相似三角形的概念.性质与判定
相似三角形
一.相似的图形
1、 相同, 不一定相同的图形叫相似图形。 2、下列各种图形相似的是( )
A、(1)、(3) B、(3)、(4) C、(1)、(2) D、(1)、(4) 3、下列说法正确的是( )
A、所有的等腰梯形都相似 B、所有的平行四边形都相似
C、有一个角是30的等腰三角形相似 D、所有的等边三角形都相似 4、⑴用眼睛看月亮和用望远镜看月亮,看到的图象是相似的图形;
⑵用彩笔在黑板上写上三个大字1、2、3,它们是相似图形; ⑶用粉笔在黑板上写上“天”和用毛笔在纸上写上“天”,这两个字是相似图形;
以上说法你认为哪些是正确的,哪些是错误的? 9、把下列图中左边的图形,加以放大1倍后画出与它们相似的图形.
二.相似图形的性质
(1)成比例线段。
1.若ab=cd,则有a∶d= ;若m∶x=n∶y, 则x∶y= .
2. 若a, x, b, y是比例线段,则比例式为 ;若a=1,x=-2, b=-2.5, 则y= . 3.判断下列线段是否成比例,若成,请写出比例式.
①a=3m, b=5m, c=4.5cm, d=7.5cm a=7cm,b=4cm, c=d=27cm ③a=1.1cm, b=2.2cm, c=3.3cm, d=5.5cm 4.若x∶(x+1)=7∶9,则x= ;若则
ab
abb
=
83
,则
ab
= .;若5a=3b,
7
5
= ,
3abab
= 。
11512
α5.已知A, B两地实距5Km,图距2cm,则比例尺是 ;若在此地图册上量得
A,C两地间距离是16cm,则A,C6.已知
ab
65
=
34
,
bc
=
35
,则a∶b∶c等于( )
A. 3∶4∶5 B.4∶3∶5 C.9∶12∶20 D. 9∶15∶20
7. 如图,两个五边形是相似形,则a ,c ,α= ,β= .
8. 已知
aba
=
23
,求
a4b3ab
的值.
9. 已知a,b,c为△ABC的三边长,且△ABC的周长是60cm,
a3
=
b4
=
c5
, 求a,b,c的长.
三.相似三角形
相似三角形的性质:
a、相似三角形 相等。 b、相似三角形 成比例。
c、相似三角形的周长之比等于 ; d、相似三角形的面积之比等于 。
e、相似三角形的对应高线、中线、角平分线之比等于 。
1. 已知△ABC∽△DEF,AB=21cm,DE=28cm,则△ABC和△DEF的相似比为 2. 若两个三角形的形似比为1,则这两个三角形3. △ABC的三边之比为3:5:6,与其相似的△DEF的最长边是24cm,那么它的最短边长是 ,周
长 是 。 4.已知△ABC∽△DEF且AB=3,AC=4,DE=2,求(1)△ABC与△DEF的相似比k。(2)AF的长.
相似三角形的判定
1、相似三角形的判定方法:
a、 定义:对应角相等,对应边成比例的两个三角形相似
b、预备定理:平行于三角形一边的直线和其他两边相交,所构成的三角形与原三角形相似。 C、 对应相等的两个三角形相似。
D、两边 ,且 相等的两个三角形相似。 E、三边 ,两个三角形相似。
1.下列图形不一定相似的是( )
A 两个等边三角形 B 各有一个角是110°的两个等腰三角形 C 两个等腰直角三角形 D各有一个角是45°的两个等腰三角形 2、如图①:AD⊥BC,∠BAC=90°,那么△ABC∽ ∽
3、如图②,BE、CD相交于点O,CB、ED的延长线相交于点A,且∠C=∠E,图中相似三角形有 对,它们是
4、如图③,AC⊥BC,∠ADC=90°,∠1=∠B,若AC=5,AB=6
A
AA
BD
BDD
② E① C ③
5、如图④,∠ABD=∠C,AB=5,AD=3.5,则AC=( ) A
750
B
507
C
203
D
320
B
6.如图,若∠ADE= 或∠C= 时,△ADE∽△ABC;若AD
AB
时,
C
D
△ADE∽△ABC,理由是 .
④
A
7.下列条件中,判断△ABC与△A´B´C´是否相似?并说明理由.
⑴∠C=∠C´=90°,∠B=∠B´=50°.( )理由 . ⑵AB=AC,A´B´=A´C´,∠B=∠B´. ( )理由 . ⑶∠B=∠B´,⑷∠A=∠A´,
ABAB
ABAB
'
'
''
BCBC
BC
'
'
. ( )理由 .
. ( )理由 .
'
BC
'
8.如图,要使△AEF∽△ACB,已具备的条件是 ,还需补充的条件是 或 或 .
9.如图,B、C在△ADE的边AD、AE上,且AC=6,AB=5,EC=4,DB=7,则BC:DE= .
10、如图①,在△ABC中,DE∥BC,且S△ABC:S四边形BCED=1:2,BC=26,则DE的长为 .
B
AD
AEB
FE
B
A
D
D
E 第6 题 第8题 第9题 第10题 11、△ABC和△A′B′C′中,AB=8cm,BC=6cm,CA=5cm,A′B′=6cm,B′C′=4.5cm,C′A′=3.75cm,则△ABC和△A′B′C′相似吗? ,理由是 .
12、如果两个相似三角形的相似比是1:2,那么它们的周长比是( ),高之比是( ),面积比是( )
A、 1:2
B、2:4
C、1:4
D、2:1
13、如图:已知△ABC与△ADE的边BC、AD相交于点O,且∠1=∠2=∠3。
求证:(1)△ABO∽△CDO;(2)△ABC∽△ADE
14.如图,AD、BC交于点O,BA、DC的延长线交于点P, PA·PB=PC·PD. 试说明:①△PBC∽△PDA;②△AOB∽△COD.
15.如图,D、E分别为AB、AC边上两点,且AD=5,BD=3,AE=4,CE=6. 试说明:①△ADE∽△ACB
A
B
2
O
3
C
D
E
AB
A
DB
16.已知△ABC∽△A′B′C′,对应高AD和A′D′的长分别为3cm和4cm,S△ABC+S△A′B′C′=75cm,
2
求S△ABC和S△A′B′C′
17、如图,在△ABC中,AB=8cm,AC=16cm,点P从点A开始沿AB边向 B点以2cm/s的速度移动,点Q从点B开始沿BC边向点C以4cm/s的 速度移动,如果P、Q分别从A、B同时出发,经几秒钟△PBQ与 △ABC相似?
PA
B
Q
(3)中位线
1、DE、EF、FD是 △ABC的三条中位线,若AB=2cm,BC=4cm,CA=6cm,则DE= cm,EF=
G
cm,FD= 。
A
2.三角形周长为64,则它的三条中位线组成的三角形周长是 cm。
3.已知图中AC∥EF∥GH.AB、CD交于O,AO=OF=FH =AC=2.5cm,则4、如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,MN是它的中位线。 (1)若AD=3,BC=5,则 MN= ______; (2)若AD=a,MN=7,则BC= ______;
(3)若BC=12,MN=b,则AD= _______; 第4题
5.梯形中位线长是24cm,上、下底之比是1:3。 6、已知梯形的面积是12cm2,底边上的高线长是4cm,则该梯形中位线长是_____cm. 7. 已知三角形三边之比为3:4:5,且周长为60cm,连结三边中点,求所得三角形各边长。
四、画相似图形
将△ABC作下列变化,请画出相应的图形,并指出三个顶点的坐标 所发生的变化。
(1)向上平移4个单位;
(2)关于y轴对称(画图后写出每一个对应点的坐标); (3)以A点为位似中心,相似比为2。
练习:
1、下面两个三角形相似吗?为什么?
C
A
(3) (4)
2、如图判断4×4方格中的两个三角形是否相似,并说明理由.
3.如图,P是△ABC中AB边上的一点,要使△ACP∽△ABC需添加一个条件为___________ .
4、已知, △ABC∽△DEF,相似比为2,那么他们的周长之比为 ,面积之比为 .
5、如图, 在△ABC中,AB=5,AC=4,E是AB上一点,AE=2, 在AC上取一点F,使以A、E、F为顶点的三角形与 △ABC相似,那么AF=________. 6、若△ABC∽△A′B′C′,且
D
B
E
F
(1)DE ∥BC (2)
ABAB
34
,△ABC的周长为12cm,则△A′B′C′的周长为 ;
7、如图1,在△ABC中,中线BE、CD相交于点G,则
DEBC
= ;S△GED:S△GBC= ;
8、如图2,在△ABC中, ∠B=∠AED,AB=5,AD=3,CE=6,则AE= ; D
D 图1
E C
E
C
M C C
E G
图3 C 图2 图4 图5
5、如图3,△ABC中,M是AB的中点,N在BC上,BC=2AB,∠BMN=∠C,则△ ∽△ ,相似比
为 ,
BNNC
= ;
6、如图4,在梯形ABCD中,AD∥BC,S△ADE:S△BCE=4:9,则S△ABD:S△ABC= ;
7、两个相似三角形的周长分别为5cm和16cm,则它们的对应角的平分线的比为 ;
8、如图5,在△ABC中,BC=12cm,点D、F是AB的三等分点,点E、G是AC的三等分点,则DE+FG+BC= ; 9、已知,如图,在△ABC中,∠C=600,AD⊥BC于D,BE⊥AC于E,试说明△CDE∽△CBA。
10、如图,一块三角形的铁皮,BC边为4厘米,BC边上的高AD为3厘米,要将它加工成一块 矩形铁皮,使矩形的一边FG在BC上,其余两个顶点E,H分别在AB,AC上,且矩形的面积是三角形面积的一半,求这个矩形的长和宽各是多少?
D
E C
练习:
题组一:
1、如图1,已知AD与VC相交于点O,AB//CD,如果∠B=40°,∠D=30°,则∠AOC的大小为( )
A.60° B.70° C.80° D.120°
D B
(图2)
图1
C
2、(2008湘潭市) 如图2,已知D、E分别是ABC的AB、 AC边上的点,DEBC,且SADES四边形DBCE1 那么AE:AC等于( ) A.1 : 9 B.1 : 3 C.1 : 8 D.1 3.如图3,△DEF是由△ABC经过位似变换得到的,点O是位似中心,D,E,FOA,OB,OC的中点,则△DEF与△ABC的面积比是( )
A.1:6 B.1:5 C.1:4 D.1:2
图
3
4、给出两个命题:①两个锐角之和不一定是钝角;②各边对应成比例的两个多边形一定相似.( )
A.①真②真
12
B
C
B.①假②真
2
C.①真②假
2
D.①假②假
3
5、如图5所示,Rt△ABC∽Rt△DEF,则cosE的值等于( )
A.
B.
B
60
C
D
E
图5
6、如图是小明设计用手电来测量某古城墙高度的示意图,点P处放一水平的平面镜,光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到古城墙CD的顶端C处,已知AB⊥BD,CD⊥BD,且测得AB=1.2米,BP=1.8米,PD=12米, 那么该古城墙的高度是( )
A、6米 B、8米 C、18米 D、24米
7、如图,在ABC中,D、E分别是AB、AC边的中点,若 A.5 B.4 C.3 D.2
8、如果两个相似三角形的相似比是1:3,那么这两个三角形面积的比是 .
9、如图,D,E两点分别在△ABC的边AB,AC上,DE与BC不平行,当满足
条件(写出一个即可) 时,△ADE∽△ACB.
B10、 如图10,平行四边形ABCD中,E是边BC上的点,AE交BD于点F,如果
BE2
BF
,那么 BC3F
D
题组二:
E
1、如果两个相似三角形的相似比是1:2,那么它们的面积比是( )
图10
BC6,则DE等于 ( )
B
C
A
D
A.1:2 B.1:4 C.1: D.2:1
的周长为( )
B
C
EF2、已知△ABC∽△DEF,相似比为3,且△ABC的周长为18,则△D
A.2 B.3 C.6 D.54
3、如图,在△ABC中,若DE∥BC,
ADDB
=
12
,DE=4cm,则BC的长为( )
A.8cm B.12cm C.11cm D.10cm 4、下列四个三角形,与左图中的三角形相似的是( )
(第4题)
A. B. C. D.
5、若△ABC∽△DEF,△ABC与△DEF的相似比为2︰3,则S△ABC︰S△DEF为( )
A、2∶3 B、4∶9 C、2∶3 D、3∶2
6、在比例尺为1︰2000的地图上测得AB两地间的图上距离为5cm,则AB两地间的实际距离为 m.
7、两个相似三角形周长的比为2:3,则其对应的面积比为___________.
8两个相似三角形的面积比S1:S2与它们对应高之比h1:h2之间的关系为 . 9、 如图,D、E分别是△ABC的边AB、AC上的点,则使△AED∽△ABC的
条件是 . 10、在Rt△ABC中,∠C为直角,CD⊥AB于点D,BC=3,AB=5,写出其中的一对相似三角形是 和 ;并写出它的面积比 .
B
C
B
11、如图11,直角梯形ABCD中,∠BCD=90°,AD∥BC,BC=CD,E为梯形内一点,且∠
BEC=90°,将△BEC绕C点旋转90°使BC与DC重合,得到△DCF,连EF交CD于M.已知BC=5,CF=3,则DM:MC的值为 ( )
A.5:3 B.3:5 C.4:3 D.3:4
三.解答题:
1、如图5,在△ABC中,BC>AC, 点D在BC上,且DC=AC,∠ACB的平分线CF交AD于
F,点E是AB的中点,连结EF. (1)求证:EF∥BC.
(2)若四边形BDFE的面积为6,求△ABD的面积.
2、如图,在ABC中,BAC2C。 (1)在图中作出ABC的内角平分线AD。(要求:尺规作图,保留作图痕迹,不写证明)
(2)在已作出的图形中,写出一对相似三角形,并说明理由。
F
图11
B