关于解决足球生产计划安排问题的数学模型
关于解决足球生产计划安排问题的数学模型
摘要：
本文讨论了在生产量、库存量、预计需求量条件下，基于单位生产成本和持有成本给定基础上确保其生产成本和储存成本最低情况下的生产计划安排问题。针对问题一：要求在已知条件下确定使生产总成本和储存成本最低的生产计划，本文按照线性规划的方法得出目标函数和约束条件并依据LinDo 软件计算得出最优解。针对问题二、三：在问题一的计算基础上得到了准确详尽的数据，并将其展示在表格中，依据表格数据我们进行了认真分析最终得出正确合理的生产计划。总之本文将生产总成本和储存成本最低给出了详细的线性规划说明，建立符合实际情况的数学模型，并运用了LinDo 软件这一强大的运算系统和数值分析从而最终给出了最优的项目解决方案。此外，本模型还同样适用于同类型如资源分配、货物存储、水库调用等问题，具有很好的实用性，值得推广。
关键词：线性规划 最优解 LinDo 表格分析法
1. 问题重述
某皮革公司生产足球，它必须确定每个月生产多少足球。该公司决定以6个月为一个规划周期；根据市场调查，得到今后六个月预计需求量，并预测出今后六个月单位生产成本。它目前的存货是5,000，该公司可以用该月的生产量来满足该月的需求量（公司有一整个月的时间来生产，而需求则在月底发生）；该公司每个月最大产量是30,000个足球，扣掉需求后，月底的库存量最多只能储存5000个足球。而每一个足球在每个月中的持有成本是该月生产成本的5%。（这个成本包含了库存的成本和将货物搁置在仓库的成本。）而足球的销售金额和这次的生产决策无关，因此该公司希望确定使生产总成本和储存成本最低的生产计划。(相关数值详见附表一）
问题一：建立数学模型，在按时满足需求量的条件下，制定生产总成本和储存成本最小化的生产计划；
问题二：若储存成本率降低，生产计划如何变化；
问题三：计算在储存容量达到极限的情况下的储存成本率。
2. 模型分析
问题一：在满足每个月月底库存量只能储存5000个足球，且不超过每个月最大产量的条件下，根据附表一所给的数据，要计算出生产成本和储存成本最小情况下的生产计划安排。可以将其转化成求最优解问题，从而得到答案。
问题二：要分析储存成本率降低的情况下生产计划的变化，应计算出：储存成本率降低过程中，各储存成本率所对应的生产安排计划和总成本（可根据问题一所建立模型得到数据）。分析结果，得出结论。
问题三：因为储存容量=各月份储存容量之和，而在问题二中，可得到储存成本变化时其对应当月储存量，分析数据，即可得到储存容量达到极限时的储存成本率。
3. 符号说明
x i 1 (i =1,2,...,6) 当月生产量
单位/个
x i 2 (i =1,2,...,5) 下月库存量 单位/个
P 1 生产总成本 单位/元
P 2 储存总成本
P 总成本
单位/元 单位/元
u 储存成本率
C 储存容量 单位/元
4．模型假设
1. 假设每个月有且只有30天；
2. 假设该公司每天连续生产，无意外情况发生； 3. 生产计划不受单位生产成本变化的影响。 4. 公司的产品生产量能够满足市场需求； 5. 产品销售金额和生产决策无关；
6. 应优先用该月的库存量来满足市场需求。
5. 模型建立
根据经验，总成本=生产总成本+储存总成本，即： P =P 1+P 2
结合附表一中的数据可得：
P 1=12.5x 11+12.55x 21+12.7x 3112.8x 41+12.85x 51+12.95x 61
P 2=0.625⨯5000+0.6275x 12+0.635x 22+0.64x 32+0.6425x 42+0.6475x 52 整理可得: 目标函数：
P =12.5x 11+12.55x 21+12.7x 3112.8x 41+12.85x 51+12.95x 61+3125+0.6275x 12+0.635x 22+0.64x 32+0.6425x 42+0.6475x 52
约束条件：
整理可得： 目标函数：
0≤x 11, x 21,..., x 61≤300000≤x 12, x 22,..., x 52≤5000x 11+5000-x 12=10000x 21+x 12-x 22=15000x 31+x 22-x 32=30000x 41+x 32-x 42=35000x 51+x 42-x 52=25000x 61+x 52=10000x 11+5000≥10000x 21+x 12≥15000x 31+x 22≥30000x 41+x 32≥35000x 51+x 42≥25000x 61+x 52≥10000
min p =12.5x 11+12.55x 21+12.7x 3112.8x 41+12.85x 51+12.95x 61+3125+0.6275x 12+0.635x 22+0.64x 32+0.6425x 42+0.6475x 52
约束条件： 0≤x 11, x 21,..., x 61≤30000
0≤x 12, x 22,..., x 52≤5000
x 11-x 12=5000
x 21+x 12-x 22=15000
x 31+x 22-x 32=30000 x 41+x 32-x 42=35000
x 51+x 42-x 52=25000
x 61+x 52=10000
x 11≥5000
x 21+x 12≥15000
x 31+x 22≥30000 x 41+x 32≥35000
x 51+x 42≥25000
x 61+x 52≥10000
对于储存容量，可以将其线性化，有：
储存容量=各月份库存量之和
即C =5000+
∑x
i =1
5
i 2
6. 模型求解和模型检验
问题一：
利用LinDo 软件计算可得： min P=1538750
x 11=5000, x 21=20000, x 31=30000, x 41=30000, x 51=25000, x 61=10000x 12=0, x 22=5000, x 32=5000, x 42=0, x 52=0
即当这六个月的生产量依次为：5000、20000、30000、30000、25000、10000时，有生产成本和储存成本最低。
问题二：
依次计算出储存成本率为5%、4%、3%、2%、1%、0%的总成本和其生产计划，详见表一。分析数据可得，储存成本率在5%-1%之间变化时，生产计划没有发生变化，仅有总成本依次降低。而在1%-0之间变化时，生产计划发生变化，总成本继续降低。
因此，对1%-0之间作进一步的计算，具体数据仍见表一。数据分析可得，在1%-0.8%其生产计划不发生变化并且和5%-1%的生产计划保持一致，
而0.7%-0其生产计划发生改变且与0.7%的生产计划保持一致。
表一
储存率与月生产量的关系
储存率u x11 x21 x31 x41 x51 x61 总成本P(元) 0.05 5000 20000 30000 30000 25000 10000 1538750 0.04 5000 20000 30000 30000 25000 10000 1537475 0.03 5000 20000 30000 30000 25000 10000 1536200 0.02 5000 20000 30000 30000 25000 10000 1534925 0.01 5000 20000 30000 30000 25000 10000 1533650 0.009 5000 20000 30000 30000 25000 10000 1533523 0.008 5000 20000 30000 30000 25000 10000 1533395 0.007 5000 20000 30000 30000 30000 5000 1533221 0.006 5000 20000 30000 30000 30000 5000 1533029 0.005 5000 20000 30000 30000 30000 5000 1532836 0.004 5000 20000 30000 30000 30000 5000 1532644 0.003 5000 20000 30000 30000 30000 5000 1532452 0.002 5000 20000 30000 30000 30000 5000 1532259 0.001 5000 20000 30000 30000 30000 5000 1532067 0 5000 20000 30000 30000 30000 5000 1531875
问题三：
在问题二中还可得到储存成本率和储存容量的关系，具体数据详见表二。 分析表二，可得：在储存成本率在5%-0.8%之间变化时，储存容量均为15000不发生改变；而在0.7%-0间变化时，其存储容量均为20000，达到极限。而由表一中数据得到储存成本率与储存成本的关系图，见图一、二，有图一、二分析可知总成本随着储存成本率的降低而降低。因此，在储存容量达到极限20000，储存成本率为0时，有最低总成本1531875。
图一 储存成本率在1%-5%区间内的变化与储存成本关系
图二 储存成本率在0-1%区间内的变化与储存成本关系
表二 储存率与储存容量的关系
7. 模型应用
随着现代化工业的迅速发展，在商业竞争越来越激烈的情况下，生产厂家制定一个合理可行的生产计划安排愈来愈重要。本文针对这类问题，建立了的这个比较完善的数学模型，可以很好得出生产厂家制定生产计划的重要参考数据，从而使其生产成本降低，得到最大获利，增强市场竞争力。此外，本模型还同样适用于同类型如资源分配、货物存储、水库调用等问题，具有很好的实用性，值得推广。
8. 模型评价
本文在解决问题一时采用了线性规划分析方法建立数学模型，利用LinDo 软件计算得到最优解，结果准确、真实、可信。并且在处理问题二和三时，间接验证了所建模型的准确性。而且在此过程中，利用表格分析法，有效地得出储存成本率与生产计划安排和总成本之间的变化关系，从而很好的解决了问题二、三。但是，在计算问题二、三时，只是取了相关的点，不连续，精度不够，若对其精度进行进一步修改的话，可得到更加准确的分析结果。
9. 参考文献
【1】 阮晓青 周义仓，数学建模引论，北京：高等教育出版社，2005年。
【2】 谢金星 薛毅，优化建模Lindo/Lingo软件，北京：清华大学出版社，2005年。
【3】 张志涌 杨祖樱，Matlab 教程R2011a ，北京：北京航空航天大学出版社，2010年。
【4】 百度文库网，《2011数学建模论文格式规范[1]1》，2012年8月9日，http://wenku.baidu.com/view/3b8946c49ec3d5bbfd0a748a.html
【5】 智库百科网，《持有成本》，2012年8月9日，
http://wiki.mbalib.com/wiki/%E5%BA%93%E5%AD%98%E6%8C%81%E6%9C%89%E6%88%90%E6%9C%AC
附录
1. 附表一
2.LinDo 软件计算问题一的程序和计算结果
程序： min
12.5x11+12.55x21+12.7x31+12.8x41+12.85x51+12.95x61+0.6275x12+0.635x22+0.64x32+0.6425x42+0.6475x52
st
x11>5000
x21+x12>15000 x31+x22>30000 x41+x32>35000 x51+x42>25000 x61+x52>10000 x11-x12=5000
x21+x12-x22=15000 x31+x22-x32=30000 x41+x32-x42=35000 x51+x42-x52=25000 x61+x52=10000 x12
计算结果：
OBJECTIVE FUNCTION VALUE
1) 1535625.
VARIABLE VALUE REDUCED COST X11 5000.000000 0.000000 X21 20000.000000 0.000000 X31 30000.000000 0.000000 X41 30000.000000 0.000000 X51 25000.000000 0.000000 X61 10000.000000 0.000000 X12 0.000000 0.577500 X22 5000.000000 0.000000 X32 5000.000000 0.000000 X42 0.000000 1.617500 X52 0.000000 0.547500 注：
1. 由上可得计算结果为1535625，而实际上由于LinDo 软件程序限制，实际结果应在现结果上加5000*12.55*5%，即1538750.
2. 问题二中的数据可依据此程序得出结果。