原子物理 杨福家 第三章 答案
3-1
电子的能量分别为10eV ，100 eV ，1000 eV 时，试计算相应的德布罗意波长。
解：依计算电子能量和电子波长对应的公式 λ=
1. 226E 1.226nm
nm =0
. 388nm
λ=
λ3=
1.226 λ2=
1.226nm =0.1226nm
nm =0.0388nm
3-2 设光子和电子的波长均为0.4nm ，试问：（1）光子的动量与电子的动量之比是多少？
（2）光子的动能与电子的动能之比是多少？
解：（1）由λ=1
（2）由 光子动能与波长的对应的关系 λ光子=
1.24E 光子(KeV )
nm
h p
可知 光子的动量等于电子的动量，即p 光子:p电子=1：
电子动能与波长的关系 λ电子=
E 电子=(
1.226λ电子
) nm
1.226E 电子
nm
则知
E 光子E 电子
=
1.24⨯10⨯0. 4
1.226
2
3
=329. 96
第三章3题解
3-3 若一个电子的动能等于它的静止能量，试求：(1)该电子的速度为多大?(2)其相应的德布罗意波长是多少?
解： （1）依题意，相对论给出的运动物体的动能表达式是：
E k =m c (
11-
v c
-1) =m c
所以
(
1-
v c
22
-1) =1
v =
3
4
（2） 根据电子波长的计算公式：
c ≈0.866c
511⨯10eV
3-4 把热中子窄束射到晶体上，由布喇格衍射图样可以求得热中子的能量．若晶体的两相邻布喇格面间距为0．18nm ，一级布喇格掠射角(入射束与布喇格面之间的夹角) 为30°，s 试求这些热中子的能量．
第三章 练习5,6
3-5 电子显微镜中所用加速电压一般都很高，电子被加速后的速度很大，因而必须考虑相对论修正．试证明：电子的德布罗意波长与加速电压的关系应为：
E k (eV )
3
λ=
1.226nm
=
1.226nm
=0.001715nm
λ=
1. 226V r
nm
式中Vr =V (1+0．978×10-6) ，称为相对论修正电压，其中电子加速电压V 的单位是伏特．
3-6 (1)试证明：一个粒子的康普顿波长与其德布罗意波长之比等于
⎛E ⎫
⎪
E ⎪-1 ⎝⎭
式中E o 和E 分别是粒子的静止能量和运动粒子的总能量．(康普顿波长λ
c =h /mc , m 为粒子静止质量，其意义在第六章中讨论)
(2)当电子的动能为何值时，它的德布罗意波长等于它的康普顿波长?
第三章7,8题参考答案
3-7 3-7 一原子的激发态发射波长为600nm 的光谱线，测得波
长的精度为
解： E
=h ν=h ∆t ∆E ≥
∆t ≥
2∆E
=
∆λλ
=10
-
，试问该原子态的寿命为多长?
∆λλ
c λ
∆E =hc
2
=
λ
λ=
600⨯10
-
λ⋅λ2hc ∆λ
⨯10
4πc ∆λ4⨯3. 14⨯3⨯10
=1. 6⨯10
-
s
3-8 一个电子被禁闭在线度为10fm 的区域中，这正是原子核线度的数量级，试计算它的最小动能． 解： ∆x ∆p x ≥
2
粒子被束缚在线度为r 的范围内，即Δx = r
2∆x
那么粒子的动量必定有一个不确定度，它至少为：∆p x ≥∵ ∆p x =∴ (∆p x )
[(p x -x ) ] x =0
平均
=
13
(p ) 平均
8mr
⎧|x ||y ||z |⎫
ψ=N exp --⎨-⎬，试求：(1)归一化常3-9 已知粒子波函数
2a 2b 2c ⎩⎭
∴ 电子的最小平均动能为 E
k =
3
=2. 848⨯10eV
数N ；(2)粒子的x 坐标在0到a 之间的几率；(3)粒子的y 坐标和z 坐标分别在
-b →+b 和-c →+c. 之间的几率．
3-10 若一个体系由一个质子和一个电子组成，设它的归一化空间波函数为ψ(x 1，y 1，z 1；x 2，y 2，z 2) ，其中足标1，2分别代表质子和电子，试写出： (1)在同一时刻发现质子处于(1，0，0) 处，电子处于(0，1，1) 处的几率密度；
(2)发现电子处于(0，0，0) ，而不管质子在何处的几率密度；
(3)发现两粒子都处于半径为1、中心在坐标原点的球内的几率大小
第三章习题11,12
3-11 对于在阱宽为a 的一维无限深阱中运动的粒子，计算在任意本征态ψ中的平均值及(x -) ，并证明：当n →∞时，上述结果与经典结果相一致． 3-12 求氢原子1s 态和2P 态径向电荷密度的最大位置．
n
3-13
设氢原子处在波函数为ψ(r , θ, ϕ) =尔半径，试求势能
U (r
) =-
14πε
e r
1
-
r a
e
⋅a
的基态，a 1为第一玻
的平均值．
3-14 证明下列对易关系：
[y , p ]=i
[x , p y ]=0
[x , L x ]=0
[x , L y ]=i z
[p x , L x ]=0
[p x , L y ]=i P z