高考数学常用公式及结论

高考数学常用公式及结论

1．元素与集合的关系

x ∈A ⇔x ∉C U A , x ∈C U A ⇔x ∉A .

2．德摩根公式

C U (A B ) =C U A C U B ; C U (A B ) =C U A C U B .

3．包含关系

A B =A ⇔A B =B ⇔A ⊆B ⇔C U B ⊆C U A

⇔A C U B =Φ⇔C U A B =R

4．集合{a 1, a 2, , a n }的子集个数共有2 个；真子集有2–1个；非空子集有2 –1个；非空的真子集有2–2个.

5．二次函数的解析式的三种形式

(1)一般式f (x ) =ax 2+bx +c (a ≠0) ; (2)顶点式f (x ) =a (x -h ) 2+k (a ≠0) ; (3)零点式f (x ) =a (x -x 1)(x -x 2)(a ≠0) . 6．解连不等式N

n

n

n

n

N

7．奇偶函数的性质

(1)f (x ) 为奇函数⇔f (－x ) ＝－f (x ) ⇔f (－x ) ＋f (x ) ＝0； f (x ) 为偶函数⇔f (x ) ＝f (－x ) ＝f (|x |)⇔f (x ) －f (－x ) ＝0.

(2)f (x ) 是偶函数⇔f (x ) 的图象关于y 轴对称；f (x ) 是奇函数⇔f (x ) 的图象关于x 轴对称． (3)奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性；偶函数在对称的单调区间内有相反的单调性． 8．充要条件

（1）充分条件：若p ⇒q ，则p 是q 充分条件.

（2）必要条件：若q ⇒p ，则p 是q 必要条件.

（3）充要条件：若p ⇒q ，且q ⇒p ，则p 是q 充要条件. 9．函数的单调性：

(1)设x 1⋅x 2∈[a , b ], x 1≠x 2那么

f (x 1) -f (x 2)

>0⇔f (x ) 在[a , b ]上是增函数；

x 1-x 2

f (x 1) -f (x 2)

x 1-x 2

(2)设函数y =f (x ) 在某个区间内可导，如果f '(x ) >0，则f (x ) 为增函数；如果f '(x )

(3)如果函数f (x ) 和g (x ) 都是减函数, 则在公共定义域内, 和函数f (x ) +g (x ) 也是减函数; 复合函数y =f [g (x )]的单调性：同增异减，即内外函数的单调性相同时，为增

(x 1-x 2) [f (x 1) -f (x 2) ]>0⇔

函数，不同时为减函数.

11．函数y =f (x ) 的图象的对称性

函数y =f (x ) 的图象关于直线x =a 对称⇔f (a +x ) =f (a -x )

⇔f (2a -x ) =f (x ) ⇔函数y =f (x +a ) 是偶函数

函数y =f (x ) 的图象关于点（a ，0）对称⇔f (a +x ) =-f (a -x )

⇔f (2a -x ) =-f (x ) ⇔函数y =f (x +a ) 是奇函数

12．几个常见的函数方程

(1)正比例函数f (x ) =cx , f (x +y ) =f (x ) +f (y ), f (1)=c .

(2)指数函数f (x ) =a x , f (x +y ) =f (x ) f (y ), f (1)=a ≠0.

(3)对数函数f (x ) =log a x , f (xy ) =f (x ) +f (y ), f (a ) =1(a >0, a ≠1) . (4)幂函数f (x ) =x α, f (xy ) =f (x ) f (y ), f ' (1)=α. 13．幂函数的性质

(2)所有幂函数在________上都有定义，并且图象都过点(1,1)，且在第____象限无图象．

(3)α>0时，幂函数的图象通过点________________，并且在区间(0，＋∞) 上是________，

α

15

16．几个函数方程的周期(约定a >0)

（1）f (x ) =f (x +a ) ，则f (x ) 的周期T=a ；

（2）f (x ) =-f (x +a ) ，或f (x +a ) =

或f (x +a ) =-

1

(f (x ) ≠0) ， f (x )

1

(f (x ) ≠0) , 则f (x ) 的周期T ＝2a ； f (x )

17．指数式与对数式的互化式

log a N =b ⇔a b =N (a >0, a ≠1, N >0) .

log N

两个恒等式：a a ＝N ，log a a b =b

log m N

对数的换底公式 ：log a N = (a >0, 且a ≠1, m >0, 且m ≠1, N >0).

log m a

n n

推论 log a m b =log a b (a >0, 且a >1, m , n >0, 且m ≠1, n ≠1, N >0).

m

18．对数的四则运算法则

若a ＞0，a ≠1，M ＞0，N ＞0，则 (1)log a (MN ) =log a M +log a N ;

M

=log a M -log a N ; N

(3)log a M n =n log a M (n ∈R ) .

(2) log a

2．基本初等函数的导数公式

(1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x ) ； (2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x ) g (x ) ＋f (x ) g ′(x ) ；

⎡f （x ）⎤′＝f ′（x ）g （x ）－f （x ）g ′（x ）(g (x ) ≠0) ． (3)⎢⎥[g （x ）]⎣g （x ）⎦

61．函数y =f (x ) 在点x 0处的导数的几何意义

函数y =f (x ) 在点x 0处的导数是曲线y =f (x ) 在P (x 0, f (x 0)) 处的切线的斜率

f '(x 0) ，相应的切线方程是y -y 0=f '(x 0)(x -x 0) .

函数的单调性

在(a ，b ) 内函数f (x ) 可导，f ′(x ) 在(a ，b ) 任意子区间内都不恒等于0.

f ′(x ) ≥0⇔f (x ) 在(a ，b ) 上为增函数． f ′(x ) ≤0⇔f (x ) 在(a ，b ) 1．函数的极值

函数y ＝f (x ) 在点x ＝a 的函数值f (a ) 比它在点x ＝a 附近其他点的函数值都小，f ′(a ) ＝0；而且在点x ＝a 附近的左侧f ′(x ) ＜0，右侧f ′(x ) ＞0，则点a 叫做函数y ＝f (x ) 的极小值点，f (a ) 叫做函数y ＝f (x ) 的极小值．

函数y ＝f (x ) 在点x ＝b 的函数值f (b ) 比它在点x ＝b 附近其他点的函数值都大，f ′(b ) ＝0；而且在点x ＝b 附近的左侧f ′(x ) ＞0，右侧f ′(x ) ＜0，则点b 叫做函数y ＝f (x ) 的极大值点，f (b ) 叫做函数y ＝f (x ) 的极大值．

极大值点、极小值点统称为极值点，极大值、极小值统称为极值． 2．函数的最值

(1)在闭区间[a ，b ]上连续的函数f (x ) 在[a ，b ]上必有最大值与最小值．

(2)若函数f (x ) 在[a ，b ]上单调递增，则为函数的最小值，数f (x ) 在[a ，b ]上单调递减，则f (a ) 为函数的最大值，f (b ) 为函数的最小值． 19．数列的通项公式与前n 项的和的关系、与递推公式的关系

⎧⎪S 1，n ＝1，a n ＝⎨

⎪S n －S n －1，n ≥2. ⎩

( 数列{a n }的前n 项的和为s n =a 1+a 2+ +a n ). ①若a n +1=a n +f (n ) ，a n =a 1+(a 2-a 1)+ +(a n -a n -1)=a 1+f (1) +f (2) + +f (n -1) ②若

a n +1a a a

=f (n ), 则a n =a 1⋅2⋅3 n =a 1⋅f (1) ⋅f (2) f (n -1) a n a 1a 2a n -1

③若a n +1=pa n +q ⇒a n +1-λ=p (a n -λ)

20．等差数列的通项公式a n =a 1+(n -1) d =dn +a 1-d (n ∈N *) ；

n (a 1+a n ) n (n -1) d 1

=na 1+d =n 2+(a 1-d ) n . 2222

a n n -1*

21．等比数列的通项公式a n =a 1q =1⋅q (n ∈N ) ；

q

其前n 项和公式为s n =

⎧a 1(1-q n ) ⎧a 1-a n q

, q ≠1, q ≠1⎪⎪

其前n 项的和公式为s n =⎨1-q 或s n =⎨1-q .

⎪na , q =1⎪na , q =1⎩1⎩1

22．常见三角不等式

（1）若x ∈(0,(2) 若x ∈

(0,

π

2

) ，则sin x

) ，则1

(3) |sin x |+|cos x |≥1.

23．同角三角函数的基本关系式

π

sin 2θ+cos 2θ=1，tan θ=

sin θ

. cos θ

24．诱导公式（奇变偶不变，符号看象限）

25．和角与差角公式 s i n α(±β=) s αi n

c βo ±s αc o s ; βcos(s α±β) =cos αcos β sin αsin β;

tan α±tan β

tan(α±β) =.

1 tan αtan β

sin(α+β)sin(α-β) =sin 2α-sin 2β(平方正弦公式);

cos(α+β)cos(α-β) =cos 2α-sin 2β.

a sin α+b cos αα+ϕ) (辅助角ϕ所在象限由点

b

(a , b ) 的象限决定, tan ϕ= ).

a

26．二倍角公式

sin 2α

=2sin αcos α=

2sin αcos α2tan α

=.

sin 2α+cos 2α1+tan 2α

1-tan 2α2222

cos 2α=cos α-sin α=2cos α-1=1-2sin α=. 2

1+tan α

2tan α

tan 2α=.

1-tan 2α

2

α⎫αα⎛α

升幂公式：1±sin α= sin ±cos ⎪, 1+cos α=2cos 2，1-cos α=2sin 2。

22⎭22⎝

1-cos αα1+cos α2α=, cos 2=降幂公式：sin 2222

27．正弦定理

a b c ===2R . sin A sin B sin C

28．余弦定理

a 2=b 2+c 2-2bc cos A ; b 2=c 2+a 2-2ca cos B ; c 2=a 2+b 2-2ab cos C .

29．面积定理

111

ah a =bh b =ch c （h a 、h b 、h c 分别表示a 、b 、c 边上的高）. 222111

（2）S =ab sin C =bc sin A =ca sin B .

222

(3)S ∆OAB =（1）S =

30．三角形内角和定理

在△ABC 中，有A +B +C =π⇔C =π-(A +B )

⇔

C πA +B =-⇔2C =2π-2(A +B ) . 222

正弦、余弦、正切函数的图象与性质

2．三角函数图象变换的两种方法

31．平面向量数量积的有关结论

已知非零向量a ＝(x 1，y 1) ，b ＝(x 2，y 2) ，a 与b 的夹角为θ

32．a ·b 的几何意义

数量积a·b 等于a 的长度|a |与b 在a 的方向上的投影|b |cosθ的乘积． 33． 三角形四“心”向量形式的充要条件

设O 为∆ABC

所在平面上一点，角A , B , C 所对边长分别为a , b , c ，则

2 2 2

（1）O 为∆ABC 的外心⇔OA =OB =OC .

→1→→→

（2）O 为∆ABC 的重心⇔OA +OB +OC =0⇔PO ＝P A ＋PB ＋PC ).

3

（3）O 为∆ABC 的垂心⇔OA ⋅OB =OB ⋅OC =OC ⋅OA .

（4）O 为∆ABC 的内心⇔aOA +bOB +cOC =0.

（1）a , b ∈R ⇒a +b ≥2ab (当且仅当a ＝b 时取“=”号) ． （2）a , b ∈R +⇒

2

2

34．基本不等式：

a +b

≥当且仅当a ＝b 时取“=”号) ． 2

35．极值定理已知x , y 都是正数，则有

（1）若积xy 是定值p ，则当x =y 时和x +y 有最小值2p ； （2）若和x +y 是定值s ，则当x =y 时积xy 有最大值36．含有绝对值的不等式

2

当a > 0时，有x

2

12s . 4

x >a ⇔x 2>a 2⇔x >a 或x

37．两条直线的平行和垂直

(1)若l 1:y =k 1x +b 1，l 2:y =k 2x +b 2

①l 1||l 2⇔k 1=k 2, b 1≠b 2; ②l 1⊥l 2⇔k 1k 2=-1.

(2)若l 1:A 1x +B 1y +C 1=0, l 2:A 2x +B 2y +C 2=0, 且A 1、A 2、B 1、B 2都不为零,

A 1B 1C 1

； =≠

A 2B 2C 2

②l 1⊥l 2⇔A ； 1A 2+B 1B 2=0

①l 1||l 2⇔

38．四种常用直线系方程

(1)定点直线系方程：经过定点P 0(x 0, y 0) 的直线系方程为y -y 0=k (x -x 0) (除直线

x =x 0), 其中k 是待定的系数; 经过定点P 0(x 0, y 0) 的直线系方程为A (x -x 0) +B (y -y 0) =0, 其中A , B 是待定的系数． (2)共点直线系方程：经过两直线l 1:A 1x +B 1y +C 1=0, l 2:A 2x +B 2y +C 2=0的交点

的直线系方程为(A 1x +B 1y +C 1) +λ(A 2x +B 2y +C 2) =0(除l 2) ，其中λ是待定的系数．

(3)平行直线系方程：直线y =kx +b 中当斜率k 一定而b 变动时，表示平行直线系方程．与直线Ax +By +C =0平行的直线系方程是Ax +By +λ=0(λ≠0) ，

λ是参变量．

(4)垂直直线系方程：与直线Ax +By +C =0 (A≠0，B≠0)垂直的直线系方程是

Bx -Ay +λ=0,λ是参变量．

39．点到直线的距离

d =

(点P (x 0, y 0) , 直线l ：Ax +By +C =0).

过定点M 0的直线与圆锥曲线相交，交点为M 1，M 2，所对应的参数分别为t 1，t 2. ①弦长l ＝|t 1－t 2|；

②弦M 1M 2的中点⇒t 1＋t 2＝0； ③|M 0M 1||M 0M 2|＝|t 1t 2|. 40．圆的四种方程

（1）圆的标准方程 (x -a ) +(y -b ) =r .

22

（2）圆的一般方程 x +y +Dx +Ey +F =0(D +E -4F ＞0).

2

2

2．直线、圆和圆锥曲线的参数方程

222

⎧x =a +r cos θ

. (θ为参数且0≤θ

y =b +r sin θ⎩

（4）圆的直径式方程 (x -x 1)(x -x 2) +(y -y 1)(y -y 2) =0(圆的直径的端点是

A (x 1, y 1) 、B (x 2, y 2) ).

（3）圆的参数方程 ⎨41．圆系方程

(1)过直线l :Ax +By +C =0与圆C :x 2+y 2+Dx +Ey +F =0的交点的圆系方程是

x 2+y 2+Dx +Ey +F +λ(Ax +By +C ) =0,λ是待定的系数．

22

(2) 过圆C 1:x 2+y 2+D 1x +E 1y +F 2=0的交点1=0与圆C 2:x +y +D 2x +E 2y +F

的圆系方程是x +y +D 1x +E 1y +F 1+λ(x +y +D 2x +E 2y +F 2) =0,λ是待定的系数．42．圆的切线方程

(1)已知圆x +y +Dx +Ey +F =0．

①若已知切点(x 0, y 0) 在圆上，则切线只有一条，其方程是 x 0x +y 0y +

2

2

2222

D (x 0+x ) E (y 0+y )

++F =0. 22

当(x 0, y 0) 圆外时, x 0x +y 0y +

D (x 0+x ) E (y 0+y )

++F =0 22

表示过两个切点的切点弦方程．

②过圆外一点的切线方程可设为y -y 0=k (x -x 0) ，再利用相切条件求k ，这时必有两条切线，注意不要漏掉平行于y 轴的切线．

③斜率为k 的切线方程可设为y =kx +b ，再利用相切条件求b ，必有两条切线． (2)已知圆x 2+y 2=r 2．

2

①过圆上的P 0(x 0, y 0) 点的切线方程为x 0x +y 0y =r ;

②斜率为k

的圆的切线方程为y =kx ±⎧x =a cos θx 2y 2

43．椭圆2+2=1(a >b >0) 的参数方程是⎨. (θ为参数且0≤θ

a b y =b sin θ⎩

44．椭圆的的内外部

x 2y 2

（1）点P (x 0, y 0) 在椭圆2+2=1(a >b >0) 的内部⇔

a b x 2y 2

（2）点P (x 0, y 0) 在椭圆2+2=1(a >b >0) 的外部⇔

a b

45．椭圆的切线方程

22

x 0y 0

+2

+>1. a 2b 2

x x y y x 2y 2

(1)椭圆2+2=1(a >b >0) 上一点P (x 0, y 0) 处的切线方程是02+02=1.

a b a b

x 2y 2

（2）过椭圆2+2=1(a >b >0) 外一点P (x 0, y 0) 所引两条切线的切点弦方程是

a b

x 0x y 0y

+2=1. 2a b

x 2y 2

（3）椭圆2+2=1(a >b >0) 与直线Ax +By +C =0相切的条件是

a b

A 2a 2+B 2b 2=C 2.

x 2y 2

1. 椭圆2+2=1 (a ＞b ＞0) 的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点

a b

γ

∠F 1PF 2=γ，则椭圆的焦点角形的面积为S ∆F 1PF 2=b 2tan .

2

x 2y 2

AB 是椭圆2+2=1的不平行于对称轴的弦，M (x 0, y 0) 为AB 的中点，则

a b

b 2x 0b 2

k O M ⋅k A B =-2，即K AB =-2。

a a y 0x 2y 2

+=1内，则被Po 所平分的中点弦的方程是2. 若P 0(x 0, y 0) 在椭圆

a 2b 2

x 0x y 0y x 02y 02

+2=2+2. 2a b a b x 2y 2

+=1内，则过Po 的弦中点的轨迹方程是3. 若P 0(x 0, y 0) 在椭圆

a 2b 2

x 2y 2x 0x y 0y +=2+2. a 2b 2a b

47．双曲线的方程与渐近线方程的关系

x 2y 2x 2y 2b (1）若双曲线方程为2-2=1⇒渐近线方程：2-2=0⇔y =±x .

a a b a b

x y x 2y 2b

(2)若渐近线方程为y =±x ⇔±=0⇒双曲线可设为2-2=λ.

a b a a b

x 2y 2x 2y 2

(3)若双曲线与2-2=1有公共渐近线，可设为2-2=λ（λ>0，

a b a b

焦点在x 轴上，λ

48． 双曲线的切线方程

x x y y x 2y 2

(1)双曲线2-2=1(a >0, b >0) 上一点P (x 0, y 0) 处的切线方程是02-02=1.

a b a b

x 2y 2

（2）过双曲线2-2=1(a >0, b >0) 外一点P (x 0, y 0) 所引两条切线的切点弦方程是

a b

x 0x y 0y

-2=1. 2a b

x 2y 2

+C =0相切的条件是 （3）双曲线2-2=1(a >0, b >0) 与直线A x +B y

a b

A 2a 2-B 2b 2=C 2.

54．抛物线y 2=2px 的焦半径公式

抛物线y 2=2px (p >0) 焦半径CF =x 0+过焦点弦长CD =x 1+

p . 2

p p

+x 2+=x 1+x 2+p . 22

2y

55．抛物线y 2=2px 上的动点可设为P ( , y ) 或P (2pt 2, 2pt ) 或 P (x , y ) ，其中

2p

y 2=2px .

56．抛物线的切线方程

(1)抛物线y =2px 上一点P (x 0, y 0) 处的切线方程是y 0y =p (x +x 0) .

（2）过抛物线y 2=2px 外一点P (x 0, y 0) 所引两条切线的切点弦方程是y 0y =p (x +x 0) .

22

（3）抛物线y =2px (p >0) 与直线Ax +By +C =0相切的条件是pB =2AC .

2

58．直线与圆锥曲线相交的弦长公式

AB =

AB ==|x 1-x 2|=|y 1-y 2|（弦端点

A (x 1, y 1), B (x 2, y 2) ，由方程⎨

⎧y =kx +b 2

消去y 得到ax +bx +c =0，∆>0, α为

⎩F (x , y ) =0

直线AB 的倾斜角，k 为直线的斜率）. 60．球的组合体

(1)球与长方体的组合体:

长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长. (2)球与正方体的组合体:

正方体的内切球的直径是正方体的棱长, 正方体的棱切球的直径是正方体的面对角线长, 正方体的外接球的直径是正方体的体对角线长. (3) 球与正四面体的组合体:

棱长为a

,

. 空间几何体、三视图和直观图

1．画几何体三视图的基本要求是：正视图与俯视图长对正；正视图与侧视图高平齐；侧视图与俯视图宽相等．

2．三视图的安排规则是：正视图与侧视图分别在左右两边，俯视图画在正视图的下方． 3．用斜二测画法画出的平面图形的直观图的面积S′与原平面图形的面积S 之间的关系

2

是S′＝4

1．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式

1．直线与平面平行的判定定理和性质定理

11

1．直线与平面垂直的判定定理与性质定理

(1)直方图中各小长方形的面积之和为1.

频率频率

(2)，故每组样本的频率为组距×

组距组距

(3)直方图中每组样本的频数为频率×总体数.

12