的结束状态，同时又是下一过程的开始，它遵守上一过程的规律，通常也遵守下一过程的规律；临界状态往往具有隐蔽性，要通过分析才能发现。

（2）临界状态的寻找方法

即动态分析法——让充当自变量的物理量发生变化，分析与之相联系的物理量在某种状态下的变化以及物理过程的变化。若①某个物理量出现零值、方向变化，或取某些特殊值时，这一状态可能是临界状态；②若运动过程的性质恰好要发生变化时，此时的状态也是临界状态。物体或系统处在临界状态时，自变量取得的值为临界条件，因变量取得的值叫做临界值，

临界条件和临界值对解决问题大有帮助。

（3）临界状态及条件举例（略举几例抛砖引玉） ①两物体恰好分离时满足物体间的相互作用力恰好为零。 ②恰好相对运动：两物体在此状态有相同速度，下一状态速度则不相等，往往可用v 1=v2解决问题。 ③恰相对滑动：两物体之间的静摩擦力达到最大值，

下一状态两物体间变成滑动摩擦力，

。

④一物体恰好追上别一物体：当两物体在同一位置时具有相同的速度。 ⑤全反射中临界光线临界角；物态变化中的临界温度等等。

3．应用数学的方法进行表达、推理、论证和计算。 数学的方法和结论在物理学中得到了广泛的应用，成为物理学发展的最重要的工具。借助数学人们可以用最简洁的方式表达物理概念和规律；可以提供多种论证和计算的方法；为复杂的推理提供可能；为发现物理规律或建立各物理量之间的关系提供参照和结论等。可以肯定地说，离开了数学，物理学不可能得到发展，物理问题也不可能得到解决。

（1）运用数学的形式进行表达（这是一个重要而不被引起重视的方法） ①用数学语言表达物理量之间的联系，表达物理现象发生的条件

例如，磁感应强度随时间按正比例变化，数学表达为B=kt（k 为常数），磁感应强度随

时间按正弦规律变化，应表达为时间甲恰能追上乙，则

，

。

，相距为S 的甲、乙两物体经过一段

说明：不能用数学语言表达关系和条件就无法进行必要的推理、论证、计算！应将“数学语言表达”视为重要的方法和技巧！ ②用数学语言表达物理过程的共性，以简化推理过程。

例如重复性的物理过程可以用一个通式表达它遵守的物理规律或建立各量之间的联系；用数列通式表示按一定规律变化的物理量。这种表达的技巧在高考压轴题中常有出现，后面将结合例题给予说明。

（2）用数学的方法进行推理、论证和计算 ①用分析法寻找思路，用综合法表达解题过程。 ②变换命题的形式对物理问题进行论证，做出判断，如：反证法、枚举法、同一法、数学归纳法等等。 ③采用不同的方式进行计算或分析，如解析法、图象法、向量法等等。

（3）运用微积分的思想、方法解决一些变化过程的定量计算问题。

例如：求变速运动的位移，变力做功的计算，变力冲量，交变电流的平均值，有效值，等等。 ①微积分的思想是：以“匀代替不匀”，以“不变代替变”，以“直代替曲”。 ②解决问题的操作方法是：

（i ）将变化的过程无限分割，任取一小段建立变量之间的关系。可以简称为：“取微元，

写关系”。这个微元关系就是认为物理量恒定不变而写出，如变速运动中Δx=vΔt （ii ）在所研究的过程上对各微小量累加。简称为“求和”。∑Δx=∑vΔt。

（iii ）明确所求得“和”的物理意，并采用适当的方法求出结果。若是匀变速运动，求和

的结果是

，这一结果可由积分公式求得，也可以由图象面积求得。

4．类比方法，等效方法，模型法

这些都是解决物理问题最基本的，重要的方法，后面将结合典型例题阐释。

经典例题透析

类型一 用数学的语言表达物理现象的本质 对一些重复性的过程或相似的事物，认真分析它们的共同特征，将这个共同特征用解析式表示出来，然后分析求解。

1．如图所示，在坐标原点处一个质子源以相同的速率向各个方向发射质子，只要在第一象限适当的区域内加一与xOy 平面垂直的匀强磁场，就能使第一象限所有的质子离开磁场时速度方向与x 轴平行，求这个匀强磁场的最小区域。（m ，q ，v ，B 为已知量）

思路点拨：质子离开磁场时的方向取决于磁场的区域大小，在磁场的区域边界上取一点（x ，y ），只要建立起边界上点的轨迹方程，则匀强磁场区域便确定出来。

解析：①对第一象限内沿任意方向入射的一个质子画出它的轨迹，如图所示。质子轨道

半径，在圆周的最高点P 处质子的速度方向与x 轴平行，从P 点离开磁场后，质子

将沿平行x 轴方向做匀速直线运动，所以，P 点就是磁场边界上的任一点，设其坐标为（x ，y ），由几何关系不难看出：△OO ＇C 是直角三角形，根据勾股定理即

的一部分。

，也就是

，

是以（0，R ）为圆心，以R 为半径的圆

②沿y 轴正方向射入的质子的轨迹就是磁场区域的上边界，是一个以（R ，0）为圆心，

R 为半径的圆弧，其方程是(x－R) +y=R。综上，所求最小区域的边界是由两段半径都是

222

R 的圆弧围成，如图。

总结升华：（1）各粒子在磁场边界上所具有的共性是速度方向平行于x 轴，过该点的半

222

径与x 轴垂直，坐标（x ，y ）满足x +(R－y) =R。

（2）凡寻找边界的问题应从边界处的粒子入手分析，由此确定磁场区域上的边界。

举一反三

【变式1】一倾角为=45°的斜面固定于地面，斜面顶端离地面的高度h 0=1 m，斜面底端有一垂直于斜面的固定挡板。在斜面顶端自由释放一质量m=0.09 kg 的小物块（视为质点）。小物块与斜面之间的动摩擦因数μ=0.2。当小物块与挡板碰撞后，将以原速返回。重

2

力加速度g=10 m / s。在小物块与挡板的前4次碰撞过程中，挡板给予小物块的总冲量是多少？

思路点拨：小物块与档板的多次性碰撞是重复性的过程，这些过程中小物块运动情况相似，共同遵守能量守恒定律和动量定理，只要抓住不同过程的联系，用好数学知识可以简单求解。

解析：解法一：设小物块从高为h 处由静止开始沿斜面向下运动，到达斜面底端时速度为v 。

由功能关系得

①

以沿斜面向上为动量的正方向。按动量定理，碰撞过程中挡板给小物块的冲量

②

设碰撞后小物块所能达到的最大高度为h ＇，则

③

同理，有

⑤

④

式中，v ＇为小物块再次到达斜面底端时的速度，I ＇为再次碰撞过程中挡板给小物块的

冲量。由①、②、③、④、⑤式得

⑥

式中

⑦

由此可知，小物块前4次与挡板碰撞所获得的冲量成等比级数，首项为

⑧

2

3

总冲量为 I=I1+I2+I3+I4=I1(1+k+k+k) ⑨

由

⑩

得

代入数据得

N·s ⑿

⑾

解法二：设小物块从高为h 处由静止开始沿斜面向下运动，小物块受到重力，斜面对它的摩擦力和支持力，小物块向下运动的加速度为a ，依牛顿第二定律得

①

设小物块与挡板碰撞前的速度为v ，则

②

以沿斜面向上为动量的正方向。按动量定理，碰撞过程中挡板给小物块的冲量为

③

④

由①、②、③式得

设小物块碰撞后沿斜面向上运动的加速度大小为a ＇， 依牛顿第二定律有

⑤

小物块沿斜面向上运动的最大高度为

由②、⑤、⑥式得

⑦

⑥

式中

⑧

⑨

同理，小物块再次与挡板碰撞所获得的冲量

由④、⑦、⑨式得

⑩

由此可知，小物块前4次与挡板碰撞所获得的冲量成等比级数，首项为

⑾

2

3

总冲量为 I=I1+I2+I3+I4=I1(1+k+k+k) ⑿

由

⒀

得

代入数据得

N·s ⒂

⒁

总结升华：①分析重复性的过程要同时重视“同中求异”和“异中求同”。“异中求同”发现

共性，“同中求异”发现差别，两种思维方式对建立物理量之间的联系皆有帮助； ②善于表达是解决综合题重要的能力和技巧，本题中I ＇=KI对解题至关重要。 ③用动量定理列方程时要注意各速度的矢量性。

【变式2】如图所示，一排人站在沿x 轴的水平轨道旁，原点O 两侧的人的序号都记为n （n=1、2、3……）。每人只有一个沙袋，x ＞0一侧的每个沙袋的质量为m=14 kg，x ＜0一侧的每个沙袋质量为m ＇=10 kg 。一质量为M=48 kg 的小车以某初速度从原点出发向正x 方向滑行。不计轨道阻力，当车每经过一人身旁时，此人就把沙袋以水平速度u 朝与车速相反的方向沿车面扔到车上，u 的大小等于扔此袋之前的瞬间车速大小的2n 倍（n 是此人的序号数）。

（1）空车出发后，车上堆积了几个沙袋时车就反向滑行？ （2）车上最终有大小沙袋共多少个？

思路点拨：分析比较抓住重复过程的本质运用规律列式表达！

解析：解法一：两物块相向运动，发生碰撞后粘在一起运动，运动的方向与碰撞的前动量大的物块的运动方向相同，这类问题我们已解过不少。而本题中，当小车以某一初速度v 0从原点出发向正x 方向滑行，经过第一人身边时，此人把沙袋以2v 0的速度沿与车速相反的方向扔到车上，就是两相向运动的物体发生碰撞并粘在一起运动的问题。设两物体一起运动的速度为v 1，则由动量守恒定律

∴

载有一个沙袋的小车以v 1向正x 方向滑行，当经过第二人身边时，此人将沙袋以4v 1的速度反向扔到车上，若车与沙袋一起滑行的速度为v 2，则由动量守恒定律

同理，第3人扔袋后，

第n 人扔袋后，

，，

∴

沙袋扔到车上后，小车向正x 方向滑行的速度减少，当速度小到某一数值后，再向上扔一个沙袋，小车便开始反向滑行，即小车反向运动的条件是

，

。

由，得，

由，得，

n 应为整数，故n=3，即车上堆积3个沙袋后车就反向滑行。

车自反向滑行直到接近x ＜0一侧第1人所在位置时，车速保持不变，而车的质量为M+3m。若在朝负方向滑行过程中第（n －1）个沙袋扔到车上后车速为到车上后车速为动量守恒定律有

。现取图中向左的方向（负x 方向）为速度

、

，第n 个沙袋扔的正方向，则由

∴

试题要求的是小车上最终有大小沙袋多少个，这就必须断定小车向左滑行后，最终是停在x ＜0一侧，还是又反向滑行。在小车向左滑行的过程中，当有（n －1）个沙袋扔到车上后，小车仍向左滑行，即停住（ 由 由

），或向右滑行（得，得，

。当第n 个沙袋扔到车上后，小车便不再向左滑行，即或

）。 ，∴n ＜9

，∴n≥8

，小车停止滑行。即在x ＜0一侧第8个沙袋扔到车上后车就停住。

当n=8时，

故车上最终共有大小沙袋3+8=11个。

解法二：（1）设小车朝正x 方向滑行过程中，当车上已有（n －1）沙袋时的车速为则车与沙袋的动量大小为

，其动量大小为

，

车经过第n 个人时，人扔出沙袋的速度为

当满足条件P 2＞P 1时，车就反向滑行。于是由

得

取n=3，即车上堆积3个沙袋时车就反向运动。

（2）设车向负x 方向滑行过程中，当第（n －1）个人扔出沙袋后的车速为量大小为

，其动量大小为

，其动

第n 个人扔出沙袋的速度大小为

当满足条件

时车就停止。于是由

得

所以车停止时车上共有沙袋数为 N=3+8=11个 总结升华：解法一是先利用递推规律写出速度的通式，再结合反向运动的条件或停止的条件进行讨论得出结论。解法二的依据是：相向运动的两物体碰后粘在一起时，若原先两物体动量大小相等，则碰后将静止；若原先动量大小不等，则碰后的运动方向将与原先动量较大的物体运动方向相同。

要善于分析速度反向的表达方式！

类型二：运动学中的极值问题

这类问题的解决方法是从位移入手建立起各物体的位移关系，结合物体的运动情况列出关于时间的方程，然后通过分析出现极值的条件求解，或运用判别式、二次函数极值公式求解。

2．火车以速度v 1匀速行驶，司机发现前方同轨道上相距s 处有另一火车沿同方向以速度v 2（对地、且v 1＞v 2）做匀速运动。司机立即以加速度a 紧急刹车。要使两车不相撞，a 应满足什么条件？

解析：此题有多种解法。

解法一：后车刹车后虽做匀减速运动，但在其速度减小至和v 2相等之前，两车的距离仍将逐渐减小；当后车速度减小至小于前车速度，两车距离将逐渐增大。可见，当两车速度相等时，两车距离最近。若后车减速的加速度过小，则会出现后车速度减为和前车速度相等之前即追上前车，发生撞车事故；若后车加速度过大，则会出现后车速度减为和前车速度相等时仍未追上前车，根本不可能发生撞车事故；若后车加速度大小为某值时，恰能使两车在速度相等时后车追上前车，这正是两车恰不相撞的临界状态，此时对应的加速度即为两车不相撞的最小加速度。综上分析可知，两车恰不相撞时应满足下列两方程：

v 1－a 0t=v2 ②

①

解之可得：。

所以当时，两车即不会相撞。

解法二：要使两车不相撞，其位移关系应为

即

对任一时间t ，不等式都成立的条件为

2

Δ=(v2―v1) ―2as≤0

由此得

解法三：以前车为参照物，刹车后后车相对前车做初速度v 0=v1－v 2，加速度为a 的匀减速直线运动。当后车相对前车的速度减为零时，若相对位移s ＇≤s，则不会相撞。故由

得

。

总结升华：三种解法中，解法一注重对运动过程的分析，抓住两车间距离有极值时速度应相等这一关键条件来求解；解法二中由位移关系得到一元二次方程，然后利用根的判别式来确定方程中各系数间的关系，这也是中学物理中常用的数学方法；解法三通过巧妙地选取参照物，使两车运动的关系变得简明。

三种解法中的前两种同学们必须掌握，不可偏废；对解法三，由于中学教材和高考对相对运动要求不高，故可只作参考。

举一反三

【变式1】将二次函数配方求极值

在电场强度为E 的水平匀强电场中，以初速度v 0竖直向上发射一个质量为m 、带电为+q的小球，求小球在运动过程中具有的最小速度v min 。

解析：解法一：运用运动合成的知识求解。如图甲所示，小球在水平方向上做初速度为零的匀加速运动，在竖直方向做匀减速运动，取如图所示的xoy 平面坐标系，

设经过时间t ，小球的分速度为 v x =at v y =v0－gt

且

则小球在t 时刻的合速度为

利用配方得

若v 有极小值，则

这时v 的最小值v min 为

解法二：由于小球在运动过程中受到mg 和qE 两个恒力作用，这两个恒力合成为G ＇也为恒力，如图乙（a ）、（b ）所示，将v 0分解到x 、y 方向上，

在x 方向上有 v 10=v0sinθ 在y 方向上有 v 20=v0cosθ 小球运动的加速度为

则小球沿x 轴负方向做匀减速运动，而沿y 轴方向做匀速直线运动，当x 轴方向运动速度为零时，小球的运动速度达到最小，最小值为小球沿y 方向的分速度v 20，则有

说明：解法一中物理过程设计较简单，但所用数学知识较繁，推导过程中易出错。 解法二借用了等效重力场的方法，使问题变得过程简单，易推导。本题还可用速度矢量合成的方法求解。

【变式2】如图，一半径为R 的光滑绝缘半球面开口向下，固定在水平面上。整个空间存在匀强磁场，磁感应强度方向竖直向下。一电荷量为q （q ＞0）、质量为m 的小球P 在球面上做水平的匀速圆周运动，圆心为O ＇。球心O 到该圆周上任一点的连线与竖直方向的夹角为θ（0＜＜）。为了使小球能够在该圆周上运动，求磁感应强度大小的最小值及小球P 相应的速率。重力加速度为g 。

解析：据题意，小球P 在球面上做水平的匀速圆周运动，该圆周的圆心为O ＇。P 受到向下的重力mg 、球面对它沿OP 方向的支持力N 和磁场的洛仑兹力

f ＝qvB ①

式中v 为小球运动的速率。洛仑兹力f 的方向指向O ＇。根据牛顿第二定律

②

③

由①、②、③式得

④

由于v 是实数，必须满足

⑤

由此得

⑥

可见，为了使小球能够在该圆周上运动，磁感应强度大小的最小值为

⑦

此时，带电小球做匀速圆周运动的速率为

⑧

由⑦、⑧式得

⑨

答案：

类型三：利用三角函数的性质求极值

如果物理量的变化规律，可以表示成三角函数y=Asinθ和y=Acosθ的形式，根据正、余弦的特点，我们便会很容易地求出其物理量的最大值或最小值。

3．如图所示，一辆四分之一圆弧小车停在不光滑水平地面上，质量为m 的小球从静止开始由车顶无摩擦滑下，且小车始终保持静止状态。试分析：当小球运动到什么位置时，地面对小车的静摩擦力最大？最大值是多少？

解析：设圆弧半径为R ，当小球运动到重力（mg ）与半径夹角为θ时，速度为v 。 根据机械能守恒定律和牛顿第二定律有：

解得小球对小车的压力为

其水平分量则为

根据平衡条件，地面对小车的静摩擦力水平向右，大小为

可以看出：当sin2θ=1，即θ=45°时，地面对车的静摩擦力最大，其值为：

答案：当θ=45°时，

举一反三 。

【变式】利用求极值。

质量为m 的物体与水平地面之间的动摩擦因数为μ，求至少用多大的拉力才能使物体沿水平面匀速运动？

解析：对物体受力分析如图所示。 将与水平面成α角的拉力正交分解，由平衡条件列方程得 Fcosα－f=0 F N +Fsinα－mg=0 f=μFN

解得

将此式整理得

其中

可见当时，拉力有最小值

。

答案：当力F 与水平方向所成的角是arctan u时拉力最小为

。

类型四：利用不等式求极值

根据不等式定理：两个（或n 个）正数算术平均值总是大于或等于其几何平均值，即

可以推出： ①定和求积原理——如果两个正数之和为一常量k ，则两个数相等时其积最大； ②定积求和原理——如果两个正数之积为一常量k ，则两个数相等时其和最小。 利用上述推论，有时可以十分简捷地求出物理量的最大值或最小值。

4．如图所示，将质量为M 的木块，分成质量为m 1和m 2两部分，并且细线连接：m 1置于光滑水平桌面上，m 2通过定滑轮竖直悬挂。试分析：应该将M 怎样分割，才能使系统在加速运动过程中绳的拉力最大？拉力最大值是多少？

解析：先以整体为研究对象，系统的加速度为

再以m 1为研究对象，则绳的拉力可以表示为：

因为m 1+m2=M。当时其积最大，所以拉力的最大值为

答案：当两部分的质量相等时绳子的拉力最大即，。 误区警示：必须m 1与m 2之和为定值的前提下，才有当其相等时之积最大。否则不正确。 举一反三

【变式】两个等量同种电荷q 间距为2a ，求中垂线上何处场强最大？最大场强为多大？ 思路点拨：运用场强的叠加原理，求出两点电荷中垂线上任一点的场强，然后求其极值点。

解析：如图所示，设中垂线上的P 点到两点电荷的距离为r ，r 与电荷连线的夹角为θ，则。

每个点电荷在P 点产生的场强E 0，

由场强的叠加原理得P 点的场强

两边平方得

因三个正数（）之和为定值2，所以当， 即

时，取得最大值，，。

答案：当时，。

总结升华：将表达式进行适当的变形使其符合运用不等式的条件是解题的技巧所在。

另一解法：利用导数求极值。

中垂线上任一点的场强，E 对θ求导数，

得

令 E ＇=0 即

，，

代入E 的表达式得

。

类型五：用矢量三角形动态分析法求解极值

运用此法解决问题关键是将变量统一在一个三角形内，然后根据自变量的变化范围进行动态分析，直观地发现极值点和对应的极值。

5．河宽1080 m，河水流速2.5 m / s，一人相对于河水以1.5 m / s的速率划船渡河，船头与河岸成多大角度时，船相对岸走过的路程最短？

解析：（1）船相对岸速度为v ，与水速v 1和船相对水的速度v 2构成图示的平行四边形。当α角最大时，船相对岸的位移最短。所以v 2⊥v 时，α最大，且

最短路程为

s=L / sinα=1080 / 0.6=1800 m

答案：当α=arcsin0.6时，船相对于岸的路程最短，为1800 m。

总结升华：以v 1矢量的末端为圆心，以v 2的大小为半径画圆，只要v 2矢量的箭头在圆周上，便能保证船对水的速度大小不变，通过比较不难发现当合速度与圆周相切时，合速度与河岸夹角α最大，渡河路程最短。

举一反三

【变式】如图所示，质量为m 的小球用细线悬挂在O 点，并置于倾角为α的光滑斜面上，细线与竖直方向的夹角θ＞α。试分析：在斜面缓慢右移，θ逐渐减至0°的过程中，小球受到的细线拉力和斜面的支持力如何变化？它们的极值各是多少？

解析：在θ逐渐减小的过程中，小球在三个共点力作用下始终处于平衡状态：重力（mg ）总竖直向下，支持力（N ）大小变化而方向始终垂直斜面，而拉力（T ）的大小和方向都在变化：

从三力构成的矢量三角形可以看出：拉力T 先减小后增大，当T 与N 垂直，即：θ+α=90°，T 与斜面平行时，拉力最小，为

T min =mg sinα

而支持力不断减小，当θ=0°时，N 减为零，即N min =0。

答案：小球受到的拉力T 先变小后变大，支持力不断减小，T min =mg sinα，N min =0。 类型六：类比推理和等效思想在物理解题中的运用

等效法是把复杂的物理现象、物理过程转化为简单的物理现象、物理过程来研究和处理的一种科学思想方法，它是物理学研究的一种重要方法。在中学物理中，合力与分力、合运动与分运动、总电阻与分电阻、平均值、有效值等，都是根据等效概念引入的。在学习过程中，若能将此法渗透到对物理过程的分析中去，不仅可以使我们对物理问题的分析和解答变得简捷，而且对灵活运用知识，促使知识、技能和能力的迁移，都会有很大的帮助。

6．如图甲所示，质点的质量为2 kg，受到六个大小、方向各不相同的共点力的作用处于平衡状态。今撤去其中3 N和4 N两个相互垂直的力，求质点的加速度。

解析：本题中各力的方向都没有明确标定，撤去两个力后合力是什么方向一时难以确定。但从力的作用效果分析，其它四个力（2 N、6 N、6.2 N、7 N）的合力F 乙一定与4 N、3 N的两力的合力F 甲平衡，如图乙所示。也就是说：F 乙与2 N、6 N、6.2 N、7 N的四个力作用效果相同，而F 甲与4 N、3 N的两个力的作用效果相同。

因此，撤消4 N、3 N的两个力，质点受到的合力可以认为只有F 乙，故：

举一反三 ，方向沿4 N、3 N两力对角线的相反方向。

【变式】一条长为的细线上端固定在O 点，下端系一个质量为m 的小球，将它置于一个很大的匀强电场中，电场强度为E ，方向水平向右，已知小球在B 点时平衡，细线与竖直线的夹角为α，如图（a ）所示，求：

（1）当悬线与竖直方向的夹角为多大时，才能使小球由静止释放后，细线到竖直位置时，小球速度恰好为零。

（2）当细线与竖直方向成α角时，至少要给小球一个多大的冲量，才能使小球做圆周运动？

解析：小球在B 点受力平衡，由平衡条件有

①

设小球由C 点（细线与竖直线夹角为φ）运动至最低点A 时速度恰为零，此过程小球的重力势能减少

，电势能增加 ②

。由能量守恒有

由①②式得

即

，则。

由于小球是在匀强电场和重力场的复合场中运动，其等效重力加速度（复合场场强）g ＇

=g / cosα（见图（b ）乙），小球在A 、C 点为最大位移处，由对称性即可得出结论：φ=2α。

绳系小球在复合场中做圆周运动的条件与在重力场中类似，只不过其等效“最高”点为

D ，“最低”点为B ，等效重力加速度（或叫做复合场强度）为g ＇（图c ）。

由

解得

给小球施加的冲量至少应为

。

类型七：物理学中的临界问题

解决临界问题时，①要有临界意识，能主动地去分析临界状态，分析临界条件并利用临

界状态进行计算；②要懂得如何分析临界状态——动态分析找出因变量的质变点。

1．竖直面内圆周运动的临界状态

竖直平面内的圆周运动，是典型的变速圆周运动，对于物体在竖直平面内做变速圆周运

动的问题，中学物理中只研究物体通过最高点和最低点的情况，并且经常出现临界状态。

（1）如图所示，没有物体支撑的小球，在竖直平面内做圆周运动过最高点的情况

①临界条件：小球达最高点时，图甲中绳子对小球的拉力

（或图乙中轨道对小球的弹力）

刚好等于零，小球的重力提供其做圆周运动的向心力。即

球通过最高点的最小速度，通常叫临界速度。 。上式中是小 ②能过最高点的条件：

v ＞v 临界（此时绳、轨道对球分别产生拉力F 、压力F N ）。

③不能过最高点的条件：（实际上球没有到最高点就脱离了轨道）。

（2）如图所示，有物体支撑的小球在竖直平面内做圆周运动过最高点的情况

①临界条件：由于硬杆和管壁的支撑作用，小球恰能达到最高点的临界速度。

②当图甲所示的小球过最高点时，轻杆对小球的弹力情况：当v=0时，轻杆对小球有竖

直方向的支持力F N ，其大小等于小球的重力，即F N =mg。当时，杆对小球的支

时，持力的方向竖直向上，大小随速度的增大而减小。其取值范围是mg ＞F N ＞0。当

F N =0。当时，杆对小球有指向圆心的拉力，其大小随速度的增大而增大。

③当图乙所示的小球过最高点时，光滑硬管对小球的弹力情况：当v=0时，管的内壁下

侧对小球有竖直向上的支持力F N ，其大小等于小球重力，即F N =mg。当时，管

的内壁下侧对小球有竖直向上的支持力F N ，大小随速度的增大而减小，其取值范围是mg ＞

F N ＞0。当时，F N =0。当时，管的内壁上侧对小球有竖直向下指向圆心的

压力，其大小随速度的增大而增大。

7．(2010 重庆) 小明站在水平地面上，手握不可伸长的轻绳一端，绳的另一端系

有质量为m 的小球，甩动手腕，使球在竖直平面内做圆周运动。当球某次运动到最低点时，

绳突然断掉，球飞行水平距离d 后落地．如题图所示．已知握绳的手离地面高度为d ，手与球之间的绳长为d ，重力加速度为g ．忽略手的运动半径和空气阻力．

和球落地时的速度大小． (1)求绳断时球的速度大小 (2)向绳能承受的最大拉力多大？

(3)改变绳长，使球重复上述运动，若绳仍在球运动到最低点时断掉，要使球抛出的水

平距离最大，绳长应是多少？最大水平距离为多少？

解析：（1）设绳断后球飞行时间为t ，由平抛运动规律，有

竖直方向

得v 1=d = gt 2，水平方向d =v 1t

由机械能守恒定律，有

得 v 2=

，这也是球受到的最大拉力大小， （2）设绳能承受的最大拉力大小为

球做圆周运动的半径为

由云周运动向心力公式，有，

得

（3）设绳长为l , 绳断时球的速度大小为v ３，绳承受的最大拉力不变，

有 得v 3

=

绳断后球做平抛运动，竖直位移为d －l , 水平位移为x ，时间为t 1，

有d －l

= x =v 3-t 1-

得x ＝4

当l ＝时，x 有极大值 x max ＝d

8．（2010北京）一物体静置在平均密度为的球形天体表面的赤道上．已知万有引力

常量G ，若由于天体自转使物体对天体表面压力恰好为零，则天体自转周期为

A ．

B ． C ． D ．

解析：我们来研究这样的物理情景：一物体放在赤道上，物体随地球以角速度自转，分析物体对地面的压力与角速度的关系。对物体受力分析如图，由牛顿第二定律：

即

由上式可知： ，当增大到某一临界值时，，此时如果继续增大则

物体将做离心运动飞离地球。

假设对应临界 时的周期为，则有：

， 又

整理得：

答案：D ，

注意：（1）受力分析时，因为考虑到地球自转，万有引力和重力不能同时画出，故只能

画出万有引力，而不能画重力。如果忽略自转则，物体处于平衡状态，所以

。

（2）极限分析往往伴随着动态变化的过程，只有把动态变化的过程特点抓住，才能自然而然的得出极限状态。本题紧扣的变化对的影响这一过程，从而得出结论。 而

2．磁场中的临界问题

电流在磁场中要受到安培力的作用，电荷在磁场中可能受到洛仑兹力的作用，安培力和

洛伦兹力经常会随着电流、磁场、运动速度发生变化，因此临界状态或收尾状态也会经常出

现。解决这类问题要善于分析临界状态。

－4 C 9．一个质量m=0.1 g的小滑块，带有q=5×10的电荷，放置在倾角α=30°的光滑斜面

上（绝缘），斜面置于B=0.5 T 的匀强磁场中，磁场方向垂直纸面向里，如图所示，小滑块

由静止开始沿斜面滑下，其斜面足够长，小滑块滑至某一位置时，要离开斜面。求：

（1）小滑块带何种电荷？

（2）小滑块离开斜面的瞬时速度多大？

（3）该斜面的长度至少多长？

解析：（1）小滑块沿斜面下滑过程中，受重力mg 、斜面支持力F N 和洛伦兹力F 。若要

小滑块离开斜面，洛伦兹力F 方向应垂直斜面向上，根据左手定则可知，小滑块应带有负

电荷。

（2）小滑块沿斜面下滑时，垂直斜面方向的加速度为零，有Bqv+FN －mg cosα=0。

当F N =0时，小滑块开始脱离斜面，此时qvB=mg cosα，得

。

（3）小滑块下滑过程中，只有重力做功，由动能定理得

，

斜面的长度至少应是

。

答案：（1）小滑块带负电荷 （2）v=3.4 m / s （3）s=1.2 m

误区警示：①物体要脱离斜面时F N =0，qBv=mg cosα，切不可认为是qBv=mg，此种错

误的根源是没有从变化过程中考察临界条件，只注重了临界状态。②尽管有变力作用物体仍

然匀变速运动。③要注意到洛伦兹力不做功的特点。

举一反三

【变式】在倾角为α的光滑斜面上，置一通有电流为I 、长度为L 、质量为m 的导体棒，

如图所示。试求：

（1）欲使棒静止在斜面上，外加匀强磁场的磁感应强度B 的最小值和方向。

（2）欲使棒静止在斜面上且对斜面无压力，外加匀强磁场的磁感应强度B 的大小和方

向。

（3）分析棒有可能静止在斜面上且要求B 垂直L ，应加外磁场的方向范围。

思路点拨：让磁场的方向发生变化，寻找最小安培力的大小方向，以及能使导体静止在

斜面上时可取的临界方向。

解析：（1）由平衡条件可知，当安培力平行于斜面向上时最小，此时磁场垂直于斜面向

上，BIL=mg sinα，

（2）当导体棒对斜面无压力时，所受安培力竖直向上，BIL=mg，。由左手定

则知B 的方向水平向左。

（3）使导体棒平衡时受到的安培力有一个临界状态——竖直向上和一个极限状态F 2垂

直于斜面向下，如图所示。由左手定则知，磁场的方向应在B 1与B 2之间，即α≤θ≤π（θ是

磁场与水平向右的方向所夹的角）

答案：（1） 垂直于斜面向上；（2） 方向水平向左；

（3）α≤θ≤π。

误区警示：θ＞α不等取θ=α，因为安培力F 2的方向不能使棒静止在斜面上，它只是一

个边界。

类型八：物理解题中的极端假设分析法

通常情况下，由于物理现象涉及的因素较多，过程变化复杂，人们往往难以洞察其变化

规律并对其作出迅速判断。但如果用极端假设分析法，将问题推到极端状态或极端条件下进

行分析，问题有时会顿时变得明朗而简单了。

1．定性分析

10．如图所示，在两端封闭的等臂U 形管中，空气柱a 和b 被水银柱隔开。当U

形管竖直放置时，两空气柱的长度差为h ，当U 形管绕底部的水平部分垂直纸面缓慢转过一

定角度（小于90°）时，若环境温度不变，则两空气柱长度差将：

A ．增大

B ．不变

C ．等于零

D ．减小，但不等于零

解析：当竖直放置管子时，气体压强P a ＞P b ；当转过90°，且两端位于同一水平面时，

P a =Pb 。可见P b 增大，体积减小；P a 减小，体积增大。两空气柱长度差增大。所以，应选答

案A 。

答案：A

总结升华：此问题的极端状态就是试管处于水平位置，解题时所取的极端状态必须是我

们非常熟悉的状态，且是物理过程渐变而获得的状态，与讨论的问题没有矛盾。

2．定量计算分析

在物理解题，特别是解答选择题时，采用“极端假设分析法”，选择适当的极限值——最

大值、最小值、零值、无限大值以及临界值等代入备选答案，会使解题收到意想不到的简化

效果。

11．如图所示的电路中，电源内阻不能忽略，R 1=10Ω，R 2=8Ω，当开关k 扳到

位置1时，电流表的示数为0.2 A；当开关k 扳到位置2时，电流表的示数可能

是 A ．0.27 A

B ．0.24 A C ．0.21 A D ．0.18 A

解析：由开关k 的两次动作，根据全电路欧姆定律可以列出

I 1=ε/ (R1+r)

I 2=ε/ (R2

+r)

解上述两式，得

因为此处r 不确定，故I 2的值也不确定。但是，考虑r 的最大、最小两个极端情况，便可找出I 2的一个取值范围。

当r→0时，I ＇2=0.25 A；

当r→∞时，I ＂2=0.20 A。

又由r 的取值只能是0＜r ＜∞，所以0.20 A＜I 2＜0.25 A，故应选答案B 与C 。

12．如图所示，一根轻质弹簧上端固定，下端挂一质量为m 0的平盘。盘中有物体质量为m 。当盘静止时弹簧的长度比其自然长度伸长了L 。今向下拉盘使弹簧再伸长ΔL后停止，然后松手放开。设弹簧总处在弹性限度以内，则刚刚松手时，盘对物的支持力等于

A ．(1+ΔL / L) mg

B ．ΔL·mg / L

C ．(1+ΔL / L)·(m+m0) g

D ．ΔL(m+m0) g / L

解析：若取ΔL=0，显然松手后盘仍保持静止。此时盘对物体的支持力应为mg 。 将ΔL=0代入上述各选项，只有A 选项可使盘对物的支持力等于零。故答案应选A 。 答案：A

总结升华：①ΔL=0是我们熟悉的平衡状态，此时必有F N =mg。②极端分析法是一种辅助解题方法，多用在排除法中，必须引起注意。

类型九：微积分思想方法在物理解题中的运用

对一些物理量随时空变化的综合性问题，在高中阶段大都运用（动量守恒、能量守恒）守恒定律解决，但是有些问题也必须结合微积分的方法才能解决。解决问题的方法是：将过程无限分割后任取一小段（微元）——以不变代变化的物理规律列出微元关系——在规定的变化过程上求和。

13．如图所示，间距为的两条足够长的平行金属导轨与水平面的夹角为，导轨光滑且电阻忽略不计。场强为B 的条形匀强磁场方向与导轨平面垂直，磁场区域的宽度为d 1，间距为d 2，两根质量均为m 、有效电阻均为R 的导体棒a 和b 放在导轨上，并与导轨垂直。（设重力加速度为g ）

（1）若a 进入第2个磁场区域时，b 以与a 同样的速度进入第1个磁场区域，求b 穿过第1个磁场区域过程中增加的动能ΔEk 。

（2）若a 进入第2个磁场区域时，b 恰好离开第1个磁场区域；此后a 离开第2个磁场区域时，b 又恰好进入第2个磁场区域。且a 、b 在任意一个磁场区域或无磁场区域的运动时间均相等。求a 穿过第2个磁场区域过程中，两导体棒产生的总焦耳热Q 。

（3）对于第（2）问所述的运动情况，求a 穿出第k 个磁场区域时的速率v 。

思路点拨：这是一道电磁感应综合问题：（1）要分析a 、b 棒的运动情况必须重视a ，b 棒运动情况的联系，着眼系统运用守恒定律建立方程。（2）正确理解题设条件：a 、b 在任一个磁场区域和无磁场区域运动的时间均相等——必有a 进入磁场时的速度和b 在无磁场区域的末速度相等；b 进入无磁场区域的初速度与a 离开磁场时的末速度相同，可以表示为v b1=va2=v1；v b2=va1=v2。

解析：（1）a 和b 不受安培力作用，由机械能守恒知，

①

（2）设导体棒刚进入无磁场区域时的速度为v 1，刚离开无磁场区域时的速度为v 2，由能量守恒知，

对a 棒：在磁场区域中， ②

对b 棒：在无磁场区域中，

解得

④ ③

（3）在无磁场区域，根据匀变速直线运动规律

⑤

且平均速度

⑥

⑦ 有磁场区域，棒a 受到合力

感应电动势

⑧

感应电流

⑨

解得

根据牛顿第二定律，在t 到⑩ 时间内

⑾

则有

⑿

解得

⒀

联立⑤、⑥、⒀式解得

由题意知，

答案：（1

） （2

）

3

） （