三角形章节知识点总结

命题与证明知识点梳理

（1）定义、命题、定理、公理的有关概念

三角形知识点梳理

⒈ 三角形的定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形.

三角形有三条边，三个内角，三个顶点.组成三角形的线段叫做三角形的边; 相邻两边所组成的角叫做三角形的内角;

相邻两边的公共端点是三角形的顶点， 三角形ABC用符号表示为ABC，三角形ABC的边AB可用边AB所对的角C的小写字母c 表示，AC可用b表示，BC可用a表示.

注意：（1）三条线段要不在同一直线上，且首尾顺次相接； （2）三角形是一个封闭的图形；

（3）ABC是三角形ABC的符号标记，单独的

没有意义。

_ B

_ C

⒉ 三角形的分类： (1)按边分类： (2)按角分类：

底边和腰不相等的等腰三角形

等腰三角形

三角形 等边三角形

直角三象形

不等边三角形

三角形

锐角三角形

斜三角形

钝角三角形

⒊ 三角形的主要线段的定义： （1）三角形的中线

三角形中，连结一个顶点和它对边中点的线段． 表示法：1.AD是ABC的BC上的中线.

2.BD=DC=

A

1BC. 2

BDC

注意：①三角形的中线是线段；

②三角形三条中线全在三角形的内部； ③三角形三条中线交于三角形内部一点； ④中线把三角形分成两个面积相等的三角形．

（2）三角形的角平分线

三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角顶点与交点之间的线段 表示法：1.AD是ABC的∠BAC的平分线.

2.∠1=∠2=

A

1

∠BAC. 2

B

D

注意：①三角形的角平分线是线段；

②三角形三条角平分线全在三角形的内部； ③三角形三条角平分线交于三角形内部一点；

④用量角器画三角形的角平分线． （3）三角形的高

从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段． 表示法：1.AD是ABC的BC上的高线.

2.AD⊥BC于D. 3.∠ADB=∠ADC=90°. 注意：①三角形的高是线段；

②锐角三角形三条高全在三角形的内部，直角三角形有两条高是边，钝角三角形有两条高在形外；

③三角形三条高所在直线交于一点．

C

A

BDC

⒋ 三角形的主要线段的表示法： （1）三角形的角平分线的表示法：

如图1，根据具体情况使用以下任意一种方式表示：

① AD是ABC的角平分线； ② AD平分BAC，交BC于D；

1

③ 如果AD是ABC的角平分线，那么BAD=DAC=BAC.

2(2)三角形的中线表示法：

如图1，根据具体情况使用以下任意一种方式表示： ①AE是ABC的中线；

②AE是ABC中BC边上的中线；

③如果AE是ABC的中线，那么BE=EC=

1

BC. 2

A

E D 图1

B

(3)三角线的高的表示法：

如图2，根据具体情况，使用以下任意一种方式表示：

① AM是ABC的高；

② AM是ABC中BC边上的高；

③ 如果AM是ABC中BC边上高，那么AMBC，垂足是E； ④ 如果AM是ABC中BC边上的高，那么AMB=AMC=90. ⒌ 在画三角形的三条角平分线，三条中线，三条高时应注意：

(1)如图3，三角形三条角平分线交于一点，交点都在三角形内部. (2)如图4，三角形的三条中线交点一点，交点都在三角形内部

.

图2

图3 图4

如图5,6,7，三角形的三条高交于一点，锐角三角形的三条高的交点在三角形内部，钝角三角形的三条高的交点在三角形的外部，直角三角形的三条高的交点在直角三角形的直角顶点上

.

图5

图6

图7

⒍三角形的三边关系

三角形的任意两边之和大于第三边;任意两边之差小于第三边. 注意：（1）三边关系的依据是：两点之间线段是短；

（2）围成三角形的条件是任意两边之和大于第三边．

⒎ 三角形的角与角之间的关系： (1)三角形三个内角的和等于180;

(2)三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和； (3)三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角. (4)直角三角形的两个锐角互余. 三角形的内角和定理

定理：三角形的内角和等于180°． 推论：直角三角形的两个锐角互余。 推理过程： 一、作CM∥AB，则∠4=∠1，而∠2+∠3+∠4=1800，即∠A+∠B+∠ACB=1800． 二、作MN∥BC，则∠2=∠B，∠3=∠C，而∠1+∠2+∠3=1800， 即∠BAC+∠B+∠C=1800．

注意：（1）证明的思路很多，基本思想是组成平角．

（2）应用内角和定理可解决已知二个角求第三个角或已知三角关系求三个角． 三角形的外角的定义

三角形一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角. A注意：每个顶点处都有两个外角，但这两个外角是对顶角. 如:∠ACD、∠BCE都是ABC的外角，且∠ACD=∠BCE.

B 所以说一个三角形有六个外角，但我们每个一个顶点处

只选一个外角，这样三角形的外角就只有三个了. 三角形外角的性质

（1）三角形的一个外角等于它不相邻的两个内角之和．

（2）三角形的一个角大于与它不相邻的任何一个内角． 注意：（1）它不相邻的内角不容忽视；

B

A

M

1C

（2）作CM∥AB由于B、C、D共线 ∴∠A=∠1，∠B=∠2. 即∠ACD=∠1+∠2=∠A+∠B. 那么∠ACD>∠A.∠ACD>∠B. 8．三角形的稳定性：

三角形的三边长确定，则三角形的形状就唯一确定，这叫做三角形的稳定性． 注意：（1）三角形具有稳定性；

（2）四边形没有稳定性. 适当添加辅助线，寻找基本图形

(1)基本图形一，如图8，在ABC中，AB=AC，B,A,D成一条直线，则DAC=2B=2C或B=C=

1

DAC. 2

图8

(2)基本图形二，如图9，如果CO是AOB的角平分线，DE∥OB交OA,OC于D,E，那么DOE是等腰三角形，DO=DE.当几何问题的条件和结论中，或在推理过程中出现有角平分线，平行线，等腰三角形三个条件中的两个时，就应找出这个基本图形，并立即推证出第三个作为结论.即：角平分线+平行线→等腰三角形.

图9

基本图形三，如图10，如果BD是ABC的角平分线，M是AB上一点，MNBD，且与BP,BC相交于P,N.那么BM=BN，即BMN是等腰三角形，且MP=NP，即：角平分线+垂线→等腰三角形.

当几何证题中出现角平分线和向角平分线所作垂线时，就应找出这个基本图形，如等腰三角形不完整就应将基本图形补完整，如图11，图12.

图11

线段的垂直平分线知识点梳理

（1）定义:经过线段的中点且与线段垂直的直线，叫做线段的垂直平分线。

如图1， ∵CA=CB，

直线m⊥AB于C， A∴直线m是线段AB的垂直平分线。

（2）性质:

（3）如图2，∵CA=CB，

直线m⊥AB于C， 点P是直线m上的点。 ∴PA=PB 。 图2 （4）判定:

与线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上。 如图3，∵PA=PB，

直线m是线段AB的垂直平分线， ∴点P在直线m上 。

等腰三角形

1. 有两条边相等的三角形叫做等腰三角形；三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形。 2. 等腰三角形的性质：

（1）等腰三角形的两个底角相等；

（2）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合。 3. 等腰三角形的判定：

如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等。 4. 等边三角形的性质：

等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°。 5. 等边三角形的判定：

（1）三个角都相等的三角形是等边三角形；

（2）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。 6. 含30°角的直角三角形的性质：

在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。

等边三角形

（1）等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫等边三角形. （2）等边三角形的性质：

①等边三角形的三个角都相等，并且每个角都是60°； ②等边三角形具有等腰三角形的所有性质，并且每一条边上都有三线合一，因此等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；而等腰三角形只有一条对称轴. （3）等边三角形的判定

①三条边都相等的三角形是等边三角形； ②有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形； ③有两个角都等于60°的三角形是等边三角形；

④三个角都相等的三角形是等边三角形. 图3

（4）两个重要结论

①在直角三角形中，如果一个锐角是30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半. ②在直角三角形中，如果一条直角边是斜边的一半，那么它所对的锐角等于30°.

两个重要结论的数学解释：

已知：如图4，在△ABC中，∠C＝90°，则： ①如果AB＝2BC，那么∠A＝30°； ②如果∠A＝30°，那么AB＝2BC.

直角三角形

1. 认识直角三角形。学会用符号和字母表示直角三角形。 按照角的度数对三角形进行分类：如果三角形中有一个角是直角，那么这个三角形叫直角三角形。通常用符号“Rt△”表示“直角三角形”，其中直角所对的边称为直角三角形的斜边，构成直角的两边称为直角边。如果△ABC是直角三角形，习惯于把以C为顶点的角当成直角。用三角A、B、C对应的小写字母a、b、c分别表示三个角的对边。

如果AB＝AC且∠A＝90°，显然这个三角形既是等腰三角形，又是直角三角形，我们称之为等腰直角三角形。

2. 掌握“直角三角形两个锐角互余”的性质。会运用这一性质进行直角三角形中的角度计算以及简单说理。

3. 会用“两个锐角互余的三角形是直角三角形”这个判定方法判定直角三角形。

4. 掌握“直角三角形斜边上中线等于斜边的一半”性质。能通过操作探索出这一性质并能灵活应用。

5在直角三角形中如果一个锐角是30°，则它所对的直角边等于斜边的一半”。 难点：

1在直角三角形中如何正确添加辅助线 通常有两种辅助线：斜边上的高线和斜边上的中线。

勾股定理及逆定理 一、勾股定理及其证明

勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.

三、勾股定理的逆定理

222

如果三角形的三边长a、b、c满足abc那么这个三角形是直角三角形.

1．勾股定理的逆定理的证明是构造一个直角三角形，然后通过证全等完成；

2．勾股定理的逆定理实质是直角三角形的判定之一，与以前学的判定方法不同，它是用代数运算来证明几何问题，这是数形结合思想的最好体现，今后我们会经常用到. 利用勾股定理的逆定理判别直角三角形的一般步骤： 1．先找出最大边（如c）；

222

2．计算c与ab，并验证是否相等. 222

若cab，则△ABC是直角三角形. 222

若cab，则△ABC不是直角三角形.

222222

注意：（1）△ABC中，若abc，则∠C=90°；而bca时，则∠A= 222

90°；acb时，则∠B=90°.

222

（2）若abc，则∠C为钝角，则△ABC为钝角三角形. 222

若abc，则∠C为锐角，但△ABC不一定为锐角三角形.

三、勾股数：能够成为直角三角形三条边长度的三个正整数称为勾股数（或勾股弦数），如3、4、5；6、8、10；5、12、13；8、15、17等.

各主要三角形类型之间的对比

全等三角形知识点梳理

一、知识网络

对应角相等

性质

对应边相等

边边边 SSS全等形全等三角形边角边 SAS判定

角边角 ASA

角角边 AAS



斜边、直角边 HL作图

角平分线

性质与判定定理

二、基础知识梳理 （一）、基本概念

应用

1、“全等”的理解 全等的图形必须满足：（1）形状相同的图形；（2）大小相等的图形；

即能够完全重合的两个图形叫全等形。同样我们把能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。

全等三角形定义 ：能够完全重合的两个三角形称为全等三角形。（注：全等三角形是相似三角形中的特殊情况）

当两个三角形完全重合时，互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角。

由此，可以得出：全等三角形的对应边相等，对应角相等。

(1)全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边； (2)全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角； (3)有公共边的，公共边一定是对应边； (4)有公共角的，角一定是对应角；

(5)有对顶角的，对顶角一定是对应角； 2、全等三角形的性质

（1）全等三角形对应边相等；（2）全等三角形对应角相等； 3、全等三角形的判定方法

（1）三边对应相等的两个三角形全等。

（2）两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。 （3）两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。 （4）两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。

（5）斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。 4、角平分线的性质及判定

性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等 判定：到一个角的两边距离相等的点在这个角平分线上 （二）灵活运用定理

1、判定两个三角形全等的定理中，必须具备三个条件，且至少要有一组边对应相等，因此在寻找全等的条件时，总是先寻找边相等的可能性。

2、要善于发现和利用隐含的等量元素，如公共角、公共边、对顶角等。 3、要善于灵活选择适当的方法判定两个三角形全等。 （1）已知条件中有两角对应相等，可找：

①夹边相等（ASA）②任一组等角的对边相等(AAS) （2）已知条件中有两边对应相等，可找

①夹角相等(SAS)②第三组边也相等(SSS) （3）已知条件中有一边一角对应相等，可找

①任一组角相等(AAS 或 ASA)②夹等角的另一组边相等(SAS)

经典例题

例1. 已知如图，在ΔABC中，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，求证：

AD⊥EF。

分析：欲证AD⊥EF，就要证∠AOE=∠

AOF=

∠EOF=90°。所以要考虑证ΔAEO≌ΔAFO。

由题中条件可知ΔAEO，ΔAFO已有一边（公共边）一角对应相等，只要证出AE=AF问题就解决了，所以需先证明ΔAED≌ΔAFD。 证明：∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB， DF⊥AC（已知）

∴ DE=DF（角平分线上的点到这个角的两边距离相等） 在RtΔAED和RtΔAFD中

∴RtΔAED≌RtΔAFD(HL), ∴AE=AF(全等三角形的对应边相等) 在ΔAEO和ΔAFO中

∴ΔAEO≌ΔAFO, ∴∠AOE=∠AOF (全等三角形对应角相等) ∴∠

AOE=

∠EOF=90°， ∴AD⊥EF（垂直定义）。

例2.写出下列定理的逆命题，并判断真假。 (1)同位角相等，两直线平行。

(2)如果x=3，那么x2=9.

(3)如果ΔABC是直角三角形，那么当每个内角取一个对应外角时，ΔABC的三个外角中只有两个钝角。

(4)如果ΔABC≌ΔA'B'C'，那么BC=B'C', AC=A'C', ∠ABC=∠A'B'C'。 解：(1)的逆命题是：两直线平行，同位角相等，真命题。 (2)的逆命题是：x2=9, 则x=3。它是一个假命题。 ∵(-3)2=9, ∴x=3或x=-3.

(3)的逆命题是：如果ΔABC的每个内角取一个对应外角时，若三个外角中只有两个钝角，那么ΔABC是直角三角形。

它是一个假命题，因为ΔABC还可能是钝角三角形。

(4)的逆命题：如果在ΔABC和ΔA'B'C'中，BC=B'C'，AC=A'C'，∠ABC=∠A'B'C'，那么ΔABC≌ΔA'B'C'。

这是一个假命题，因为有两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等。 例3.已知：如图，M，N分别在∠AOB的两边上，求作一点P，使点P到M，N两点的距离相等，且到∠AOB两边的距离相等。

作法：1、连结MN，作线段MN的垂直平分线CD。 2、作∠AOB的平分线OE，交CD于P，点P即为所求。

例4.在等腰直角三角形ABC中，已知AB=AC，∠B的平分线交AC于D。

求证：BC=AC+AD

分析：如图：BD为∠ABC的平分线，DA⊥AB，利用角平分线的性质，可以转化AD，方法是作DE垂直BC于E，则有AD=DE，容易得到DE=CE，AB=BE。 证明：过D作DE垂直BC于E， ∵BD为∠ABC的平分线，∠A=90° ∴AD=DE （角平分线的性质） 在RtΔABD和RtΔEBD中，

∴AB=EB

∵ΔABC为等腰直角三角形（已知），∴∠C=45°

DE垂直BC于E，∴∠DEC=90°，∴∠C=∠EDC=45°，∴DE=EC（等腰三角形的性质） ∴BC=BE+CE=AB+DE=AC+AD

说明：这种方法是利用角平分线的性质作DE⊥BC，实际上是在长的线段BC上，作出了BE=AB=AC，所以只要再证明AD=EC就可以证明结论。相应的，还可以将线段AB补长，方法如下。

方法二：如图，延长BA到M，使得AM=AD，连接DM。 证明提示：只要证明三角形BDM和三角形BDC全等即可。 （容易证明∠M=∠C=45°）

小结：主要内容是角平分线的性质定理和它的逆定理以及线段垂直平分

线的性质定理及其逆定理。能够利用它们证明两个角相等或两条线段相等；对于原命题和逆命题的关系，要能说出题设和结论都比较简单的命题的逆命题。

∴RtΔABD≌RtΔEBD（HL）

例5.如图，已知点C为线段AB上一点，和都是等边三角形，AN、BM相交于点O，AN、

CM交于点P，BM、CN交于点Q．

（1）求证：

的度数．

．（2）求

（3）求证：【分析】（1）欲证

．

，只需证明它所在的两个三角形全等．（2）

的度数可用

的外角来求，但要注意全等所得到

应该为一个等边三角形，可证明

（1）证明：

和

，

， 即

这一条件的使用．（3）要

≌

，从而得到

，则．

，

都是等边三角形，

，

，

．

在

和≌

中，

，

≌

，，

．

（2）由（1）知，

即

．

．

（3）在和中，

≌，

，

．

又 即

，

，

．

，

【点拨】（1）要证明线段相等（或角相等），找它们所在的三角形全等．

（2）本题的图形规律：共一个顶点的两个等边三角形构成的图形中，存在一对或多对绕公共点旋 转变换的三角形全等．

例6．如图，△ABE和△ADC是△ABC分别沿着AB，AC翻折180°形成的，若∠1∶∠2∶∠3

＝28∶5∶3，∠α的度数是_________.

（答案）∠α＝80°（解析）∵∠1∶∠2∶∠3＝28∶5∶3，设∠1＝28x，∠2＝5x，∠3＝3x，

∴28x＋5x＋3x＝36x＝180°，x＝5° 即∠1＝140°，∠2＝25°，∠3＝15°

∵△ABE和△ADC是△ABC分别沿着AB，AC翻折180°形成的， ∴△ABE≌△ADC≌△ABC ∴∠2＝∠ABE，∠3＝∠ACD

∴∠α＝∠EBC＋∠BCD＝2∠2＋2∠3＝50°＋30°＝80°

（点评）此题涉及到了三角形内角和，外角和定理，并且要运用全等三角形对应角相等的性质来解决问题.

见“比例”设未知数x是比较常用的解题思路.

例7.如图，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，BD＝CE，求证：∠BAD＝∠CAE. (答案与解析）

ABAC

证明：在△ABD和△ACE中，ADAE

BDCE

∴△ABD≌△ACE（SSS）∴∠BAD＝∠CAE（全等三角形对应角相等）.

(点评）把证明一对角或线段相等的问题，转化为证明它们所在的两个三角形全等，综合应用全等三角形的

判定和性质. 要证∠BAD＝∠CAE，先找出这两个角所在的三角形分别是△BDA和△CAE，然后证这两个三角形全等.

同步练习：

1、写出下列命题的逆命题，并判断真假。

（1）对顶角相等； （2）两直线平行，同位角相等。 （3）如果a=-b, 那么|a|=|b|。 （4）若a·b=0,则a=0. 2、在等腰ΔABC中，AB=AC，∠BAC=120°。AB的垂直平分线交BC于D，且DC=6厘米，则∠DAC=______, BC=______, 点D到AB的距离是______，点D到AC的距离为______。

3、等腰三角形底边长为5cm，一腰上的中线把其周长分为两部分的差为3cm，则腰长为（ ） A. 2cm

B. 8cm

C. 2cm或8cm



D. 以上都不对

4、如图，ABC是等边三角形，CBD90，BDBC，则1的度数是________。

C

B

D



5、ABC中，ABAC，A120，AB的中垂线交AB于D，交CA延长线于E，求证：

DE

1

BC2。

6、在ΔABC中，已知AB的垂直平分线交AC于E，ΔABC和ΔBEC的周长分别为24厘米和14厘米，求AB长。

7、如图，已知在等边三角形ABC中，D是AC的中点，E为BC延长线上一点，且CE＝CD，DM⊥BC，垂足为M。求证：M是BE的中点。

E

8、如图，已知：ABC中，AB的度数。

AC，D是BC上一点，且ADDB，DCCA，求BAC

B

A

D

C

9、已知：如图，ABC中，ABAC，CDAB于D。求证：BAC2DCB。

C

10、已知，如图，在四边形ABCD中，

AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，并且

1

AE＝2

（AB＋AD），求证：∠B＋∠D＝180°.

11、如图，将长方形ABCD沿AE折叠，使D点落在BC边上的F点处，如果BAF60，那么

DAE等于

12、判断满足下列条件的两个直角三角形是否全等，不全等的画“×”，全等的注明理由：

（1）一个锐角和这个角的对边对应相等；（ ） （2）一个锐角和斜边对应相等； （ ） （3）两直角边对应相等； （ ） （4）一条直角边和斜边对应相等． （ ）

13、如图，在△ABE中，AB

＝AE,AD＝AC,∠BAD＝∠EAC, BC、DE交于点O.求证：(1) △ABC≌△AED； (2) OB＝OE .

E