求数列通项的常用方法
求数列通项的几种方法
近年的高考中出现了给出数列的解析式(包括递推关系式和非递推关系式)求通项公式的问题. 对于这类问题学生感到困难较大. 本文以例子介绍这类问题求通项公式的初等方法和技巧,以供教学参考.
1、多式相加法
数列有形如a n+1=an +f(n)的解析式,而f (1)+f (2)+……+f (n ) 的和是可求的,可用多式相加法求得a n .
例1. 在数列{a n }中,a 1=-1,a n+1= an +2n ,求a n (n ≥2).
解:由条件,a 2=a 1+2×1, a 3=a 2+2×2……,a n = a n -1+n (n -1) ,以上n -1个式子相加化简得:a n =a1+n (n -1)=n 2-n -1.
2、多式相乘法
数列有形如a n =f (n )·a n -1的解析关系,而f (1)·f (2)……f (n ) 的积是可求的,可用多式相乘法求得a n .
例2.在数列{a n }中,a 1解:由条件a 2
=13
=1224, a n =
n -1n +1
35⋅a n -1(a
≥2),求a n .
46
⋅a 4 , a n =
n -1n +1
⋅a n -1,
⋅a 1, a 3=⋅a 2, a 4=⋅a 3, a 5=
这n -1个式子相乘化简得:
a n =
1
n (n +1)
.
3、待定系数法 数列有形如a n +1
求得a n .
例3.在数列{a n }中,a 1解:在a n +1
=3⋅a n -1
=1, a n +1=3⋅a n -1,
=k ⋅a n +b (k
、b 为常数)的线性递推关系,可用待定系数法
求a n .
+λ=3⋅a n -1+λ=3⋅(a n +
的两边同加待定数λ,得a n +1
, 得λ=-
12
. ∴a n +1-
12
(λ-1)/3),令λ比为3的等比数列,
=
(λ-1) 3
=3⋅(a n -
12
). 数列{a n -
12
是公
∴a n -
12
=
12
⋅3
n -1
, ∴a n =
12
(3
n -1
+1).
4、分解因式法
当数列的关系式较复杂,可考虑分解因式和约分化为较简形式,再用其它方法求得a n .
例4.已知
f (x ) =(x -1) , g (x ) =r ⋅(x -1) , (r ≠0, 1),
4
3
数列{a n }满足a 1
≥2).
=2, a n =1
(n ∈N ),且有条件(a n
解:由得:
-a n -1) ⋅g (n -1) +f (a n -1) =0, 求a n (n
(a n -a n -1) ⋅r ⋅(a n -1-1)
3
+(a n -1-1)
4
=0. 即(a n -1-1) [r (a n -a n -1) +(a n -1-1)]=0
3
对n ∈N ,a n
≠1, 故r (a n -a n -1) +(a n -1-1) =0. 合并同类项得
-1=
r -1r
(a n -1-1).
:a n =
1r
+
r -1r
⋅a n -1, 再
由待定系数法得:a n
∴a n
=1+(
r -1r
)
n -1
.
5、求差法 数列有形如
S n -S n -1=a n
f (S n , S n -1) =g (a n )
的关系(非递推关系),可考虑用求差
后,再用其它初等方法求得a n .
例5.设{a n }是正数组成的数列,其前n 项和为S n ,并且对于所有的自然数
n , a n
与2的等差中项等于S n 与2的等比中项:
(1)写出数列{a n }的前3项; (2)求数列{a n }的通项公式.
出题者的意图是:通过(1)问求出数列前3项再猜想出通项公式;(2)再用数学归纳法证明猜想正确. 实际上用求差法求通项公式更简单.
解:(1)略
(2)由条件,得
a n +22
=
2S n ,
即(a n
+2)
2
=8⋅S n ,
① ②
2
(a n -1+2)
2
=8⋅S n -1.
①-②得8a n 即(a n
-2)
2
=(a n +2) -(a n -1+2)
2
,
-(a n -1+2)
2
=0.
分解因式得(a n +a n -1)(a n -a n -1-4) =0.
对于n ∈N , a n >0,∴a n -a n -1=4.
∴{a n }是公差为4的等差数列,
a n =2+(4n -1) =4n -2.
6、倒数法 数列有形如
1a n
f (a n , a n -1, a n a n -1) =0
的关系,可在等式两边同乘以
1a n a n -1
,
先求出
, 再求得
a n .
例6.设数列{a n }满足a 1
=2, a n +1=
a n a n +3
(n ∈N ),
求a n .
解:原条件变形为
1a n
1a n +1
a n +1⋅a n +3⋅a n +1=a n .
两边同乘以
1a n ⋅a n +1
,
得
1+3⋅=
.
3∵(
1a n
+
12
) =
1a n +1
+
12
, ∴
1a n
+
12
=3
n -1
∴a n
=
22⨯3
n -1
-1
.
7、复合数列构成等差、等比数列法 数列有形如
f (a n +2,a n +1, a n ) =0
的关系,可把复合数列化为等差数列或等比
数列,再用其它初等方法求得a n .
例7.在数列{a n }中,a 1解:由条件a n +2∴a n +2
=2, a 2=3, a n +2=3⋅a n +1-2⋅a n , 求a n .
=3⋅a n +1-2⋅a n ,
-a n +1=2(a n +1-a n ),
2
n -2
∴a n +2
-a n +1=2
n -1
. 再用多式相加法可得:a n =a 2+
2(1-2
1-2
)
=2
n
-1.
8、循环法 数列有形如
f (a n +2,a n +1, a n ) =0
的关系,如果复合数列构不成等差、等比数
列,有时可考虑构成循环关系而求出a n .
例8.在数列{a n }中,a 1解:由条件a n +3即a n +3
=a
=1, a 2=5, a n +2=a n +1-a n , 求a 1998
.
,
n +2
-a
n +1
=(a
n +1
-a
n
) -a
n +1
=-a
n
=-a n , ∴a n +6=-a n +3=a n ,
即每间隔6项循环一次.1998=6×333, ∴a 1998
=a 6=-4.
9、开方法
对有些数列,可先求
a n 或3a n , 再求a n .
例9.有两个数列{a n },{b n },它们的每一项都是正整数,且对任意自然数n , a n 、
b n
、a n +1成等差数列,b n 、a n +1、b n +1成等比数列,a 1
解:由条件有:
由②式得:a n
a n +1=
=
b n -1⋅b n , ③
=1, a 2=3, b 1=2, 求a n 和b n .
2b n =a n +an+1, ①
a 2n+1=b n ·b n+1. ②
b n ⋅b n +1. ④
把③、④代入①得:2b n 变形得
b n (b n -
=
b n -1⋅b n +b n ⋅b n +1
,
b n -1) =b (b n +1-n b n
).
∵b n >0,∴∴
b n
b n
-
b n -1=b n +1-b n
.
是等差数列. 因a 1
92
=1, a 2=3, b 1=2,
故b 2=
, 故
b 2-b 1=
92
-2=2,
∴
b n =n
2, b n =2n , 故a n =
2b n b n +1=2n (n -1).